潘正剛

【摘要】對學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫串于教學的全程，教師只有充分了解學生的認知發(fā)展水平和已有的知識基礎，清晰掌握課堂教學目標，才能設計出高質(zhì)量的教學活動.本文筆者以北師大版數(shù)學八年級上冊第四章第4節(jié)“一次函數(shù)的應用（第1課時）”的教學設計為例，與其他初中數(shù)學教師共同探討如何讀懂課標、整合教材、分析學情，科學地設計出一堂高質(zhì)量的初中數(shù)學課，使學生在課堂學習中有效提升自身的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

【關鍵詞】函數(shù)圖像;數(shù)學建模;應用意識;數(shù)形結(jié)合

本文以北師大版數(shù)學八年級上冊第四章第4節(jié)“一次函數(shù)的應用（第1課時）”教學設計為例.此課在初中數(shù)學教學中非常關鍵，既是難點，也是重點，這一節(jié)課將為學生開啟應用數(shù)形結(jié)合、數(shù)學建模這些具有數(shù)學特色的思維模式.

一、教學難點剖析

1.學生的困難

“一次函數(shù)的應用”這一章的教學內(nèi)容作為研究函數(shù)的起始單元，每一節(jié)課都為后續(xù)學習反比例函數(shù)和二次函數(shù)打下基礎.“一次函數(shù)的應用”是學生利用函數(shù)進行數(shù)學建模的起點，也是學生體悟數(shù)形結(jié)合思想的重要關卡，是學生搭建數(shù)學與外部世界聯(lián)系的開始，從中可以讓學生初步理解數(shù)學在理工科中應用的基本工具.因此，“一次函數(shù)的應用”是發(fā)展學生的應用意識，培育學生數(shù)學建模核心素養(yǎng)的關鍵課程.

2.教師的困惑

在教學實踐中，使用北師大版教材的教師常常困惑于“學生在不會求解二元一次方程組的情況下，如何求解一次函數(shù)解析式”這一問題.基于自身已有的思維習慣和相對完整的知識系統(tǒng)，部分教師會調(diào)整教材的章節(jié)順序，先進行“二元一次方程組”的教學，以利于學生求解一次函數(shù)解析式.

二、教材對比分析

筆者對目前國內(nèi)主流的北師大版教材、人教版教材這個知識點的教學內(nèi)容進行對比分析，發(fā)現(xiàn)北師大版教材中，“一次函數(shù)的應用”為獨立課程，出現(xiàn)在八年級上冊，有三個課時，第一課時借助解析式解決實際問題，后面兩課時主要借助圖像解決實際問題，學生在學習過程中初步體會數(shù)形結(jié)合的思維方式，發(fā)展利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.此時學生已經(jīng)學習了一元一次方程、一次函數(shù)等相關知識，有了一定的數(shù)形結(jié)合思維，為求解一次函數(shù)解析式提供了理論基礎.本課時有兩個難點：一是將實際問題抽象為函數(shù)問題，建立一次函數(shù)模型;二是求解一次函數(shù)解析式，由于“二元一次方程組”被編排在第五章，學生對用代數(shù)方法求解函數(shù)解析式難以理解.對此，部分教師將“二元一次方程組”提前教學，這是解決問題的一個辦法.

與北師大版教材相比，人教版教材有兩點不同的設計：一是設計以“一次函數(shù)的應用”為題的獨立課時，二是“二元一次方程組”的內(nèi)容在一次函數(shù)之前.

盡管兩種教材在內(nèi)容編排的先后順序上有所不同，但都以解決現(xiàn)實問題為出發(fā)點，突出函數(shù)的模型思想和數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng).實際上，學生普遍善于學習程序化的知識，對不同題型的解題邏輯較易上手，能較好地掌握一次函數(shù)中“數(shù)”的特征，但是對于函數(shù)圖像卻不甚理解.

三、教學設計概述

據(jù)此，筆者設計以下教學環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：初識數(shù)學建模

1.例題導入

圖1例1 隨著中國高鐵建設的飛速發(fā)展，廣州市作為華南地區(qū)的交通樞紐，由廣州出發(fā)的高鐵列車幾乎可以直達全國各大重要城市.圖1反映了某高鐵列車從廣州出發(fā)前往西安在行駛過程中與深圳的距離s（km）與行駛時間t（h）之間的數(shù)量關系（假設高鐵列車勻速行進）.請思考：

問題1：坐標系中的點（0，120）表示什么意義？

問題2：當行駛時間為4 h時，高鐵列車和深圳的距離是多少？

問題3：兩個變量s和t具有函數(shù)關系嗎？你能求出函數(shù)解析式嗎？

問題4：當t=8 h時，s的值是多少？當s=1440 km時，t的值是多少？

【設計意圖】北師大版教材的設計是求解正比例函數(shù)解析式，所創(chuàng)設的情境是物體“勻加速直線運動”實驗，該活動是高一的物理實驗，初二的學生既沒有實驗經(jīng)歷，也不理解 “加速度”的概念，欠缺與之相應的活動經(jīng)驗和認知水平，這個情境設計會讓學生感到困惑，難以建立函數(shù)模型.基于熟悉的情境、合適的問題有助于調(diào)動學生的學習積極性，激發(fā)學生的探究欲望.因此筆者舍棄了這個實驗情境，一是從人教版教材中選用了路程問題的情境，并改編為學生更為熟悉的高鐵情境，二是將北師大版教材中呈現(xiàn)的正比例圖像改為一次函數(shù)圖像，提升難度.

“問題1”引導學生觀察兩個特殊的點，學生理解并解釋點（0，120）的含義：出發(fā)時，高鐵列車與深圳的距離為120 km，這是廣州、深圳兩地之間的距離.

“問題2” 沒有按照教材的設計明確要求學生求解函數(shù)解析式，而是鼓勵學生自行尋找解決問題的方法.學生可以建構(gòu)函數(shù)模型，也可以用算術方法求解，從而為對比算術方法和函數(shù)方法創(chuàng)造機會.

基于“問題1”和“問題2”的解決，學生產(chǎn)生了用函數(shù)解決問題的意識，“問題3”則引導學生從圖形的角度思考，將直線與一次函數(shù)聯(lián)系起來，從而建立函數(shù)模型，學習用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b.鑒于解二元一次方程組是下一章的內(nèi)容，本課所研究的一次函數(shù)的某個參數(shù)（k或b）比較容易從所給的條件中直接獲得，再求解一元一次方程即可.學生利用函數(shù)解析式求解“問題4”可以積累將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的經(jīng)驗，進一步感受自變量和因變量的對應關系，體悟函數(shù)中蘊含的動態(tài)的辯證思維.

2.想一想

（1）一次函數(shù)解析式中k的實際意義是什么？b的實際意義是什么？

（2）確定一次函數(shù)的解析式需要幾個條件？

數(shù)學家阿蒂亞指出：“代數(shù)中，有序思維占主導地位;幾何中，視覺思維占主導地位.”通過“想一想”，引導學生從數(shù)的角度思考、理解k表示高鐵列車的速度，b表示出發(fā)時高鐵列車與深圳的距離.從形的角度看，（0，b）是一次函數(shù)圖像與y軸的交點.讓學生體會到“兩點確定一條直線”的公理是求解一次函數(shù)解析式的理論依據(jù).

環(huán)節(jié)二：再識數(shù)學建模

1.例題導入

例2 攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）是兩大國際主流的計量溫度的標準.某學?？萍夹〗M查閱資料，獲得了攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）相對應的5組數(shù)據(jù)如下表所示：

請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜想攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）之間的關系，并推測當攝氏溫度為100 ℃時，華氏溫度是多少.

（1）以攝氏溫度為橫坐標、華氏溫度為縱坐標，將5組數(shù)據(jù)寫成5個點的坐標;

（2）建立平面直角坐標系，描出以上5個點;

（3）觀察這5個點的位置，猜想攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）之間的關系，并求出關系式;

（4）根據(jù)猜想，求出當攝氏溫度為100 ℃時，華氏溫度是多少.

【設計意圖】培育數(shù)學建模的核心素養(yǎng)至少有兩個方面的要求，一是培養(yǎng)學生數(shù)學建模的意識，二是讓學生掌握數(shù)學建模的具體方法.原北師大版教材的設計指明了一次函數(shù)，注重講解用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.為了繼續(xù)培養(yǎng)學生數(shù)學建模的意識，筆者首先在設問中去掉一次函數(shù)的指示，然后修改表格中的數(shù)據(jù)使其缺乏連續(xù)性，并設計作圖的要求，學生通過繪制圖像、觀察圖像，更容易聯(lián)想到一次函數(shù).計算中，學生是否能避開解二元一次方程組的困難，則取決于他們在分析表格中的數(shù)據(jù)時，能否理解（0，32）的代數(shù)意義.

2.想一想

（1）k的實際意義是什么？b的實際意義是什么？

（2）確定一次函數(shù)的表達式需要幾個條件？

【設計意圖】在不同的情境中運用類似的方法得到相同的函數(shù)，學生會有更多收獲：

（1）讓學生從數(shù)的角度深刻理解k的實際意義，當x增加1時，等于b增加的值為k，這為第三課時進一步探究k的幾何意義積累經(jīng)驗;

（2）讓學生從形的角度理解點（0，b），它作為一次函數(shù)圖像與y軸的交點，是求解函數(shù)解析式的關鍵;

（3）學生對數(shù)學基本概念和基本原理有進一步的理解：從形的角度看，正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像雖然都是一條直線，但不同之處在于正比例函數(shù)圖像必定經(jīng)過原點，因此只需再任意確定一個點的坐標便可求解函數(shù)解析式;從數(shù)的角度看，一個是求解關于k的一元一次方程，另一個則是求解關于k和b的二元一次方程組.這個知識點雖然簡單，但它涉及數(shù)學對象的一個重要本質(zhì)概念：基本量.正比例函數(shù)含有一個基本量k，一次函數(shù)含有兩個基本量k和b.學生若能形成這樣的數(shù)學思維方式，必將加深其對數(shù)學對象的理解.

在環(huán)節(jié)二的教學活動中，學生完整地經(jīng)歷了分析問題、作出圖像、分析圖像、建立模型、求解模型、應用模型的過程.

環(huán)節(jié)三：加深認識數(shù)學建模

例3 某養(yǎng)雞場使用恒溫室孵化小雞，該恒溫室在0：00時的溫度為20 ℃，根據(jù)養(yǎng)殖要求需在0：00-2：00勻速升溫，每小時升高9 ℃，隨后在2：00-4：00保持恒溫.寫出孵化室的溫度T（單位： ℃）關于時間t（單位：h）在0：00-4：00時間段的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像.

【設計意圖】本題改編自人教版教材的練習題，原題的情境為先恒溫后升溫，現(xiàn)改為先升溫后恒溫，以降低學生求解一次函數(shù)解析式的難度.設計該題的目的是借助簡單的分段函數(shù)拓展一次函數(shù)的應用，積累觀察函數(shù)圖像的經(jīng)驗，提高學生數(shù)學建模的意識，讓學生深入體會數(shù)學建模的應用性和實用性.

四、教學反思

1.理解課標、靈活運用教材是提高教學質(zhì)量的前提

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》要求學生初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力.

“一次函數(shù)的應用”這節(jié)課的意義在于對一次函數(shù)模型的解釋、應用與拓展.本課的教學目標是讓學生經(jīng)歷分析實際問題中兩個變量之間的關系，掌握建立一次函數(shù)模型的方法，初步形成用函數(shù)的觀點認識現(xiàn)實世界的意識.學生不僅要掌握一次函數(shù)y=kx+b的代數(shù)結(jié)構(gòu)，還要能從“數(shù)”的角度揭示k和b的實際意義，并從“形”的角度理解它們的幾何意義.

2.分析學情是教學成功的關鍵

2018年國家義務教育質(zhì)量監(jiān)測結(jié)果顯示，全國八年級學生在數(shù)學學業(yè)五個指標（運算能力、空間想象力、數(shù)據(jù)分析能力、推理能力、問題解決能力）上處于中等及以上水平的比例分別為 82.6%，80.0%，78.4%，82.2%和71.8%.其中，比例最高的是運算能力，比例最低的是問題解決能力.有理數(shù)和整式的運算、一元一次方程和一次函數(shù)的運算等知識已經(jīng)融入學生的認知結(jié)構(gòu)中.但面對實際問題時，學生往往難以聯(lián)想到適當?shù)臄?shù)學知識建模求解.為有效提升學生的問題解決能力，教師在教學中不妨減少一些方法性的指示，多一些為學生創(chuàng)造聯(lián)系知識和經(jīng)驗的機會，讓學生經(jīng)歷檢驗和對比的過程，逐步形成數(shù)學建模的意識.

3.提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是教學的根本方向

核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是學生具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在學生學習和應用數(shù)學的過程中逐步形成和發(fā)展的.本課以培育學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng)為主要目標，讓學生充分經(jīng)歷將實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題、分析圖像中的變量關系、建立函數(shù)模型、求解函數(shù)模型、應用函數(shù)模型的過程.學生在學習中，體會數(shù)形結(jié)合的思想，形成數(shù)學建模的意識，熟悉并掌握數(shù)學建模的方法.教師需要認真研讀不同版本的教材，準確分析學情，科學合理地設計教學環(huán)節(jié)，才能有效促進學生數(shù)學思維的發(fā)展.

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