曹小珍

摘要：巧妙設(shè)問，以問促教，以問促思，能夠盤活僵化的數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)有效教學(xué)的生成，激發(fā)學(xué)生思維的積極性。本文就2015年安徽省中考數(shù)學(xué)試題中一道壓軸題入手，不斷啟發(fā)追問，開闊學(xué)生思路，發(fā)展學(xué)生思維，使學(xué)生在不斷思考和實(shí)踐解題過程中逐漸認(rèn)識數(shù)學(xué)問題本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)?壓軸題?以問促教?以問促思

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，

過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC。

（1）求證：AD=BC。

（2）求證：△AGD∽△EGF。

（3）若AD、BC所在的直線互相垂直，求AD[]EF的值。

二、題型立意分析

本題屬于幾何綜合題。在四邊形對邊相等的基礎(chǔ)上，巧妙地將中垂線、全等相似結(jié)合在一起，圖形結(jié)構(gòu)簡潔美觀，充分體現(xiàn)了幾何圖形靈活多變的魅力。三個問題的設(shè)置體現(xiàn)了由易到難、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的特征。在解題中引導(dǎo)學(xué)生在動手畫圖、觀察、思考過程中探究圖形的本質(zhì)特征，感受問題之間的緊密聯(lián)系。本題還具有中考壓軸題起點(diǎn)低、落點(diǎn)高、探究性強(qiáng)、區(qū)分度高等特點(diǎn)，考查學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力。

三、教學(xué)活動分析

（一）教學(xué)片段1：多維角度審題，重視圖形生長過程

教師先出示題目的題干部分。

師：請同學(xué)們認(rèn)真閱讀題干，你認(rèn)為題干中哪些語句比較關(guān)鍵？

生1：點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G。另外，附加∠AGD=∠BGC。

師：請大家在四邊形ABCD的基礎(chǔ)之上按照題干要求將圖完整地畫出來，說說你對題意的理解。

生2：線段GE、GF是線段AB、CD的中垂線，故GC=GD，GA=GB，△GDC和△GAB是共頂點(diǎn)的等腰三角形，聯(lián)合∠AGD=∠BGC，很容易得出△GAD與△GBC全等。

生3：由于∠AGD=∠BGC，觀察圖形可得出∠DGC=∠AGB，所以△GDC和△GAB是頂角相等的等腰三角形，所以它們必定相似。

師：大家對比畫圖前后的審題結(jié)果，你們能再談?wù)勛约簩@道題的思考嗎？

【教學(xué)分析】

學(xué)生解答壓軸題困難之一在于審題時(shí)抓不住問題的核心，尤其是容易忽略隱藏條件，因而導(dǎo)致難以找到突破口而一籌莫展。在剛才的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生通過自己畫圖，發(fā)現(xiàn)題目圖形是四邊形上下兩條對邊的中垂線相交形成兩個軸對稱的等腰三角形。再附加兩邊角相等形成全等圖形特征。初中生習(xí)慣于僅僅看題、觀察圖形，而不愿意動手操作，但是復(fù)雜圖形所蘊(yùn)含的信息多且隱蔽，學(xué)生不容易捕捉到關(guān)鍵細(xì)節(jié)特征。審題環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)主要目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形生長過程，找出圖形的本質(zhì)特征，明確圖形中存在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，為解題指引方向。數(shù)學(xué)家波利亞說過“審好題就是成功解題一半”。培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，無疑是提升其數(shù)學(xué)品質(zhì)的一個重要方面。

（二）教學(xué)片段2：循序漸進(jìn)，深挖題意

觀察題目第二個證明目標(biāo)，求證：△AGD∽△EGF。

師：證明三角形相似有哪些方法？結(jié)合以上結(jié)論，試試找出自己的解決方法。

生4：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。

師：很好，結(jié)合本題條件特征，大家怎么解決問題呢？

生5：△GDC和△GAB是共頂點(diǎn)等頂角的等腰三角形，所以它們相似。GE、GF分別是底邊CD、AB的中線，由等腰三角形三線合一可得GE、GF分別平分底邊，平分頂角。

∠DGC=∠AGB∠DGF=∠AGE∠AGD =∠BGC。

再利用相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于對應(yīng)邊之比，可得

師：很好，大家利用等腰三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，再巧妙利用比的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成

△AGD和△EGF對應(yīng)邊的比。大家再思考和拓展一下，如果僅僅將題目中的中點(diǎn)E、F條件改變一下，△AGD∽△EGF仍然成立，你會怎么改編？

生：……

師：如果點(diǎn)E、F分別分CD、AB的比相等時(shí)（如圖2），△AGD∽△EGF仍成立嗎？

【教學(xué)分析】

證明二次相似對于學(xué)生是個難點(diǎn)，第二問的設(shè)置是常見的二次相似模型。第二問中我們應(yīng)用了二次相似，利用相似三角形對應(yīng)邊之比等于對應(yīng)邊的對應(yīng)高（中線、角平分線）之比，再利用比的性質(zhì)轉(zhuǎn)化。在滬科版課本習(xí)題設(shè)置中，相似三角形對應(yīng)高（中線、角平分線）的比等于對應(yīng)邊之比的練習(xí)、強(qiáng)化不是很多，通常是一次相似，再利用相似比轉(zhuǎn)化計(jì)算。為了突出難點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)了拓展設(shè)問，強(qiáng)化方法應(yīng)用。

師：請大家將自己的思維過程列一個線索圖。

學(xué)生整合自己的思路，畫出自己的思維線索圖。

老師總結(jié)：本題第一問起點(diǎn)低，我們采用順向思維由因索果利用全等解決。第二問我們從結(jié)論出發(fā)，尋找條件，結(jié)合已有條件，應(yīng)用綜合法，兩用二次相似。我們可以列出如下思維線索圖：

【教學(xué)分析】

做十道題不如透徹解決一道題，學(xué)生做題速度快，不善于深入思考，僅僅為做題而做題，這樣會失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心力。而壓軸題的目的在于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和解決問題的思想方法。本題第一問雖然簡單，但是它是一個入口，從這里進(jìn)去之后，學(xué)生能找到更多的相關(guān)要素，并且第一題結(jié)論是第二問、第三問的條件。壓軸題往往通過設(shè)問為后續(xù)問題搭梯子。讓學(xué)生對比兩題不同的解決策略，要求學(xué)生列出思維線索圖，目的在于引導(dǎo)學(xué)生有層次、有邏輯地思考問題和解決問題，促進(jìn)學(xué)生思維深度發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)。鼓勵學(xué)生改編題目條件，拓寬學(xué)生思維，不被定式約束。解題教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)一道題，對問題的本質(zhì)進(jìn)行研究。建構(gòu)幾何模型，形成自己的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）教學(xué)片段3：巧構(gòu)輔助線，一題多解

師：第三問中的條件AD、BC所在的直線互相垂直有什么作用？AD/EF的值與第二問兩三角形相似有什么關(guān)聯(lián)？

生6：延長線段AD、BC相交于點(diǎn)H（如圖3），這樣相互垂直條件更加直觀，可以觀察到△HAB是直角三角形。由∠HAB+∠HBA=90°

∠GAB+∠GBA=90°，得到△GAB為等腰直角三角形。

師：還有其他途徑嗎？

生：……

師：題目條件中AD與BC所在直線垂直，大家延長線段AD與BC相交，這樣形成的直角更直觀。類比這種方法，大家還能想出其他的想法嗎？

大家積極思索、討論。

生8：（如圖4）構(gòu)造平行線，過點(diǎn)D作HD∥BC，連接HD、BH、AH，得HD⊥AD。

生9：（如圖5）過點(diǎn)E、F分別作EM∥AD，F(xiàn)M∥BC，得△EFM為直角三角形。

生10 ：（如圖6）過點(diǎn)A作AQ∥BC交CE延長線于點(diǎn)Q，得AD⊥AQ。

同學(xué)們思維發(fā)散開了，展示了很多不同構(gòu)造輔助線的方法（如圖7）。

師：很好，大家利用平行線結(jié)合中位線、全等能從不同的角度去解決第三問。由△AGD≌△BGC聯(lián)系旋轉(zhuǎn)的知識，大家再來觀察一下圖形之間的關(guān)聯(lián)。

生11：△BGC可以看成是△AGD旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的（如圖8），旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)G，對應(yīng)邊分別是AG與BG、GD與GC、AD與BC。故AD與BC的夾角是旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)AD與BC所在直線夾角為90°時(shí)，則∠AGB=∠DGC=90°，因而△GDC、△GAB為等腰直角三角形，再應(yīng)用相似比得出結(jié)果。

師：那如果AD與BC所在直線夾角不是90°，而是60°，120°，大家能算出AD與EF的比值嗎？如果它們的夾角用一個字母α表示，那結(jié)果怎么表示？

學(xué)生回答歸納得出EF與AD的比值可以用三角函數(shù)表示。

【教學(xué)分析】

學(xué)生獨(dú)立面對幾何綜合題時(shí)往往花費(fèi)很長時(shí)間而不得要領(lǐng)，但是老師一點(diǎn)撥，他們就豁然開朗，然后就是懊惱不已，后悔自己沒想到關(guān)鍵點(diǎn)。再然后是不斷刷題，沉迷于題海，辛苦不堪，但收獲甚微。是什么導(dǎo)致這樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？我想還是教師過多地停留在教授“知識”的層面上，解題教學(xué)過于泛泛而談，只講解答案，就題講題，就像豬八戒吃人參果，囫圇吞棗，不知其味。因而對于解題教學(xué)，教師要帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)一道題， 引導(dǎo)學(xué)生從多種視角審題，不僅關(guān)注關(guān)鍵語句，還要啟發(fā)學(xué)生從圖形的生長過程、所求結(jié)論綜合分析和探究題目來求解。更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生走出一道題，組織學(xué)生對問題的本質(zhì)進(jìn)行研究，類比自己做過相似的習(xí)題或者相似的解題方法，追根溯源更深層次地探究多種解法。只有教師引導(dǎo)學(xué)生開動大腦，不斷總結(jié)歸納，學(xué)生才會形成自己的數(shù)學(xué)思想方法。這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)就能得到提高。

（四）教學(xué)片段4：變式拓展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

師：大家在剛才的學(xué)習(xí)中，很有自己的思想，老師為你們點(diǎn)贊。帶著剛才的經(jīng)驗(yàn)，大家再次觀察圖形，想一想，我們可以從哪些角度看待這個綜合圖形的形成過程？應(yīng)用本題解題指導(dǎo)思想，你能解決類似問題嗎？

【學(xué)生回答匯總】

可以看成是對邊相等的四邊形中，作不相等對邊的中垂線形成的兩個共頂點(diǎn)、等頂角的兩個等腰三角形;

可以看成共頂點(diǎn)的兩個等腰三角形旋轉(zhuǎn)得到的圖形;

可以看成是兩側(cè)的三角形旋轉(zhuǎn)得到的圖形。

【變式拓展習(xí)題】

（1）已知：如圖9所示，△AED和△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)M、N、Q分別是DE、BC、BD的中點(diǎn)，

求證：△QMN是等腰直角三角形。

（2）如圖10所示，在四邊形ABCD中，AD=BC，

AD與BC夾角為α，

求FE/AD。

【教師感悟】

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度和敏捷性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不能成為口號。學(xué)生必須從不斷的實(shí)踐中提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué)，而中考壓軸題具有起點(diǎn)低、落點(diǎn)高、開放性強(qiáng)、綜合度高的特點(diǎn)。初三數(shù)學(xué)教學(xué)以壓軸題為載體，不斷啟發(fā)追問以開闊學(xué)生思路，學(xué)生思維才能得以發(fā)展。在壓軸題教學(xué)中，老師要捕捉到學(xué)生真實(shí)的思維活動，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維模糊區(qū)，實(shí)時(shí)跟進(jìn)學(xué)生思維，合情合理地進(jìn)行啟發(fā)式追問，使學(xué)生在不斷思考和實(shí)踐解題過程中逐漸認(rèn)識數(shù)學(xué)問題本質(zhì)。