袁錦新

【摘要】GeoGebra是一款結(jié)合幾何、代數(shù)、函數(shù)、圖形和計算的免費動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它融合代數(shù)與幾何的功能，界面易用，且可視化功能強(qiáng)大，能突破動態(tài)問題的教學(xué)難點。本文以數(shù)學(xué)幾何動點問題教學(xué)為例，借助GeoGebra軟件，編寫相應(yīng)的GeoGebra腳本教程，探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)幾何動點問題教學(xué)融合，旨在為初中數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)軟件操作及數(shù)學(xué)動態(tài)實驗教學(xué)提供一些借鑒或啟示。

【關(guān)鍵詞】GeoGebra ;初中數(shù)學(xué);動點問題;教學(xué)融合

幾何動點問題一般以幾何圖形為載體，綜合考察學(xué)生幾何、函數(shù)、計算等方面的知識，此類問題綜合難度大，學(xué)生的得分情況往往不夠理想，而在幾何動點問題課堂教學(xué)上，常常出現(xiàn)“教師一味的講解，信息技術(shù)應(yīng)用不足，學(xué)生只能被動接受”的現(xiàn)象，這樣，幾何動點問題慢慢變成了學(xué)生難以逾越的關(guān)卡。因此，把信息技術(shù)如GeoGebra和幾何動點問題在課堂教學(xué)上有效融合，讓學(xué)生經(jīng)歷思路探究——結(jié)論猜想——技術(shù)驗證這一過程，將有助學(xué)生真正掌握動點問題的本質(zhì)，豐富學(xué)生解決幾何動點問題的策略與方法。下面筆者以“中考幾何動點形成函數(shù)圖像”問題為例，談?wù)凣eoGebra軟件在幾何動點問題教學(xué)中的輔助應(yīng)用。

一、例題呈現(xiàn)

二、教學(xué)片段

1.結(jié)合幾何直觀，建立函數(shù)模型

教師：本題是求線段AP與運(yùn)動時間x之間的函數(shù)關(guān)系，這里點A為定點，點P為動點，哪位同學(xué)知道點P是怎么運(yùn)動的？

學(xué)生1：點P在線段AB，線段BC，線段CA上運(yùn)動，因此需要分三種情況討論。

教師：請大家分析三種運(yùn)動情況。

學(xué)生2：點P從點A運(yùn)動到點B，應(yīng)該為一次函數(shù)。

教師：是嗎？能夠?qū)懗鰕與x的解析式？

學(xué)生3： 因為動點P為勻速運(yùn)動，我們可以設(shè)速度為v，從點A勻速運(yùn)動到點B時，y=vx，此時y是x的正比例函數(shù)，y隨著x的增大而增大。

教師：由第一種情況的分析，大家有何想法呢？

學(xué)生4：我們可以排除選項C與選項D。

教師：那么我們分析第二種運(yùn)動情況，當(dāng)點P從點B到運(yùn)動點C，請大家觀察y與x的變化關(guān)系？

學(xué)生5：當(dāng)AP垂直BC時，y最短，因此，y先由大變小，再由小變大，所以我覺得選擇A。

學(xué)生6：B選項的函數(shù)圖像，第二部分同樣是y先由大變小，再由小變大，B選項也沒有問題。

學(xué)生7：但是點P是勻速運(yùn)動，所以AP是線性變化的，故A選項為正確的。

（大家紛紛討論起來）

教學(xué)說明：憑借已有的經(jīng)驗和知識儲備，結(jié)合幾何直觀，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，此題為分段函數(shù)，需要分三種情況討論：第一種情況，通過路程等于速度乘以時間的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型，初步感知y與時間x之間的關(guān)系。在分析第二運(yùn)動情況時，學(xué)生無法通過函數(shù)的增減性判定正確結(jié)論，理性分析走不通，那么可以先從感性分析，教師可以借助GeoGebra展示動點形成函數(shù)圖象的過程，先從直觀的角度驗證學(xué)生的猜想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.借助“GeoGebra”，猜想驗證

首先，我們根據(jù)題目編寫GeoGebra腳本。

其次，教師展示，如圖2，我們在GeoGebra繪制AP的運(yùn)動軌跡，請大家觀察，移動滑動條d，這樣可以顯示函數(shù)圖象的全貌。

（學(xué)生很驚嘆，B選項才是正確答案）

教學(xué)說明：一編寫GeoGebra腳本，給教師提供信息技術(shù)支持，二用利用 GeoGebra的度量工具，感受AP的長度變化，三是用軌跡工具（追蹤點P），形成軌跡函數(shù)，旨在通過幾何直觀，尋找運(yùn)動中的變量關(guān)系，轉(zhuǎn)化問題。教學(xué)中借助“GeoGebra”可視化，更加清晰直觀地觀看到動線AP的運(yùn)動軌跡，激發(fā)學(xué)生探究熱情，引導(dǎo)學(xué)生能運(yùn)用圖形變化描述動態(tài)問題，利用幾何直觀來進(jìn)行思考，實現(xiàn)了從感性認(rèn)識到理性思維的構(gòu)建。

3.通過邏輯分析，嚴(yán)謹(jǐn)推理

教師：雖然我們借助“GeoGebra”畫圖，探索出線段AP的長度y與運(yùn)動時間x之間的函數(shù)圖像，但是數(shù)學(xué)需要嚴(yán)謹(jǐn)論證，既然當(dāng)點P從點B到運(yùn)動點C時，AP的變化軌跡是類似拋物線，我們就要回歸構(gòu)建函數(shù)解析思路，哪位同學(xué)能說說你看法？

學(xué)生8：我們可以過點P作PH垂直AB，利用勾股定理求出AP的長度。

教師：很好，那個如何表示AH，和PH的長度？

學(xué)生8：可設(shè)三角形的邊長為2，速度為1，這樣則BP=x-2，所以，建立函數(shù)模型：y=。

教師：那么y=的函數(shù)圖像是怎么樣呢？

（學(xué)生再次議論起來）

學(xué)生9：因為△=（6）2-4×12=-12<0，所以y=不是一個完全平方式，根式無法開方，這樣意味y與x的關(guān)系不是一次函數(shù)。因此排除A選項，選項B符合題意。

教師：很好，此處我們通過設(shè)特殊值法，然后通過勾股定理建立y與x的函數(shù)模型，從而排除A選項，那么能否從特殊到一般，設(shè)等邊三角形的邊長為a，速度為v，分析問題呢？

（學(xué)生類比分析，教師板書求解過程）

作HP⊥AB，交AB于點H，則BP=vx-a，所以BH=

建立函數(shù)模型：因為△=（3av）2-4×3a2×v=-3a2v<0不因此3a2-3avx+v2x2是一個完全平方式，根式無法開方，這樣意味y不是一次函數(shù)。因此B為正確選項。

教學(xué)說明：本環(huán)節(jié)化動為靜，用速度和時間表示動邊的長度，再通過勾股定理，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系，但是，指數(shù)函數(shù)問題不在初中學(xué)生學(xué)習(xí)和解決的范疇中，顯然，這里需要調(diào)整策略，利用△語言轉(zhuǎn)化問題，推理得到正確的結(jié)論，此時，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般思維過程，理解動與靜的辨證關(guān)系，提升分析動點幾何題的能力，獲得成功經(jīng)驗。

三、鞏固提高

1.梳理條件，化動為靜

教師：下面我們觀察這道題，題目中有哪些是定點，哪些是動點，哪些是動線？

全體學(xué)生：A，B，C，D，O是定點，P，E，F(xiàn)為動點，BP與EF為動線。

教師：此題應(yīng)該分多少情況討論？自變量的取值范圍是多少？

學(xué)生10：分兩種情況，當(dāng)點P在BO上運(yùn)動時，0≤x≤4，當(dāng)點P在DO上運(yùn)動時，4<x≤8。

教師：很好，那么如何把BP與EF聯(lián)系起來呢？你能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)模型？

眾生：A型的相似模型。

（如圖5，6，利用GeoGebra展示兩種情況）

2.回顧模型，巧妙應(yīng)用

教師：為了應(yīng)用A型的相似模型，我們必然要用式子表示動邊的長度，你們有什么想法？

學(xué)生11：第一種情況，BP=x，EF=y;第二種情況，BP=x，DP=8-x，EF=y。

學(xué)生12：這樣可以利用相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)中線的比求解。

3.解法呈現(xiàn)，實驗驗證

解：如圖5，0≤x≤4，因為BO為△ABC的中線，EF∥AC，則BP為△BEF的中線，△BEF∽△BAC，因此，即，解得，同理可得，當(dāng)4

教學(xué)說明：本題和例題一樣，都是動點問題形成線段的函數(shù)圖像問題。教學(xué)中利用“GeoGebra”可視化工具。分類討論，化動為靜，分類討論是指確定動點所在的位置，明確自變量的取值范圍，化動為靜是指通過代數(shù)式表達(dá)動態(tài)邊長。然后，在利用相似模型找出動邊的數(shù)量關(guān)系，解題教學(xué)時要善于抽絲剝繭，用運(yùn)動思維去研究動點問題，揭示變化過程。使得學(xué)生在解題中有抓手，數(shù)學(xué)高階思維有提升。

四、GeoGebra輔助動點問題教學(xué)效果分析

為了解GeoGebra輔助動點問題教學(xué)后學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果，在今年疫情階段，通過兩周的網(wǎng)課利用GeoGebra輔助動點問題教學(xué)后，筆者對兩個班級106位學(xué)生開展了問卷調(diào)查，利用“釘釘”平臺，問卷包括5個單項選題，回收有效問卷106份，統(tǒng)計分析結(jié)果如表1所示。

調(diào)查表明，100%的學(xué)生有興趣學(xué)習(xí)GeoGebra軟件，體現(xiàn)學(xué)生有自主探究學(xué)習(xí)的熱情，同時，極少部分學(xué)生在網(wǎng)課學(xué)習(xí)抱有“無所謂”的態(tài)度，這揭示我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要多關(guān)注后進(jìn)生，而大部分學(xué)生都對GeoGebra提升數(shù)學(xué)興趣和學(xué)習(xí)效果中的作用給出較好的評價。

五、結(jié)束語

動點問題形成函數(shù)圖像是初中教學(xué)的一個難點和熱點，廣東中考數(shù)學(xué)的高頻考點，務(wù)必引起師生的高度重視。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于思考，以GeoGebra數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，通過教師的演示動點與函數(shù)變化規(guī)律，在實驗演示過程中，學(xué)生能夠?qū)狱c，動線，函數(shù)圖像可視化，培優(yōu)學(xué)生空間想象力和數(shù)學(xué)思維能力。因此，教師在教學(xué)中合理運(yùn)用信息技術(shù)，使得學(xué)生在一個良好的課堂氛圍中，促進(jìn)GeoGebra在動點問題教學(xué)的融合，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的興趣，最終形成較為成熟解決數(shù)學(xué)問題思維方式及能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]王吉.GeoGebra可視化在開放教育復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用[J].武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2020（4）.

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責(zé)任編輯? 吳華娣