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        揭示本質(zhì)深化運(yùn)用

        2021-01-10 15:10:24張帶輝
        關(guān)鍵詞:聯(lián)系認(rèn)識(shí)運(yùn)用

        張帶輝

        摘 ?要:根的判別式在解決一元二次方程根的情形方面有著廣泛的應(yīng)用,但判別式在其他方面的應(yīng)用威力就連許多初中數(shù)學(xué)老師都感到很驚訝,究其原因是我們不知道判別式的真實(shí)面目,沒有真正認(rèn)識(shí)清楚判別式的本質(zhì),也沒有真正理解判別式與一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系.本文將通過自己對(duì)判別式的認(rèn)識(shí),,揭示判別式的本質(zhì),理解判別式運(yùn)用的威力.

        關(guān)鍵詞:判別式的本質(zhì);認(rèn)識(shí);聯(lián)系;運(yùn)用

        為了揭示判別式的本質(zhì),看清楚判別式的真實(shí)面目,理解判別式與一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系,現(xiàn)將一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)……①作如下的配方:

        項(xiàng)移,得ax2+bx=-c

        方程兩邊都乘以4a,得4a2x2+4abx=-4ac

        方程兩邊都加上b2,得(2ax)2+2·(2ax)·b+b2=b2-4ac

        配方,得(2ax+b)2=b2-4ac

        即b2-4ac=(2ax+b)2……②

        對(duì)判別式的認(rèn)識(shí)我們不能僅僅只看到Δ=b2-4ac,也不能孤立的只看到②式,既要由①式往②a式去看,也要由②式往①式去想,這樣才能真正理解判別式的本質(zhì),因此本人對(duì)判別式的認(rèn)識(shí)有下列五點(diǎn)看法。

        第一,從①式到②式的演變過程來看,判別式是配方的結(jié)果,因此能用判別式法解決的問題也能用配方法解決。

        例1.若x、y為實(shí)數(shù),且滿足x2+5y2+4xy-2y+1=0,求x、y的值.

        解法1:(用判別式法)∵x、y為實(shí)數(shù)

        ∴關(guān)于x的一元二次方程x2+4yx+(5y2-2y+1)=0有實(shí)數(shù)解

        即Δ=(4y)2-4(5y2-2y+1)=-4y2+8y-4=-4(y-1)2≥0

        ∴(y-1)2≤0

        又∵(y-1)2≥0,∴y-1=0,得y=1,從而得到x=-2.

        解法2:(用配方法)∵x2+5y2+4xy-2y+1=0

        ∴(x2+4xy+4y2)+(y2-2y+1)=0,即(x+2y)2+(y-1)2=0

        得到 ? ?x+2y=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x=-2

        y-1=0 ? ? ?,解得: ? ?y=1

        第二,由②式往①式的聯(lián)系來看,知道形如b2-4ac≥0或≤0的問題,可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解決。

        例2.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足 ? (b-c)2=(a-b)(c-a),求

        的值.

        分析:本題看似與判別式無關(guān),但由已知可轉(zhuǎn)化得(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0,聯(lián)想到Δ=0,這樣便可以用一元二次方程來解決。

        解:當(dāng)a=b時(shí),可得b=c=a.故 ? ? ? ? = 2.

        當(dāng)a≠b時(shí),設(shè)關(guān)于x的一元二次方程為(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0∵(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0,即Δ=0

        ∴方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。又∵(a-b)+(b-c)+(c-a)=0∴方程的兩根都為1

        由根與系數(shù)的關(guān)系,得 ? ? ? ? ? ?=1,得到b+c=2a,故 ? ? ? ? ?= 2.

        ∴ ? ? ? ? ?的值為2.

        第三,從②式的結(jié)構(gòu)特征來看,當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí),(2ax+b)2≥0,即b2-4ac≥0。

        也就是說①式中,x為實(shí)數(shù)?b2-4ac≥0.利用它能解決一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍。

        例3.求代數(shù)式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的取值范圍.

        分析:通過換元將等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程,再利用Δ≥0來確定范圍.

        解:設(shè)y= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,則(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.

        當(dāng)y≠ ? ? 時(shí),∵x為實(shí)數(shù),∴Δ=4(y+1)2-4(2y-1)(y+3)≥0

        即y2+3y-4≤0.∴(y+4)(y-1)≤0.∴-4≤y≤1

        當(dāng)2y-1=0時(shí),即y= ? ? ,方程有解.

        ∴-4≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ≤1.

        第四,從②式的整體來看,一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況等價(jià)于方程(2ax+b)2=b2-4ac的解的情況。容易得到:1.當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),一元二次方程有實(shí)數(shù)根;2.當(dāng)b2-4ac>0時(shí),該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)x= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;3.當(dāng)b2-4ac=0時(shí),該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)x1=x2=- ? ? ? ;4.當(dāng)b2-4ac<0時(shí),該方程沒有實(shí)數(shù)根。

        第五,從①式的左邊來看,若二次三項(xiàng)式ax2+bx+c是一個(gè)完全平方式,那么②式的右邊就等于0,即b2-4ac=0。

        例4.已知二次三項(xiàng)式4x2+(m-1)x+9是完全平方式,求m的值.

        解:∵4x2+(m-1)x+9是完全平方式

        ∴(m-1)2-4×4×9=0.即(m-1)2=144,

        解得m1=13,m2=-11.

        例5.已知2x2-xy-y2+2my-8能分解成兩個(gè)一次因式的積,求m的值并進(jìn)行因式分解。

        解:設(shè)2x2-xy-y2+2my-8=0,則關(guān)于x的二次方程為2x2-yx+(-y2+2my-8)=0.

        ∵多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積

        ∴判別式Δ是完全平方式

        即(-y)2-8(-y2+2my-8)=(3y)2-2m·y·8+82是完全平方式,∴m=±3.

        (1)當(dāng)m=3時(shí),由方程2x2-xy-y2+6y-8=0解得x=y-2或x=- ? ? y+2.

        ∴原式=(x-y+2)(2x+y-4).

        (2)當(dāng)m=-3時(shí),由方程2x2-xy-y2-6y-8=0解得x=y+2或x=- ? ? y-2.

        ∴原式=(x-y-2)(2x+y+4).

        參考文獻(xiàn):

        [1]王家成,李銳.判別式活用掠影[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬·初中),2009,5.

        (作者單位:惠州市博羅縣龍溪第二中學(xué),廣東 ? 惠州 ? 516121)

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