張艷 阿力非日

摘 要：初等幾何研究是高等師范學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要課程，然而學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果并不理想。本文對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)合學(xué)生情況和自己的教學(xué)實(shí)踐提出一些思考。

關(guān)鍵詞：初等幾何研究; 教學(xué)現(xiàn)狀; 思考

中圖分類號(hào)：G658? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ?文章編號(hào)：1006-3315（2020）12-156-002

1.問題的提出

初等幾何研究為高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育專業(yè)學(xué)生的一門非常重要的專業(yè)課程。高等院校數(shù)學(xué)師范專業(yè)學(xué)生不僅需要具備中學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)所涉及的知識(shí)，為了能更好地掌握和處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，還必須要明確中學(xué)幾何中的一些數(shù)學(xué)概念的精確定義，對(duì)沒有證明或者證明不完整的數(shù)學(xué)命題給出嚴(yán)格的證明，同時(shí)還要了解一些廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)方的理論依據(jù)。因此該課程與中學(xué)數(shù)學(xué)密切相關(guān)，同時(shí)也與高等數(shù)學(xué)有一定的聯(lián)系。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)可以進(jìn)一步深化對(duì)初等數(shù)學(xué)的理解和掌握。本課程的教學(xué)目的是：通過該課程的學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)課程中幾何知識(shí)的相關(guān)基礎(chǔ)理論、基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能;了解初等幾何內(nèi)容和知識(shí)結(jié)構(gòu)，以較高觀點(diǎn)來審視初等幾何中的相關(guān)內(nèi)容，并對(duì)它們做出進(jìn)一步的探討和研究，在數(shù)學(xué)方法上得到訓(xùn)練，為從事基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)類教學(xué)打下較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

雖然初等幾何研究課程的開置對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)需求具有極其重要的作用，但現(xiàn)實(shí)中該課程一直處于一種十分尷尬境地。一部分學(xué)生認(rèn)識(shí)不到學(xué)習(xí)這一門課程的重要性，他們普遍認(rèn)為自己在初中已經(jīng)學(xué)過了初等幾何的內(nèi)容，不需要再搞什么專門的復(fù)習(xí)研究，正因?yàn)橛辛诉@種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，他們?cè)趯W(xué)習(xí)中就糊里糊涂地應(yīng)付，弄不清學(xué)什么，也不知道怎樣學(xué)。這門課的任課教師也深感課難上、作業(yè)難改， 抓不住學(xué)生學(xué)習(xí)的心理，提不起學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣。面對(duì)“學(xué)時(shí)無味，用時(shí)不足”兩難境地[1]。這一問題已經(jīng)引起眾多教師的關(guān)注， 也在不斷探索其解決的辦法， 但目前來看富有成效的教學(xué)法尚不多。為此筆者對(duì)自己所教授的初等幾何研究課程為出發(fā)點(diǎn)，試圖了解目前該課程教與學(xué)的現(xiàn)狀，并結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)思考改進(jìn)方法。

2.研究對(duì)象與方法

為了能夠很好地了解數(shù)學(xué)專業(yè)本科生學(xué)習(xí)初等幾何研究課程的具體情況，選取樣本為西昌學(xué)院彝語言文化學(xué)院2018級(jí)和2019級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（彝加）總共三個(gè)班級(jí)進(jìn)行調(diào)查。其中2018級(jí)的學(xué)生采用的是傳統(tǒng)的黑板加粉筆的教學(xué)，采用了“生教生”的教學(xué)模式，即在課堂教學(xué)的過程中安排了部分課時(shí)部分內(nèi)容的學(xué)生上臺(tái)講課的方式[2]。

2019級(jí)的學(xué)生采用的是網(wǎng)絡(luò)教學(xué)模式，教師提前將授課內(nèi)容錄制好，通過學(xué)校的超星學(xué)系統(tǒng)平臺(tái)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)教學(xué)。

問卷內(nèi)容主要包括三個(gè)方面：學(xué)生對(duì)課程的認(rèn)識(shí)和興趣、教學(xué)內(nèi)容方法和手段、教學(xué)效果。同時(shí)還設(shè)置了1道開放題：你對(duì)初等幾何研究的教學(xué)有什么建議？總共發(fā)放問卷170份，回收153份，有效問卷153份，回收率90%，有效率100%。

本研究主要采用問卷法、統(tǒng)計(jì)分析法和談話法，了解西昌學(xué)院彝語言文化學(xué)院初等幾何研究課程的教學(xué)情況，并對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行分析，思考在教學(xué)內(nèi)容、手段和方法上的改進(jìn)措施以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程的一些建議。

3.研究結(jié)果及討論

通過對(duì)問卷數(shù)據(jù)的處理和分析總結(jié)，主要從學(xué)生、教師和教學(xué)內(nèi)容手段三個(gè)方面進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)顯示結(jié)果如下：

3.1學(xué)生對(duì)初等幾何研究課程的認(rèn)識(shí)度高、學(xué)習(xí)興趣高

通過調(diào)查分析數(shù)據(jù)可以看出，絕大部分學(xué)生認(rèn)識(shí)到初等幾何研究課程在專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)和即將要從事的教師職業(yè)中的重要意義，同時(shí)也比較感興趣。因此大部分學(xué)生對(duì)《初等幾何研究》這門課程的興趣是比較高的，但結(jié)果顯示仍然有7.8%的學(xué)生覺得學(xué)習(xí)這門課程對(duì)專業(yè)學(xué)習(xí)和日后工作沒什么意義，2.6%的學(xué)生覺得完全沒有興趣。

3.2教學(xué)內(nèi)容陳舊，與中學(xué)接教學(xué)銜接不夠

通過調(diào)查分析可以看出，約43%的學(xué)生認(rèn)為初等幾何研究課程的內(nèi)容還是比較新，65.4%的學(xué)生認(rèn)為該課程的教學(xué)內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)的具體內(nèi)容連接不夠緊密。在學(xué)習(xí)了本課程的相關(guān)知識(shí)后，雖有較大的收獲但并不知道其在中學(xué)幾何教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用方法。由此可以發(fā)現(xiàn)大部分的學(xué)生覺得在內(nèi)容的安排上還有革新的空間，與中學(xué)幾何具體教學(xué)內(nèi)容銜接不夠。因此非常有必要增加與中學(xué)具體教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。

3.3教學(xué)方法與手段單一，效果不盡如人意

通過調(diào)查分析可以看出，約62.7%的學(xué)生希望教師在教學(xué)過程中要結(jié)合計(jì)算機(jī)進(jìn)行初等幾何研究課程的教學(xué)，在教學(xué)過程中應(yīng)適當(dāng)增加提問交流和討論探究的環(huán)節(jié)，改變傳統(tǒng)課堂的教學(xué)形式，認(rèn)為目前的教學(xué)效果非常好的學(xué)生僅占41.8%，認(rèn)為教學(xué)效果一般占52.3%，還有5.2%的學(xué)生街的目前的教學(xué)效果很差。由此可以發(fā)現(xiàn)，目前的教學(xué)手段和方法單一，教學(xué)效果很一般。

3.4學(xué)生的建議

通過學(xué)生對(duì)開放題的回答的分析，學(xué)生普遍希望多增加自主探究，提問互動(dòng)，小組討論，學(xué)生上臺(tái)講課的實(shí)踐機(jī)會(huì)，同時(shí)在課程的內(nèi)容上希望多考慮實(shí)際應(yīng)用，加強(qiáng)與中學(xué)幾何知識(shí)的連接。在教學(xué)手段上部分學(xué)生認(rèn)為不能完全依靠網(wǎng)絡(luò)教學(xué)，希望采用傳統(tǒng)手段與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的教學(xué)形式。在課程作業(yè)形式的建議中，學(xué)生對(duì)作業(yè)的形式?jīng)]有很多自主的選題，基本上也就是教師布置，學(xué)生自己主動(dòng)去圖書館等地方去找題做題的意識(shí)較差。

4.思考與改進(jìn)措施

4.1更新調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

學(xué)生對(duì)初等幾何研究內(nèi)容的興趣高，但是為什么學(xué)生最后的學(xué)習(xí)效果并沒有想象中那么好呢？通過與學(xué)生交談其中原因發(fā)現(xiàn)：一是彝語言文化學(xué)院的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)較差，高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)超過90分的都較少，尤其是幾何圖形，學(xué)生的圖形推理和空間想象能力不足;二是學(xué)生覺得該門課程的數(shù)學(xué)“含金量”不高，大多是中學(xué)幾何內(nèi)容的重現(xiàn)和加深，處于看似都懂，實(shí)則不會(huì)推廣深究，在實(shí)際應(yīng)用上更是差強(qiáng)人意，同時(shí)學(xué)生對(duì)本課程的重要性認(rèn)識(shí)不夠;三是認(rèn)為此課程相對(duì)于其他專業(yè)課程來說比較簡單，學(xué)生自己不費(fèi)多大勁就可以看懂教材，聽不聽課無所謂，其“初等特點(diǎn)”引發(fā)不了學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，但具體分析問題后往往有無從下手的感覺。如何有針對(duì)性地解決此問題呢？

一方面，教師需要在教學(xué)過程中更新調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，最重要的就是增加初等幾何研究課程內(nèi)容與中學(xué)初等幾何教學(xué)具體內(nèi)容的銜接，讓學(xué)生體會(huì)到該課程的重要性和實(shí)用性。并引導(dǎo)學(xué)生思考在學(xué)習(xí)了相關(guān)專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)上如何用高觀點(diǎn)來指導(dǎo)中學(xué)幾何教學(xué)、處理中學(xué)幾何問題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)能力。如梅涅勞斯定理和錫瓦定理中三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)問題，在初中數(shù)學(xué)競賽中具有廣泛的應(yīng)用，又如利用初等幾何變換解初中幾何相關(guān)問題等。另一方面，基于彝語言文化學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的實(shí)際情況：即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)薄弱。教師在教學(xué)過程中還需要加大對(duì)初中幾何知識(shí)的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充，同時(shí)通過內(nèi)容的調(diào)整激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣。

如在講等角的證法這一講中提到的“蝴蝶定理”，蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，首先學(xué)生聽到這個(gè)定理名字會(huì)產(chǎn)生一定的聯(lián)想，蝴蝶的形象便浮現(xiàn)在腦海中，同時(shí)學(xué)生會(huì)產(chǎn)生一定的興趣，這時(shí)教師可以順勢引導(dǎo)學(xué)生思考蝴蝶定理名字的由來，通過直觀的圖形進(jìn)一步探索，補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生自主探究，通過圖書或網(wǎng)絡(luò)了解該定理相關(guān)的歷史、發(fā)展和現(xiàn)狀：這個(gè)命題最早出現(xiàn)在1815年，由W.G.霍納提出并首先完成證明。而“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)在《美國數(shù)學(xué)月刊》1944年2月，題目的圖形像一只蝴蝶。并提出這個(gè)定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數(shù)學(xué)愛好者研究，在考試中時(shí)有各種變形，引導(dǎo)學(xué)生探索該定理的證明方法，同時(shí)思考其在中學(xué)幾何中的實(shí)際應(yīng)用。

4.2轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，注重自主學(xué)習(xí)和實(shí)踐能力的提升

教師需要改進(jìn)教學(xué)手段與教學(xué)方法，目前高校的課堂教學(xué)不容樂觀，教師和學(xué)生兩者之間沒有太多的交流。加之?dāng)?shù)學(xué)專業(yè)課的特點(diǎn)：抽象、枯燥、乏味，學(xué)生參與課堂的機(jī)會(huì)相對(duì)較少，初等幾何研究偏向于中學(xué)的幾何內(nèi)容，學(xué)生對(duì)于這部分內(nèi)容相對(duì)較熟悉，同時(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)刪減了大量繁難的幾何證明題，淡化幾何證明的技巧，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度[4]。在教學(xué)過程中應(yīng)更加注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，增加小組討論、自主探究、學(xué)生講課、提問交流等教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生成為課堂的主體。作業(yè)的形式可設(shè)計(jì)小組討論、代表上臺(tái)講課分享討論結(jié)果，并鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，探討不同的方法等。鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揚(yáng)吃苦耐勞的精神，多練習(xí)多實(shí)踐，學(xué)好數(shù)學(xué)本來就沒有什么捷徑，需要靜心、耐心和恒心，同時(shí)需要一定的探索精神，方能有所收獲。

如在講到演繹法與歸納發(fā)法時(shí)，通過書本的例2：圓上任一點(diǎn)至內(nèi)接偶數(shù)邊形（不一定是凸的）相間諸邊（所在直線）的距離之積，等于該點(diǎn)至其余諸邊（所在直線）的距離之積的證明，進(jìn)一步思考圓上任一點(diǎn)至內(nèi)接四邊形一雙對(duì)邊的距離之積到與到兩對(duì)角線的距離相等，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考五邊形中的結(jié)果，以此拓展到n邊形的一般結(jié)論，在學(xué)習(xí)的過程中以書本為依托，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維和實(shí)踐能力，做到舉一反三。

4.3充分利用現(xiàn)代化教育手段，探索混合式教學(xué)模式

通過對(duì)2018級(jí)和2019級(jí)學(xué)生的調(diào)查，在數(shù)學(xué)相關(guān)課程的教學(xué)中傳統(tǒng)的黑板加粉筆確實(shí)更容易讓學(xué)生明白推導(dǎo)過程，但教學(xué)效率低;網(wǎng)絡(luò)教學(xué)（錄播）雖然提高了教學(xué)效率，但課堂氛圍和教學(xué)效果大打折扣?；凇冻醯葞缀窝芯俊氛n程的性質(zhì)和特點(diǎn)，更加適合采用的教學(xué)模式是線上線下混合式教學(xué)，同時(shí)增加如幾何畫板、Geogebra作圖等數(shù)學(xué)軟件的使用和介紹。

如在教學(xué)的過程中使用Geogebra探究動(dòng)點(diǎn)問題，講到立體幾何部分時(shí)使用Geogebra的3D繪圖區(qū)繪制圖形等，通過動(dòng)態(tài)的演示，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，激發(fā)其學(xué)習(xí)的興趣，強(qiáng)調(diào)過程與方法，增強(qiáng)教學(xué)過程的可視化，提高教學(xué)效果。

總之，初等幾何研究是數(shù)學(xué)專業(yè)很重要的一門專業(yè)課程，為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，我們?cè)谏铣醯葞缀窝芯空n程時(shí)，要從學(xué)生的興趣、學(xué)習(xí)心理，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)和安排，教學(xué)手段與方法各方面綜合考量，優(yōu)化課堂教學(xué)的策略，完善教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。

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