高曉健

猜的正名

在很長一段時間內(nèi)，數(shù)學都被認為是一種系統(tǒng)的演繹科學。這一成見甚至可以追溯到歐幾里得時代。直到20世紀40年代，美籍匈牙利數(shù)學家喬治·波利亞（G.Polay）通過對數(shù)學創(chuàng)造和學習的具體思維過程的再現(xiàn)、分析，提出了“合情推理”的思維模式。

在《怎樣解題》[1]一書中他指出：“數(shù)學具有兩個面，它既是歐幾里得的嚴謹?shù)目茖W，但同時也是別的什么?！边@里的別的什么，指的就是合情推理。

從解題的角度（雖然顯得比較應(yīng)試，但我們應(yīng)該要意識到解題就是從某種程度上研究數(shù)學問題）看，無論是證明題還是解答題，所有答案都需要我們用嚴謹?shù)囊蚬P(guān)系來書寫，這是數(shù)學的第一個面——演繹推理。但是在學習的過程中我們也應(yīng)該注意到，很多時候我們解決不了一個問題，不是因為不懂得如何嚴謹?shù)貢鴮?，而恰恰是不知道如何找到解題的思路。嚴謹?shù)臅鴮懯莾?nèi)斂的由因?qū)Ч?，當我們確定了大體方向之后，書寫變化基本不大。但是我們拿到題目探索思路卻更發(fā)散，哪怕同一個條件也可以有豐富的聯(lián)想。把這些紛繁復(fù)雜的聯(lián)想進行整合的過程，其實就是我們所說的合情推理?；蛘哒f得更直白一些，就叫猜想。

猜的現(xiàn)狀

可能你沒有意識到，但是幾乎所有需要一些思考的數(shù)學問題都對你的猜想能力提出了要求。那么我們現(xiàn)在對高中生的猜想能力培養(yǎng)得如何呢？誠然，教材設(shè)置了專門的章節(jié)來教授合情推理，但是我想一般的學?？赡茉谡麄€高中三年也只會留一兩個禮拜的時間來教授。這顯然與其在數(shù)學中的地位極不相稱。

可能有人會說：“那好辦啊，現(xiàn)在的高中基本高三整個一年都在復(fù)習，多給幾個禮拜還不夠嗎？”這……當然不夠?；蛘邞?yīng)該說，這不是課時的問題。前述已明，猜想存在于每個需要思考的數(shù)學問題之中，那么我們的教學自然也應(yīng)該存在于每個數(shù)學問題之中才對。

猜的模式

教材中涉及的合情推理內(nèi)容，基本就是歸納推理與類比推理兩塊。讓我們回到“開山祖師爺”波利亞那里，他老人家確實非常強調(diào)歸納與類比這兩個手段，在他的三個姊妹篇《怎樣解題》《數(shù)學與猜想》[2]和《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》[3]中多次提及。但是合情推理畢竟是發(fā)散性的猜想，飄忽不定才是它應(yīng)有的面貌。其實，這個問題也早有前輩論及。比如《波利亞合情推理的成功與不足》[4]一文中就指出：“通過進一步考察他（波利亞）所組織的反映其合情推理的案例，可見合情推理主要包括歸納、審美和間接實證等幾個方面?！边@里簡單解釋一下審美。好比門外漢和專家一起看青花瓷，門外漢多半形成不了聯(lián)想，但是專家往往可以通過各種蛛絲馬跡來猜測它的真贗、年代、產(chǎn)地等等。數(shù)學問題也是一樣，很多老師能夠在未經(jīng)演算的情況下就大體判斷出某想法是否可行，這就是數(shù)學審美。所以筆者斗膽將合情推理模式描繪成這樣一個場景：在數(shù)學審美的指導(dǎo)下，進行類比、歸納或其他猜想，得出猜想一;然后，繼續(xù)在數(shù)學審美的指導(dǎo)下，進行類比、歸納或其他猜想，得出更可信的猜想二……如此持續(xù)到幾近完美。之后的事就交給演繹推理了。

猜的實戰(zhàn)——歸納推理

只有泛泛而談未免單調(diào)。筆者分享一個在教學過程中的實例來輔助說明：

此題求前2012項和，關(guān)鍵點當然在求出通項公式，也就要對遞推關(guān)系式作處理?？此撇浑y，但是在初學階段，學生往往難以一蹴而就地想到正確解法。毫不夸張地說，在普通一點的學校，能不能有一小半的學生構(gòu)造成功都是存疑的。那么對于大多數(shù)學生來說，聽老師講課未免有些望山跑馬了。

對于那些沒有一點想法的學生來說，打擊太多甚至會讓他們漸漸失去對數(shù)學的興趣。我們可以試著讓他從“猜”開始。

直接構(gòu)造數(shù)列的通項公式太難，那么我們能不能試著猜出來呢？通項公式是項值與項數(shù)的關(guān)系，那么只要計算幾項，應(yīng)該就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。

怎么樣，是不是很容易操作。容易就對了，我們在沒有降低題目難度的同時，讓學生更容易得到答案，獲得成就感，也就免于失去對數(shù)學的興趣，對學習的興趣。這就是猜的第一個好處：比解題容易，讓更多學生能夠參與。

猜的實戰(zhàn)——審美加成

可能有人會說，這不是辦法啊。這個通項公式畢竟是“猜”到的，不符合數(shù)學的嚴謹性。確實如此，不僅我們老師，只要學生有一點上進心的話也會知道這樣其實是不妥的，這將在后續(xù)的學習中激勵他更進一步。

可能你會說“這兩個方法差別不大”。但只要學生足夠有心，就一定會擔心將來的問題，直接進行猜想可能會遇到猜不出的情況。學生就會嘗試培養(yǎng)自己的數(shù)學審美，或許他并不知道這個詞，但是實質(zhì)上他會在這個方向努力。我們可以說，猜其實也是一種提高數(shù)學審美的絕佳手段。

猜的終結(jié)——歸于不猜

當我們在日常教學中積極引入猜想之后，這道本來只能啟發(fā)一小半學生的題目，就變得人人能從中受益。其背后的成就感，激發(fā)的靈感、興趣都是不可估量的。

猜的后言

老師或許會很擔心，如果教學生來猜答案，會不會讓學生懶于思考?；蛟S真有老師嘗試了這種教學策略之后發(fā)現(xiàn)有一半的學生都沉浸在第一個階段似乎也沒有進步的跡象。但你要知道，不然的話，這些甚至更多的學生會步入對遞推關(guān)系，甚至對數(shù)學的恐懼之中。雖然算不得，但是猜了個大概，足以讓很多學生寬慰。而我們也不應(yīng)該希望有這么一種辦法能讓全部學生一定時間內(nèi)取得最好的學習成就。畢竟我在前文的行文中也強調(diào)了諸如“有一點上進心”“足夠有心”等字眼。但是對于上進的有心的這部分學生，當他最后發(fā)現(xiàn)，猜想的答案離標準只差這么微小的一步，他怎么可能會放棄學習呢？當數(shù)學審美達到一定程度時，就會從量變到質(zhì)變——完全解出題目。畢竟完全解決一個問題比大致解決更能給人以興奮。

當我們回顧整個過程不難發(fā)現(xiàn)，雖然“猜”聽上去就不上臺面，但是猜給我們帶來了解題的“興奮”。正是這種興奮，挽救了那些在數(shù)學面前弱小又無助的學習信心，提升了那些在轉(zhuǎn)化條件時的數(shù)學審美，并最終將學生送入“不猜的境界”。文筆拙劣，非敢言能補正前賢之缺失也。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題：數(shù)學思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[2]G·波利亞.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)：對解題的理解研究的講授[M].北京：科學出版社，1981.

[3]G·波利亞.數(shù)學與猜想：數(shù)學中的歸納與類比[M].北京：科學出版社，2001.

[4]孫名符，蒙虎.波利亞合情推理的成功與不足[J].數(shù)學教育學報，1998，7（3）：43-46.

編輯 李琴芳