摘 要：“三角形面積法”在數(shù)學(xué)解題中有一定的應(yīng)用技巧，學(xué)生掌握“三角形面積法”可以在解題中快速找到思路，簡化數(shù)學(xué)解題過程。文章指出“三角形面積法”的內(nèi)涵，并結(jié)合具體的教學(xué)案例，從數(shù)學(xué)證明題、數(shù)學(xué)求值題、數(shù)學(xué)函數(shù)問題入手，具體闡述“三角形面積法”的應(yīng)用技巧。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);解題;三角形面積法;證明題

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2020）34-0084-02

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生只有掌握多元和有效的解題方法，才能進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)。靈活應(yīng)用“三角形面積法”來解答數(shù)學(xué)問題，可使一些數(shù)學(xué)問題化繁為簡、從難到易，從而拓寬學(xué)生的解題思路。本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)有關(guān)問題，具體談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)解題中應(yīng)用“三角形面積法”。

一、 “三角形面積法”的內(nèi)涵

“三角形面積法”，主要是指利用三角形面積的相互轉(zhuǎn)化，或面積與邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，從而解決問題的有效解題方法。

二、“三角形面積法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

1.在數(shù)學(xué)證明題中的應(yīng)用

證明題是初中生經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)問題，但是在實際解答過程中，仍有不少學(xué)生找不到正確的證明路徑，導(dǎo)致解題慢、思路混亂，無法正確、高效地解答出數(shù)學(xué)問題。上述問題的出現(xiàn)，主要是學(xué)生沒有掌握更多有效的數(shù)學(xué)問題解決路徑。為了有效拓寬學(xué)生的解題思路，教師可以借助“三角形面積法”，引導(dǎo)學(xué)生從單純的面積計算題過渡到證明題，以促使學(xué)生懂得利用“三角形面積法”的特點，將證明題中的已知和未知量與三角形面積公式聯(lián)系起來，從而將復(fù)雜的證明題簡化，進(jìn)而尋找到解題的有效路徑。

以下面這道數(shù)學(xué)證明題為例：如圖1所示，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AD、AB上的點，BE=DF，且相交于P點，請求證：∠DPC=∠BPC。

分析：通常學(xué)生解答類似題目時，往往只會觀察原圖形，卻不會利用添加輔助線的形式來進(jìn)行問題的探究。同時，很多學(xué)生也會被原題的框架所束縛。比如，原題目中講到的圖形是平行四邊形，那么學(xué)生很容易被平行四邊形的知識所影響，不斷從平行四邊形的定理知識中尋求解題方法，而很少會走出原題設(shè)定的框架，去結(jié)合其他的數(shù)學(xué)理論來解答這道題目。對這道關(guān)于平行四邊形的數(shù)學(xué)證明題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“三角形面積法”有關(guān)思路，在原題的平行四邊形中添加輔助線，如將C點分別與F點、E點進(jìn)行連接，以將證明題中的已知和未知的各量用三角形面積公式聯(lián)系起來，從而通過三角形面積運算來求證該問題，實現(xiàn)平行四邊形知識與三角形面積知識的有效融合。

分析：S△BCE=（1/2）S平行四邊形ABCD = S△CDF ，∵BE = DF，∴△BCE的邊BE上的高與△CDF的邊DF上的高相等，即點C到∠BPD的兩邊的距離也相等，進(jìn)而得出∠DPC=∠BPC。

反思：從這道題目解答中，可以看出只要學(xué)生懂得靈活運用“三角形面積法”，在題目給出的圖形中添加輔助線，就可以將已知和未知的量聯(lián)系起來，從而快速完成證明。但是，在整道數(shù)學(xué)證明題中，重點是學(xué)生必須懂得添加CE和CF兩條輔助線，從而有效運用“三角形面積法”證明∠DPC=∠BPC。

2.在數(shù)學(xué)求值問題中的應(yīng)用

通常學(xué)生會遇到各種各樣的數(shù)學(xué)求值問題，而且數(shù)學(xué)求值問題靈活多變，如果學(xué)生只掌握一種數(shù)學(xué)解題方法，往往會遇到解題障礙。因此，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生了解多樣的數(shù)學(xué)解題方法，以在靈活多變的數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用有效的數(shù)學(xué)解題方法解決問題。對于數(shù)學(xué)求值問題，學(xué)生可利用“三角形面積法”，在看似與三角形無關(guān)的平面幾何計算問題中，將復(fù)雜的平面幾何圖形計算問題轉(zhuǎn)化為三角形面積公式的計算問題，從而排除圖形中的干擾項，實現(xiàn)從形到數(shù)的有效轉(zhuǎn)化，最終引導(dǎo)學(xué)生巧妙利用數(shù)量關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題。

如圖2所示，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中OA=6，OC=8，如果將矩形進(jìn)行折疊，讓點B與O重合，以得到折痕EF，請求出EF的值。

分析：在這道幾何求值問題中，學(xué)生可以利用“三角形面積法”進(jìn)行解答。首先，學(xué)生可以從題目已知條件中找到“三角形面積法”與幾何圖形的關(guān)系，如題目中講明矩形折疊使得B點與O點能夠重合，那么通過折疊得到的折痕EF就是線段OB的垂直平分線，而通過得到的這個信息，學(xué)生就容易求證△EBG≌△FOG，從而進(jìn)一步求得GF=GE，進(jìn)而獲知四邊形BFOE是一個菱形。

根據(jù)這個解題突破口，學(xué)生就可以利用菱形的面積=EF·OB=EB·OA進(jìn)行列方程求解，最終得出折痕EF的具體長度值。

反思：在幾何求值問題中，運用“三角形面積法”是一種較為有效的解題方式。本題只需要學(xué)生懂得觀察圖形，找到線與線之間的關(guān)系，運用與三角形面積有關(guān)的知識點，就可以快速解答。如在上述圖形中，學(xué)生可以通過分析得出△EBG是一個直角三角形，那么就可以聯(lián)系到直角三角形的勾股定理內(nèi)容，進(jìn)而求出相關(guān)線段的長度。

3. 在數(shù)學(xué)函數(shù)問題中的應(yīng)用

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點知識，也是學(xué)生時常會碰到的數(shù)學(xué)問題。而在解題中，不少學(xué)生摸不著思路，找不到解題突破口。所以，教師要指導(dǎo)學(xué)生利用有效解題思路來分析函數(shù)問題，從而使學(xué)生不斷提升解題能力，積累解題經(jīng)驗。

如圖3所示，過點A（2，0）的兩條直線l1和l2分別交于y軸于點B和C。其中，B點在原點上方，C點在原點下方，并且已知AB=，如果△ABC的面積為4，請求出直線l2的函數(shù)解析式。

分析：這道函數(shù)解析式問題同樣可以利用“三角形面積法”進(jìn)行問題的求解。在此過程中，學(xué)生必須懂得結(jié)合題目的已知條件，如函數(shù)圖形的點、三角形的面積，以利用“三角形面積法”來進(jìn)行相關(guān)問題的計算，算出相關(guān)線段的長度，進(jìn)而求出未知點的坐標(biāo)，最終將所求的點和已知的點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中求出函數(shù)的解析式。

反思：在解答的過程中，學(xué)生需要基于已知條件，包括給出的點坐標(biāo)以及三角形的面積，并由三角形的面積進(jìn)行其他函數(shù)點坐標(biāo)的求解，求出可供計算的函數(shù)點坐標(biāo)，進(jìn)而將其代入函數(shù)解析式，最終求出函數(shù)的具體解析式。這些都考查了學(xué)生靈活運用知識和整合知識的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃孝培.淺談三角形面積法在初中幾何問題中的基本運用[J].中國數(shù)學(xué)教育，2019（03）.

[2]任龍華.初中數(shù)學(xué)解決直角三角形問題常見的幾種途徑[J].數(shù)理化解題研究，2017（03）.

[3]周冰清.面積法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[D].華中師范大學(xué)，2019.

[4]王素菊.淺談三角形面積公式的應(yīng)用[J].臨滄教育學(xué)院學(xué)報，2002（01）.

Application of Triangle Area Method in

Solving Mathematical Problems

Liu Rongjin

（Hetian Middle School， Changting County， Fujian Province， Changting 366301， China）

Abstract： "Triangle area method" has certain application skills in solving mathematical problems. Students can quickly find ideas in solving problems by mastering "triangle area method" and simplify the process of solving mathematical problems. This paper defines the connotation of "triangle area method"， and combining with specific teaching cases， it elaborates the application skills of "triangle area method" from the aspects of mathematical proof， mathematical evaluation and mathematical function.

Key words： junior high school mathematics; problem solving; triangle area method; proof problem

作者簡介：劉榮進(jìn)（1976-），男，福建長汀人，中學(xué)一級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。