錢新凱

[摘? 要] 課堂教學(xué)是師生共同展示生命活力的場所，是師生共同挑戰(zhàn)問題的賽場，是師生產(chǎn)生心靈共鳴的磁場. 文章以一道習(xí)題的教學(xué)為例，探討如何挖掘?qū)W生潛能，提升學(xué)生素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力.

[關(guān)鍵詞] 習(xí)題教學(xué);素養(yǎng);生命活力

課堂教學(xué)是師生共同展示生命活力的場所，是師生共同挑戰(zhàn)問題的賽場，是師生產(chǎn)生心靈共鳴的磁場. 然而在實現(xiàn)教學(xué)過程中，課堂教學(xué)仍然存在著一些問題，教師為知識的傳授而教學(xué)，學(xué)生為知識的獲取而學(xué)習(xí)，課堂成了知識“交易”的場所，學(xué)生的創(chuàng)造性和主動性得不到發(fā)揮，對學(xué)習(xí)的熱情幾近消退.

讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力，就是讓學(xué)生有知識的獲取，有個性的張揚(yáng)，有思維的增長，有素養(yǎng)的生長;讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力，就是讓教師的教學(xué)藝術(shù)得以施展，有付出的喜悅，有精神的收獲. 本文以一道習(xí)題的教學(xué)為例，探討如何挖掘?qū)W生的潛能，提升學(xué)生的素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力.

課例分析

1. 問題起源

設(shè)集合A={xx2+2x-3>0}，集合B={xx2-2ax-1≤0，a>0}. 若A∩B中恰好含有一個整數(shù)，試求出實數(shù)a的取值范圍.

2. 聚焦問題

本題是在高三三輪復(fù)習(xí)時，筆者安排的一道習(xí)題，看似簡單，實則不然. 問題拋出后，給足學(xué)生思考的時間，筆者來回巡視，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生剛進(jìn)入問題就思維卡殼，從而無處下手. 不少學(xué)生進(jìn)行了以下處理：A={xx2+2x-3>0}={xx<-3或x>1}，B={xx2-2ax-1≤0，a>0}={xx1≤x≤x■}，其中x1=a-■，x2=a+■，a>0. 下一步該如何處理？學(xué)生一臉茫然.

師：下面，請哪位學(xué)生來說一說，對于本題你是如何思考的呢？

生1：本題要求的是a的范圍，分析題目，條件“A∩B中恰好含有一個整數(shù)”則是破解的關(guān)鍵，那就需先求出A∩B，但是由于B中含有字母項，則求解無望. 那下一步該怎么做？分類討論嗎？

師：很好，思路清晰！我們一步步來思考，這里求解A∩B的關(guān)鍵是什么呢？

生1：求解A∩B的關(guān)鍵是比較a-■與-3，a+■與1的大小關(guān)系.

師：那可以比較嗎？

生1（思考片刻）：a+■與1的大小關(guān)系易比較：因為a>0，所以a+■>1;而a-■與-3卻無法比較. 這里需要分類討論嗎？

師：哪位同學(xué)愿意來幫助生1判斷a-■與-3的大小關(guān)系呢？

生2：我覺得可以這樣判斷：設(shè)a-■≤-3，則a+3≤■，解得a≤ -■，而顯然與a>0不符，則a-■> -3. 又a-■<0，所以-3

生3：我還有更簡單的方法：因為a>0，所以a+3=■>■（a>0），所以a-■>-3.

師：非常棒！這樣一來，我們就可以得出A∩B=（1，a+■]（如圖1所示）. 又A∩B中恰好含有一個整數(shù)，顯然這個整數(shù)是2，所以2≤a+■<3，所以2-a≤■<3-a，解得■≤a<■.

3. 集思廣益

正待探究準(zhǔn)備收場之際，一名學(xué)生舉手示意：

生4：我認(rèn)為a-■的范圍還可以縮小.

師：真的嗎？那太好了！

生4：a-■=■=■∈（-1，0）（a>0）.

師：你居然運(yùn)用了分子有理化，是如何想到的！真是太棒了！

（筆者對生4的大肆贊許有效地激發(fā)了其他學(xué)生的探究斗志）

生5：我可以不用解集合B中的不等式就能求出a的范圍.

師：還可以不解不等式求出結(jié)果？真的嗎？愿意和大家一起分享嗎？

生5：令f（x）=x2-2ax-1（a>0），其設(shè)兩零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1<01}，可知若A∩B中恰好含有一個整數(shù)，則該整數(shù)只能是-4或2.

①若該整數(shù)是-4，則由題意可知f（-5）>0，f（-4）≤0，f（2）>0，所以25+10a-1>0，16+8a-1≤0，4-4a-1>0，解得-■0矛盾，故該整數(shù)不可能是-4.

②若該整數(shù)是2，則由題意可知f（2）≤0，f（3）>0，f（-4）>0， 所以4-4a-1≤0，9-6a-1>0，16+8a-1>0，解得■≤a<■.

綜合①②可知，故該整數(shù)只能是2，所以a的取值范圍為■，■（解法2）.

師：真不簡單！這道題不解集合B中的不等式也同樣能求a的范圍. 生5的解析過程實質(zhì)上就是運(yùn)用了“零點(diǎn)存在性定理”，這是一個與解法1迥然不同的思路. 那大家來對比一下，以上兩種解法的優(yōu)劣性. （學(xué)生嘰嘰喳喳地爭辯了起來，兩種解法各執(zhí)一詞，辯論現(xiàn)場相當(dāng)火爆）

4. 拓展創(chuàng)新

生6：如果本題改為“設(shè)集合A={xx2+2x-3>0}，集合B={xx2-2ax-1≤0，a>0}. 若A∩B中恰好含有兩個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍”，那么解法2就毫無優(yōu)勢了，因為這里就必然涉及分類討論. 而解法1中只需要解不等式3≤a+■<4，以此類推三個整數(shù)、四個整數(shù)……也是同樣思路.

師：很棒！生6還在解法探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了變式拓展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就需要這樣一種富有創(chuàng)造性的態(tài)度，只有孜孜不倦地求索，才會有源源不斷的收獲?。üP者正準(zhǔn)備結(jié)束本題的探究，又有學(xué)生舉手）

生7：我認(rèn)為解法2還可以更簡潔：據(jù)前面分析，可得該整數(shù)只能是-4或2.

①若該整數(shù)是-4，則令f（x）=x2-2ax-1（a>0）. 因為f（x）=x2-2ax-1（a>0）的對稱軸x=a>0的左零點(diǎn)x1需滿足x1∈（-5，-4]，所以右零點(diǎn)x2需滿足x2>4. 這樣一來A∩B就不止一個整數(shù)，至少會有3個整數(shù)2，3，4，故以上情況不成立.

②若該整數(shù)是2，則必然正根x2落在[2，3）內(nèi)，所以f（2）≤0，f（3）>0，即4-4a-1≤0，9-6a-1>0， 解得■≤a<■.

綜合①②可知，該整數(shù)只能是2，所以a的取值范圍為■，■（解法3）.

（生7剛剛解析完，筆者還未來得及評析，班上一位較為內(nèi)向的同學(xué)舉手，看來學(xué)生都迫不及待地想要展示自己了）

生8：我不同意剛才生6所說的解法2會在題目進(jìn)行變式后變得復(fù)雜. 令f（x）=x2-2ax-1（a>0），一旦鎖定x1∈（-1，0），因為A∩B=（1，x2]，所以若A∩B中含有兩個整數(shù)，只需f（3）≤0，f（4）>0，所以9-6a-1≤0，16-8a-1>0， 解得■≤a<■.

師：這種方法果然是最簡單的！讓我們一起為生8喝彩！同學(xué)們，我們在學(xué)習(xí)的過程中一定要不懼挑戰(zhàn)，勇于質(zhì)疑，敢于猜想，這樣才能有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造，讓我們一起為創(chuàng)造奇跡而努力！

一點(diǎn)感悟

1. 注重“對話”，挖掘潛能

在課堂教學(xué)中，教師需善于啟發(fā)，體現(xiàn)“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”的啟發(fā)式教學(xué)的本質(zhì)[1]■. 以“對話”推進(jìn)習(xí)題教學(xué)的開展，充分挖掘?qū)W生的潛能，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究歷程，感受思考的過程、探究的歷程和思維的進(jìn)程. 以上案例中，采取“對話”引領(lǐng)學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生帶著問題展開思考和探究，將學(xué)生主動學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式落到實處，關(guān)注到學(xué)生的參與，教師保持精講多聽，將學(xué)生推到學(xué)習(xí)的前臺，推到探究的主位，充分發(fā)揮學(xué)生潛能，讓學(xué)生思考、探究、表達(dá)、辨析、總結(jié)，整個教學(xué)過程中學(xué)生的主體意識逐步加強(qiáng)，讓抽象枯燥的習(xí)題課在學(xué)生火熱的思考中綻放生命光彩.

2. 注重“體驗”，提升素養(yǎng)

在課堂中，教師需培植學(xué)生積極向上的情感，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，做好學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人，幫助學(xué)生克服畏難情緒，從根本上提升教學(xué)的有效性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 以上案例中，教師將課堂的主動權(quán)全部還給學(xué)生，所有學(xué)生都可以暢所欲言，充分表達(dá)自己的思路和想法. 他們在一系列問題的探究和解決過程中，享受到了學(xué)習(xí)帶來的激情，感受到成功的愉悅，體驗到痛而后快的一種生命幸福，有效提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2]■.

3. 注重“激勵”，鑄就生命課堂

德國教育家第斯多惠這樣告訴我們，教育的藝術(shù)并不在于本領(lǐng)的傳授，而在于激勵、喚醒和鼓舞. 新課程改革的推進(jìn)下，廣大教師對課堂激勵性評價有了嶄新的認(rèn)識，并成為課堂教學(xué)中一種重要的教學(xué)手段. 有效的激勵作為支撐對學(xué)生言行的肯定和精神的誘導(dǎo)，可以讓課堂開出精彩之花，結(jié)出豐碩之果. 以上案例中，執(zhí)教者不僅運(yùn)用了“太棒了”“真不簡單”等簡單的激勵性詞語，還不吝將贊美和賞識大肆地表揚(yáng)給學(xué)生，鼓勵學(xué)生“標(biāo)新立異”“別出心裁”，從而帶動學(xué)生的情感，牽動學(xué)生的思維，讓創(chuàng)造性思維在教學(xué)中散發(fā)魅力，鑄就生命課堂■[3].

總之，教師應(yīng)當(dāng)對學(xué)生適時引導(dǎo)、適當(dāng)幫助和適度激勵，注重“對話”，注重“體驗”，注重“激勵”，師生共同學(xué)習(xí)，共同探究，共同創(chuàng)造，共享學(xué)習(xí)的快樂，才能真正讓課堂煥發(fā)生命活力，才能真正鑄就高效課堂.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 韓龍淑，王新兵. 數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的基本特征[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009（06）.

[2]? 聶必凱，汪秉彝，呂傳漢. 關(guān)于數(shù)學(xué)問題提出的若干思考[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（02）.

[3]? 章建躍. 構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考[J]. 數(shù)學(xué)通報，2013，56（06）.