蘇明海 王興成

[摘? 要] 文章對一道經典幾何題目證法進行剖析與總結，增強學生對中點問題的理解，并在證法中融入初中數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不斷提升學生的模型思想與推理能力，切實提升學生的數學學科素養(yǎng).

[關鍵詞] 一題多解;初中數學核心素養(yǎng);幾何證明

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下面簡稱《課程標準》）是基礎教育和課程改革的方向，其明確規(guī)定了義務教育階段的課程目標與考試內容. 《課程標準》中明確要求，數學課應當注重發(fā)展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想. 在初中學習階段，幾何證明題能培養(yǎng)學生的幾何直觀、推理能力和模型思想. 其中，推理主要包含兩類：一類是從特殊到一般的推理，主要形式是歸納類比;另一類是從一般到特殊的推理，主要形式是演繹. 剖析經典題目的多種證法，能使學生的圖形感更強，能進一步增強學生的結構意識，提升他們的演繹推理能力. 在講解中對典型結構進行多方向思考，依據已有經驗尋找突破口，這是合情推理，能使學生對一類題目的理解更深刻. 提煉結構，形成較強的模型意識，關注幾何證明的通性通法，這是培養(yǎng)優(yōu)秀學生的重要途徑.

■ 經典題目

試題？搖 如圖1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，連接AD，CE，過點B作BG⊥CE，垂足為G，GB的延長線交AD于點F，求證：AF=FD.

■

■ 結構分析

對于幾何證明題，解題開始時需要具備結構意識與角度意識. 具備結構意識，能快速理清圖形結構，對于常規(guī)結構，便可快速得到輔助線;具備角度意識，能使學生在初始狀態(tài)下盡可能地找到隱藏條件，于是可能得到線段相等的結論.

由已知，圖形由兩個共直角頂點的等腰直角三角形構成，已構成常見的旋轉全等結構，如圖2，由此本題可考慮連接AE，CD，構造出△ABE≌△CBD.

■

從角度出發(fā)，如圖3，∠ABD+∠CBE=180°，這是周角背景下典型的互補結構;如圖4，可由三角形外角和定理推得∠ABF=∠BCG. 推導角度時重點考慮這兩種結構.

■

由結論，本題要證明兩條線段相等，通?？梢赞D化為證明線段所在的兩個三角形全等，因此構造全等三角形，所以聯系條件證明全等是解題關鍵. 除此之外，對于中點問題，經常還會考慮中位線、斜中半、三線合一等.

■ 題目解析

1. 推理輔助線，找準基準三角形

證法1：如圖5，過點A作AN∥BD交BF的延長線于點N. 因為AN∥BD，所以∠NAB+∠ABD=180°，∠N=∠NBD. 因為∠ABC=∠EBD=90°，所以∠ABD+∠CBE=180°. 所以∠NAB=∠CBE. 因為BG⊥CE，所以∠BGC=90°. 因為∠BCG+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCG=∠ABN. 因為△ABC是等腰直角三角形，所以AB=BC. 所以△ABN≌△BCE（ASA）. 所以AN=BE. 因為△BDE是等腰直角三角形，所以BD=BE. 所以AN=BE=BD. 所以△AFN≌△DFB（AAS）. 所以AF=DF.

■

分析？搖 要證明線段相等，優(yōu)先考慮轉化為證明三角形全等，再思考能否利用已知條件或轉化已知條件，其目的是為證明全等提供條件. 在本題中，FD所處的基準三角形為△FBD，但AF所處的基準三角形△ABF與△FBD不全等，于是不妨依托△FBD構造全等.

此法的核心在于轉化結論后全等的構造，構造△AFN所需要的輔助線需要選擇與對比，而培養(yǎng)學生推理能力的關鍵也在于此. 一般而言，輔助線應盡可能提供證明全等所需要的條件，其次，構造平行后產生了互補結構，這與已知的互補結構產生聯系，從而得到了核心角之間的等量關系. 若選擇倍長BF，輔助線就與已知條件無法關聯，已知的互補結構就無法給后續(xù)全等的證明提供角的等量關系. 教師在講解時，一定要融入對比，通過推理產生最優(yōu)的解題路徑.

2. 推理線段角色，巧用旋轉背景

證法2：如圖6，延長AB至點M，使得AB=BM，連接DM. 因為∠ABC=∠EBD=90°，所以∠ABD+∠CBE=180°. 因為∠ABD+∠DBM=180°，所以∠DBM=∠CBE. 因為△ABC是等腰直角三角形，所以AB=BC=BM. 因為△BDE是等腰直角三角形，所以BD=BE. 所以△BCE≌△BMD（SAS）. 所以∠BCE=∠M. 因為BG⊥CE，所以∠BGC=90°. 因為∠BCE+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCE=∠ABF=∠M. 所以BF∥DM. 又AB=BM，所以BF為△AMD的中位線. 所以F為AD的中點，即AF=FD.

■

分析？搖 此證法的核心在于理解線段BF的角色，由結論要證明F是中點，因此BF可理解為中位線. 中位線的構造一定由倍長AB產生，此刻問題轉化為證明BF∥DM. 證明平行的本質是證明角相等，即∠ABF=∠M. 由∠BCE=∠ABF，問題轉化為證明∠BCE=∠M. 通過角去尋找三角形，可推理出需要證明△BCE≌△BMD. 這是一組旋轉全等，旋轉中心為點B，由輔助線的構造得兩組對邊相等，此時可推理出只要證得兩組對應邊的夾角相等即可. 此處，由兩個互補結構完成角相等的證明、全等三角形的證明后，結論得證. 教師在講解時，一定要深度挖掘結論所包含的隱藏信息，構造以BF為中位線的三角形. 其中，結構意識能幫助學生快速推導角相等，從而完成證明.

3. 找準核心角以轉化問題

證法3：如圖7，在CE上取一點H，使得CH=BF，連接BH. 因為△ABC為等腰直角三角形，所以AB=BC. 因為BG⊥CE，所以∠BGC=90°. 因為∠BCE+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCE=∠ABF. 所以△ABF≌△BCH（SAS）. 所以AF=BH，∠AFB=∠BHC. 又∠AFB+∠BFD=180°，∠BHC+∠BHE=180°，所以∠BFD=∠BHE. 容易證得∠DBF=∠BEC，又△BDE是等腰直角三角形，所以BD=BE. 所以△BFD≌△EHB（AAS）. 所以BH=FD. 所以AF=FD.

分析? 此證法的核心在于轉移核心線段AF的位置. 由結構分析可得到∠BCE=∠ABF，AB=BC，由此推理出通過構造全等轉移AF的位置是可行的. 接下來的輔助線可直接構造出證明全等所需要的第三個條件，此時問題變?yōu)樽C明BH=FD. 同理，可得到BD=BE，∠DBF=∠BEC，這兩個等量關系使得BH，FD所處的三角形可能全等，最后由互補結構完成證明. 教師在講解時，應重點分析轉移核心線段AF位置的可能性以及此法最終能夠證明的可行性.

4. 找準核心比例來轉化問題

證法4：如圖8，過點F作FQ∥BD交AB于點Q. 因為FQ∥BD，所以∠AFQ=∠ADB，∠AQF=∠ABD，∠QFB=∠FBD. 所以△AQF∽△ABD. 因為BG⊥CE，所以∠BGC=90°. 因為∠BCE+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCE=∠ABF. 同理，∠FBD=∠BEC，因此∠QFB=∠BEC. 所以△BCE∽△QBF. 因為△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，所以BD=BE，AB=BC. 設BD=x，AB=y，QF=a，QB=b，由△AQF∽△ABD，得■=■①，由△BCE∽△QBF，可得■=■②，將②代入①可得y=2b，因此■=■. 又FQ∥BD，所以■=■. 所以AF=FD.

分析?此證法的核心在于通過平行線轉化AF=FD，將線段相等理解為1 ∶ 1. 相似所得的比例式含有4個字母，而最終的結論需要證明AF和AD的2倍關系或AQ與AB的2倍關系，即x與a的數量關系或y與b的數量關系，因此推理出需要利用基本結構進行代數消元. 依托互補結構定位相等角的位置，由此定位△BCE，△BQF，由相似得到等量關系，代入消去x，a后結論得證. 由此法，教師還可將平行線轉化比例進行一般化推廣.

基于幾何一題多解與核心素養(yǎng)

培養(yǎng)的思考

1. 回歸基礎，強化基本概念，確定解題方向

幾何圖形的基本定義、基本性質、基本定理和判定，是學習幾何的基礎. 對于本題，學生要對等腰直角三角形的基本概念十分清楚，等腰直角三角形可提供角相等與邊相等. 從對稱性來看，等腰直角三角形是軸對稱圖形，對稱軸是斜邊的中垂線;從旋轉性來看，在等腰直角三角形BDE中，直角邊BD繞直角頂點B順時針旋轉90°后可與BE重合. 一般而言，邊的旋轉實則是三角形的旋轉. 本題的證法2就可以從旋轉的角度來理解，通過旋轉做等線段轉化. 教師在講解時，融入這些內容，可使學生對基本幾何圖形形成一個完整的思維體系. 學生對圖形的認識越深刻，解題時的方向感就越強.

2. 找準核心，提煉基本結構，形成模型意識

本題的核心在于理解中點，利用中點，轉化中點，通過轉化中點來轉化問題，這是本題的第一個推理點，與中點相關聯的基本結構有中位線、倍長中線、三線合一、斜中半. 解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘（G·波利亞語），因此選擇構造何種基本結構來解題，依據是能否與已知條件相關聯. 本題的第二個推理點是全等或相似的證明，本題中出現的互補結構能夠提供角相等，等腰直角三角形可提供邊相等，因此可通過等角與等邊的位置定位兩個三角形，完成全等與相似的證明后即可證明結論.

對細節(jié)結構的推理可精準定位解決問題的方向，從而切實提高學生的解題能力. 因此，教師在講解時，一定要融入細節(jié)結構分析，這是解題方法的指導. 沒有對細節(jié)結構的理解，解題時學生是盲目的，缺乏方向感. 學生在完成多種解法的梳理時，對中點條件的理解能更加深刻，對基本結構的應用會更加熟練. 我們的目的是讓中點問題模型化，讓學生以通解通法應對題目萬變.

3. 在過程中提升能力，讓能力內化為核心素養(yǎng)

在學生邏輯推理能力的培養(yǎng)中，幾何證明的演繹推理扮演著重要的角色，因此《課程標準》中要求從小學的實驗幾何要逐步過渡到初中的推理幾何. 在幾何教學中，教師應引導學生掌握幾何基本模型結構，提煉幾何證明的通法通性，讓學生具備模型意識，從而增強學生的演繹推理能力. 通過對解題方向的歸納與思考，即本題中對中點的理解，能增強學生的合情推理能力.

幾何中一題多解的過程就是合情推理與演繹推理的最好體現，“多”字的內核是合情推理，它提供證明的起點，“解”字的內核是演繹推理，它提供證明的動力，兩者相輔相成，辯證統一. 歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是相互聯系著的. 我們不應當犧牲一個而把另一個捧到天上去，應當把每一個都用到該用的地方. 要做到這一點，就只有注意它們的相互聯系、它們的相互補充（恩格斯語）. 這里的歸納就是合情推理的一種形式. 因此，在幾何教學中，以一題多解為載體，重視學生推理能力的培養(yǎng)，可切實提升學生的學科核心素養(yǎng).