郝金良

[摘? 要] “角平分線的性質(zhì)”的教學(xué)過程對(duì)學(xué)生知識(shí)與能力的提升有極大的幫助，而在實(shí)際教學(xué)中，需要教師綜合學(xué)情與知識(shí)難度，把握內(nèi)容核心，精設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié). 文章對(duì)“角平分線的性質(zhì)”展開教學(xué)探討，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 角平分線;性質(zhì);情境;模型;探究;語言

“角平分線的性質(zhì)”是初中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容，該內(nèi)容是全等三角形知識(shí)的延續(xù)，可為后續(xù)的角相等、線段相等的證明提供全新的思路和方法. 本章節(jié)的內(nèi)容教學(xué)，目的是使學(xué)生在明晰角平分線性質(zhì)的基礎(chǔ)上能靈活運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生的推理思維. 角平分線的性質(zhì)內(nèi)容具有極強(qiáng)的操作性，因此在實(shí)際教學(xué)中需要合理設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，全方位地提升學(xué)生的能力，下面展開教學(xué)探究.

情境引入教學(xué)，問題自然生成

學(xué)生在理解角平分線的性質(zhì)時(shí)存在一定的難度，不過該內(nèi)容與全等三角形的知識(shí)關(guān)聯(lián)緊密，故在課堂過渡階段適合采用“情境引入，問題生成”的教學(xué)方式，即結(jié)合生活情境，讓學(xué)生聯(lián)系舊知充分感知角平分線.

教學(xué)中可以從兩方面進(jìn)行：一是利用生活中常見的實(shí)物，二是設(shè)置動(dòng)手活動(dòng).

案例1?展示生活中常見的風(fēng)箏，如圖1，利用風(fēng)箏的特征來展示性質(zhì)內(nèi)容：已知AB=AD，BC=DC，讓學(xué)生思考如下兩個(gè)問題.

（1）不采用度量的方式，是否可以確定∠DAC與∠BAC的大小關(guān)系？

（2）AC為∠DAB的平分線，如何證明？能說明其中的道理嗎？

實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生能猜想出∠DAC=∠BAC，而要確定AC為∠DAB的平分線，只需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角形的全等知識(shí)來說明：根據(jù)條件，利用“SSS”可證明△ADC≌△ABC，再利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠DAC=∠BAC，從而完成新課的內(nèi)容引入.

案例2?在課堂中設(shè)計(jì)折紙活動(dòng)，通過折紙讓學(xué)生初步感知角平分線的性質(zhì). 課前準(zhǔn)備如圖2的A4紙，設(shè)紙的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，C，D，然后過頂點(diǎn)B任意折出一條直線BE，接著將△ABE剪下，讓學(xué)生觀察所剩的梯形BCDE，思考如何在不使用工具的情況下將∠EBC分為兩個(gè)相等的角.

教學(xué)引導(dǎo)環(huán)節(jié)中讓學(xué)生通過翻折操作來確定BE與BC在對(duì)折重疊的情況下可以滿足要求，同時(shí)結(jié)合三角形全等、翻折特性等知識(shí)使學(xué)生理解操作的原理所在.

利用豐富具體的情境設(shè)計(jì)，學(xué)生可以深入理解角平分線的定義、感受角平分線所帶來的幾何特性，這能為后續(xù)的性質(zhì)探究做鋪墊. 另外，學(xué)生的積極性在情境教學(xué)中得到了充分調(diào)動(dòng)，有利于課堂教學(xué)的順利推進(jìn).

活用數(shù)學(xué)模型，過程探究教學(xué)

角平分線的性質(zhì)內(nèi)容，邏輯性極強(qiáng)，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生明晰性質(zhì)定理的條件與結(jié)論. 同時(shí)，考慮到學(xué)生的認(rèn)知過程是課堂教學(xué)成功的關(guān)鍵，故教學(xué)中建議采用過程探究的方式，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密推理，概括性質(zhì)定理.

從實(shí)際問題中抽象數(shù)學(xué)模型、探究模型得出性質(zhì)定理的方式更為合理，學(xué)生經(jīng)歷探究過程后能深刻體會(huì)性質(zhì)的內(nèi)容. 實(shí)際教學(xué)時(shí)，可采用如下思路：將平分角儀器抽象為數(shù)學(xué)模型，利用幾何知識(shí)解釋儀器的工作原理，然后結(jié)合工作原理進(jìn)行角平分線作圖，通過測(cè)量來得出“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”的性質(zhì)定理，具體教學(xué)時(shí)可參考如下設(shè)計(jì).

1. 模型引導(dǎo)，實(shí)踐啟發(fā)

活動(dòng)1? 展示圖3的平分角儀器，按圖設(shè)定點(diǎn)位置. 已知AB=AD，BC=DC，沿AC繪制一條射線AE.

設(shè)問：此時(shí)AE就是∠DAB的平分線，請(qǐng)說明原因.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后利用全等三角形的性質(zhì)闡釋平分角儀器的工作原理，能使學(xué)生深刻體會(huì)角平分線知識(shí)的應(yīng)用.

活動(dòng)2?通過作角的平分線來啟發(fā)學(xué)生：參考平分角儀器繪制平分線，讓學(xué)生練習(xí)利用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線，并詳細(xì)說明作圖過程.

實(shí)際教學(xué)時(shí)可進(jìn)行如下設(shè)問引導(dǎo)：

（1）利用平分角儀器繪制平分線時(shí)，要將儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，儀器的側(cè)邊與角的兩邊重合，且確保儀器的兩邊相等（AB=AD）. 具體作圖時(shí)如何體現(xiàn)該過程呢？

（2）在使用平分角儀器的過程中，要確保BC=DC，具體作圖時(shí)如何體現(xiàn)該過程呢？

（3）按照?qǐng)D4方式繪制，則射線OC就是∠AOB的平分線，你能說明這樣作圖的理由嗎？

2. 測(cè)量探究，性質(zhì)證明

學(xué)生利用尺規(guī)可以作出具體角的平分線，對(duì)于其性質(zhì)的得出可以采用測(cè)量探究的方式，即測(cè)量相應(yīng)的線段長(zhǎng)，于是自然可以證明.

操作活動(dòng)：在圖紙上作∠AOB，然后作出∠AOB的平分線OC，并在OC上取一點(diǎn)P，取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，接著過點(diǎn)P分別作AO和BO的垂線，設(shè)垂足分別為D，E，如圖5. 分別測(cè)量PD和PE的長(zhǎng)，將三次測(cè)量所得的數(shù)據(jù)填入表1.

設(shè)問：（1）對(duì)比PD和PE的大小關(guān)系，可以得出什么結(jié)論？

（2）結(jié)合上述測(cè)量數(shù)據(jù)，可以猜想出角平分線的什么性質(zhì)？

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)，一是線段長(zhǎng)的大小關(guān)系（相等），二是線段在角平分線上的屬性（到角兩邊的距離）. 同時(shí)明晰性質(zhì)中的條件與結(jié)論，用幾何推理的方式得出角平分線的性質(zhì).

上述探究活動(dòng)設(shè)計(jì)充分結(jié)合了模型抽象和實(shí)際測(cè)量，學(xué)生經(jīng)歷了性質(zhì)發(fā)現(xiàn)、推理證明的過程，可以深刻體會(huì)幾何問題證明的基本思路，能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性.

語言命題概括，深入理解性質(zhì)

利用語言概括角平分線的性質(zhì)是教學(xué)的核心，有利于學(xué)生深刻理解定理. 對(duì)于角平分線性質(zhì)的命題教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生掌握文字概述和幾何表述兩種方式，教學(xué)難點(diǎn)主要有兩點(diǎn)：一是學(xué)生難以區(qū)別命題的條件與結(jié)論;二是難以靈活進(jìn)行文字語言和幾何語言之間的轉(zhuǎn)化.

在角平分線的性質(zhì)定理中，“條件”“結(jié)論”的隱蔽性較強(qiáng)，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生將其拆分，明晰“角平分線上有一點(diǎn)”為“條件”，“該點(diǎn)到角兩邊的距離相等”為“結(jié)論”. 另外，語言轉(zhuǎn)化的過程中要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合性質(zhì)命題來構(gòu)建幾何模型，利用幾何語言來描述幾何關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷由“已知”推理“結(jié)論”的過程. 具體教學(xué)時(shí)可參考如下設(shè)計(jì).

活動(dòng)1? 結(jié)合角平分線的性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行條件與結(jié)論的拆分與提取，思考如何用“如果……，那么……”將命題“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”分為兩段.

教學(xué)引導(dǎo)：首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)性質(zhì)命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化——“一點(diǎn)位于一個(gè)角的平分線上，該點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，然后引導(dǎo)學(xué)生明確“一點(diǎn)位于一個(gè)角的平分線上”為命題的條件，也是結(jié)論成立的前提，“該點(diǎn)到角兩邊的距離相等”為命題的結(jié)論.

活動(dòng)2? 結(jié)合性質(zhì)命題進(jìn)行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化，關(guān)注活動(dòng)1所提煉的條件與結(jié)論，思考其中所隱含的幾何特性，并用幾何語言進(jìn)行描述.

教學(xué)引導(dǎo)：首先引導(dǎo)學(xué)生提取條件中的幾何特征，然后結(jié)合相應(yīng)的幾何圖像來對(duì)其加以表述，最后得出相應(yīng)的幾何結(jié)論.

條件：一點(diǎn)位于一個(gè)角的平分線上→OC為∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn).

結(jié)論：點(diǎn)到角兩邊的距離相等→過點(diǎn)P作PD⊥OA，垂足為D，PE⊥OB，垂足為E，則PD=PE.

利用上述幾何信息可以繪制如圖6的幾何圖形. 該圖形直觀地呈現(xiàn)了∠AOB的平分線、點(diǎn)P位于平分線OC上的位置特性，以及點(diǎn)P到角兩邊的距離. 根據(jù)幾何圖形可以深刻理解性質(zhì)定理所表達(dá)的內(nèi)容，同時(shí)可以進(jìn)一步開展性質(zhì)定理的證明. 進(jìn)行定理證明教學(xué)時(shí)，同樣可結(jié)合全等三角形知識(shí)，從數(shù)學(xué)語言角度進(jìn)行探究，具體如下.

已知：如圖6，在∠AOB中，∠AOC=∠BOC（呈現(xiàn)了OC平分∠AOB的情形），點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證：PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

證明：因?yàn)镻D⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，因?yàn)椤螾DO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，PO=PO， 所以△PDO≌△PEO. 所以PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

完成定理的語言表述和幾何證明之后，有必要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)性質(zhì)定理進(jìn)行語言對(duì)照，從文字語言和幾何語言的對(duì)比上來理解定理.

文字語言：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

幾何語言：已知∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE.

總之，角平分線的性質(zhì)定理是數(shù)學(xué)幾何的核心內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中需要充分把握學(xué)情，從知識(shí)與能力兩方面展開教學(xué)設(shè)計(jì). 教學(xué)時(shí)，可聯(lián)系舊知情境引入，完成問題的自然引出;抽象數(shù)學(xué)模型，開展過程探究，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)性質(zhì)定理;設(shè)計(jì)活動(dòng)語言轉(zhuǎn)化證明，讓學(xué)生在深刻理解定理的同時(shí)提升語言概括能力. 以知識(shí)傳達(dá)、方法指導(dǎo)、情感提升為目標(biāo)的課堂教學(xué)是對(duì)當(dāng)下素質(zhì)教學(xué)的貫徹落實(shí)，對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展有極大的幫助，值得倡導(dǎo)、借鑒.