摘 要 高壓油管廣泛運用于各種燃油發(fā)動機中，高壓油管中的壓力過大可能會對油管等組件造成損壞，而壓力過小可能會影響高壓油管的工作效率。所以，控制高壓油管內的壓力具有十分重要的現(xiàn)實意義。本文首先求出燃油內壓強與密度的關系，進而通過研究高壓油管內的壓強與進出液體的質量的變化，建立了微分方程組，解出油管內密度和壓強關于時間的函數(shù)。然后通過判斷前后兩個時間周期的壓強變化來表示當前狀態(tài)下壓強的穩(wěn)定與否。最后通過以穩(wěn)定壓強值接近100MPa為目標對單向閥的開啟時長進行變步長搜索。

關鍵詞 流動方程;微分方程;變步長搜索

1問題

燃油進入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動機工作的基礎，圖1給出了某高壓燃油系統(tǒng)的工作原理，燃油經(jīng)過高壓油泵從A處進入高壓油管，再由噴口B噴出。燃油進入和噴出的間歇性工作過程會導致高壓油管內壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動機的工作效率[1]。

圖1 高壓油管示意圖

某型號高壓油管的內腔長度為500mm，內直徑為10mm，供油入口A處小孔的直徑為1.4mm，通過單向閥開關控制供油時間的長短，單向閥每打開一次后就要關閉10ms。噴油器每秒工作10次，每次工作時噴油時間為2.4ms。高壓油泵在入口A處提供的壓力恒為160 MPa，高壓油管內的初始壓力為100 MPa。如果要將高壓油管內的壓力盡可能穩(wěn)定在100 MPa左右，如何設置單向閥每次開啟的時長？

2模型建立

2.1 高壓油管壓力求解模型

壓強的變化量與密度變化量成正比，且比例系數(shù)為，為該壓力條件下的彈性模量，為對應壓強下的燃油密度。根據(jù)上述條件，可以列出一個關于密度和壓強的微分方程：

根據(jù)時的燃油密度為0.850mg/mm3這一初值條件，通過積分得到密度與壓強的函數(shù)關系式。

假設從單向閥開始進油為計時起點，那么時間內從高壓油管入油口A流入的燃油質量由A口的流量和高壓燃油側的密度決定。

在高壓油管工作時間內，噴油口B噴出的燃油質量由油管內的燃油密度與流量有關。

通過上述方法可以求得高壓油管工作時間內高壓油管燃油進出的總質量。

得到流入高壓油管的燃油質量后，根據(jù)質量守恒，得到單向閥開啟后高壓油管內的燃油的密度。進出高壓油管的流量為，根據(jù)流量計算公式，即可得出入油口A的流量計算公式：

其中，表示為A處輸入油的壓強，為恒定值。

將上述公式聯(lián)立求解得到油管內壓力，密度與單向閥開啟時間 的關系。

（1）

由上式可知，燃油的密度和高壓油管噴嘴和單向閥處的壓強都滿足一個微分方程，為了求解該微分方程，加上初值條件，即可求解得出任意時刻下，高壓油管入油口壓強和噴油口燃油壓強 [2]。

2.2 進油和噴油階段之外的一維流動模型

當高壓油管中的進油口和噴油口都不工作的時候，高壓油管內的燃油可以近似看作一維有摩擦不穩(wěn)定流動的流體。流體的連續(xù)性方程體現(xiàn)了流體在流動過程中質量守恒的關系。表示流體的流速。

由沿管徑方向的一維流體動力學方程得到：

流體的動力學方程表示流體在沿管徑方向上受到了沿管徑方向的流體流動摩擦力。其中摩擦力由范寧公式給出：

聯(lián)立上述方程并且簡化可以得到描述高壓油管內燃油一維摩擦不穩(wěn)定流動的方程組：

（2）

2.3 高壓油管壓力整體模型的建立

對于高壓油管我們已知其初始壓強為其初始密度為所以通過公式（1）可求解每次進油和噴油階段結束后的進油口壓強，和出油口的壓強 ，在已知這兩個邊界條件的前提下，通過公式（2）結合初始條件：

可以反復將各項條件進行反復迭代求解得到高壓油管內各個時間點的壓強[3]。

3模型求解

經(jīng)過粗略估算，液體的流動對壓強的影響很小，故為了簡化模型，求解過程中不考慮液體流動產生的額外壓強。

T 的大小不同，可能會使高壓油管內的壓強呈現(xiàn)不同的趨勢，但都是單調的。當高壓油管內的壓強呈現(xiàn)不斷增加的趨勢，由于高壓油泵一端的壓強恒定不變，那么進油口A 處的壓強差會不斷減小，進入的油料流速也會不斷減小，由于單向閥開啟時間不變，那么進入的油料也會不斷減少，直到高壓油管內油料的密度不在改變，最后高壓油管內的壓強會穩(wěn)定在一個高于100MPa的較高值。同理如果高壓油泵內的壓強呈現(xiàn)不斷減小的趨勢，那么最后也會減小到一個低于100MPa的較小值。

設置單向閥的開啟時間的取值區(qū)間為[0，20]ms，以1ms為步長進行粗略搜索，求出每個值對應的高壓油管穩(wěn)定后的壓強，設置限制條件，并逐步縮小搜索區(qū)間，然后以更小的步長進行搜索。最后可以計算得出的較為精確的區(qū)間為[0.25，0.30]ms，最后以0.001ms為步長進行精確搜索。

根據(jù)變步長搜索結果可以得到的結果為：單向閥的開啟時間為0.287ms時，高壓油管內的壓強幾乎穩(wěn)定在100MPa。下為穩(wěn)定后的壓強數(shù)據(jù)[4]：

4結束語

在上文中，我們對高壓油管進行力學分析，并且依此對其建模。通過對模型的求解得出在已知單向閥門開啟時間固定時，高壓油管內液體的壓強穩(wěn)定值。對穩(wěn)定值進行搜索，反向求解出對應的單向閥門開啟時間。最后，通過計算在=0.287ms時的模型，我們得到了高壓油管壓強最終可以穩(wěn)定在100MPa，且上下波動不超過1.5MPa，這表明我們的模型很好地解決了問題。

參考文獻

[1] 吳望一.流體力學[M]. 北京：北京大學出版社，1982：63.

[2] 王高雄.常微分方程第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2006：155.

[3] 劉寅立.MATLAB數(shù)值計算案例分析[M]. 北京：北京航空航天大學出版社，2011：51.

[4] 戴猷元，余立新.化工原理[M]. 北京：清華大學出版社，2010：87.

作者簡介

樊澤弘（1999-），男，廣東廣州人;學生，學士，現(xiàn)就讀學校：武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，研究方向：統(tǒng)計。