摘 要 高壓油管廣泛運(yùn)用于各種燃油發(fā)動(dòng)機(jī)中，高壓油管中的壓力過大可能會(huì)對(duì)油管等組件造成損壞，而壓力過小可能會(huì)影響高壓油管的工作效率。所以，控制高壓油管內(nèi)的壓力具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文首先求出燃油內(nèi)壓強(qiáng)與密度的關(guān)系，進(jìn)而通過研究高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)與進(jìn)出液體的質(zhì)量的變化，建立了微分方程組，解出油管內(nèi)密度和壓強(qiáng)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。然后通過判斷前后兩個(gè)時(shí)間周期的壓強(qiáng)變化來表示當(dāng)前狀態(tài)下壓強(qiáng)的穩(wěn)定與否。最后通過以穩(wěn)定壓強(qiáng)值接近100MPa為目標(biāo)對(duì)單向閥的開啟時(shí)長進(jìn)行變步長搜索。

關(guān)鍵詞 流動(dòng)方程;微分方程;變步長搜索

1問題

燃油進(jìn)入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)，圖1給出了某高壓燃油系統(tǒng)的工作原理，燃油經(jīng)過高壓油泵從A處進(jìn)入高壓油管，再由噴口B噴出。燃油進(jìn)入和噴出的間歇性工作過程會(huì)導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率[1]。

圖1 高壓油管示意圖

某型號(hào)高壓油管的內(nèi)腔長度為500mm，內(nèi)直徑為10mm，供油入口A處小孔的直徑為1.4mm，通過單向閥開關(guān)控制供油時(shí)間的長短，單向閥每打開一次后就要關(guān)閉10ms。噴油器每秒工作10次，每次工作時(shí)噴油時(shí)間為2.4ms。高壓油泵在入口A處提供的壓力恒為160 MPa，高壓油管內(nèi)的初始?jí)毫?00 MPa。如果要將高壓油管內(nèi)的壓力盡可能穩(wěn)定在100 MPa左右，如何設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長？

2模型建立

2.1 高壓油管壓力求解模型

壓強(qiáng)的變化量與密度變化量成正比，且比例系數(shù)為，為該壓力條件下的彈性模量，為對(duì)應(yīng)壓強(qiáng)下的燃油密度。根據(jù)上述條件，可以列出一個(gè)關(guān)于密度和壓強(qiáng)的微分方程：

根據(jù)時(shí)的燃油密度為0.850mg/mm3這一初值條件，通過積分得到密度與壓強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系式。

假設(shè)從單向閥開始進(jìn)油為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，那么時(shí)間內(nèi)從高壓油管入油口A流入的燃油質(zhì)量由A口的流量和高壓燃油側(cè)的密度決定。

在高壓油管工作時(shí)間內(nèi)，噴油口B噴出的燃油質(zhì)量由油管內(nèi)的燃油密度與流量有關(guān)。

通過上述方法可以求得高壓油管工作時(shí)間內(nèi)高壓油管燃油進(jìn)出的總質(zhì)量。

得到流入高壓油管的燃油質(zhì)量后，根據(jù)質(zhì)量守恒，得到單向閥開啟后高壓油管內(nèi)的燃油的密度。進(jìn)出高壓油管的流量為，根據(jù)流量計(jì)算公式，即可得出入油口A的流量計(jì)算公式：

其中，表示為A處輸入油的壓強(qiáng)，為恒定值。

將上述公式聯(lián)立求解得到油管內(nèi)壓力，密度與單向閥開啟時(shí)間 的關(guān)系。

（1）

由上式可知，燃油的密度和高壓油管噴嘴和單向閥處的壓強(qiáng)都滿足一個(gè)微分方程，為了求解該微分方程，加上初值條件，即可求解得出任意時(shí)刻下，高壓油管入油口壓強(qiáng)和噴油口燃油壓強(qiáng) [2]。

2.2 進(jìn)油和噴油階段之外的一維流動(dòng)模型

當(dāng)高壓油管中的進(jìn)油口和噴油口都不工作的時(shí)候，高壓油管內(nèi)的燃油可以近似看作一維有摩擦不穩(wěn)定流動(dòng)的流體。流體的連續(xù)性方程體現(xiàn)了流體在流動(dòng)過程中質(zhì)量守恒的關(guān)系。表示流體的流速。

由沿管徑方向的一維流體動(dòng)力學(xué)方程得到：

流體的動(dòng)力學(xué)方程表示流體在沿管徑方向上受到了沿管徑方向的流體流動(dòng)摩擦力。其中摩擦力由范寧公式給出：

聯(lián)立上述方程并且簡化可以得到描述高壓油管內(nèi)燃油一維摩擦不穩(wěn)定流動(dòng)的方程組：

（2）

2.3 高壓油管壓力整體模型的建立

對(duì)于高壓油管我們已知其初始?jí)簭?qiáng)為其初始密度為所以通過公式（1）可求解每次進(jìn)油和噴油階段結(jié)束后的進(jìn)油口壓強(qiáng)，和出油口的壓強(qiáng) ，在已知這兩個(gè)邊界條件的前提下，通過公式（2）結(jié)合初始條件：

可以反復(fù)將各項(xiàng)條件進(jìn)行反復(fù)迭代求解得到高壓油管內(nèi)各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的壓強(qiáng)[3]。

3模型求解

經(jīng)過粗略估算，液體的流動(dòng)對(duì)壓強(qiáng)的影響很小，故為了簡化模型，求解過程中不考慮液體流動(dòng)產(chǎn)生的額外壓強(qiáng)。

T 的大小不同，可能會(huì)使高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)呈現(xiàn)不同的趨勢，但都是單調(diào)的。當(dāng)高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)呈現(xiàn)不斷增加的趨勢，由于高壓油泵一端的壓強(qiáng)恒定不變，那么進(jìn)油口A 處的壓強(qiáng)差會(huì)不斷減小，進(jìn)入的油料流速也會(huì)不斷減小，由于單向閥開啟時(shí)間不變，那么進(jìn)入的油料也會(huì)不斷減少，直到高壓油管內(nèi)油料的密度不在改變，最后高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)高于100MPa的較高值。同理如果高壓油泵內(nèi)的壓強(qiáng)呈現(xiàn)不斷減小的趨勢，那么最后也會(huì)減小到一個(gè)低于100MPa的較小值。

設(shè)置單向閥的開啟時(shí)間的取值區(qū)間為[0，20]ms，以1ms為步長進(jìn)行粗略搜索，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的高壓油管穩(wěn)定后的壓強(qiáng)，設(shè)置限制條件，并逐步縮小搜索區(qū)間，然后以更小的步長進(jìn)行搜索。最后可以計(jì)算得出的較為精確的區(qū)間為[0.25，0.30]ms，最后以0.001ms為步長進(jìn)行精確搜索。

根據(jù)變步長搜索結(jié)果可以得到的結(jié)果為：單向閥的開啟時(shí)間為0.287ms時(shí)，高壓油管內(nèi)的壓強(qiáng)幾乎穩(wěn)定在100MPa。下為穩(wěn)定后的壓強(qiáng)數(shù)據(jù)[4]：

4結(jié)束語

在上文中，我們對(duì)高壓油管進(jìn)行力學(xué)分析，并且依此對(duì)其建模。通過對(duì)模型的求解得出在已知單向閥門開啟時(shí)間固定時(shí)，高壓油管內(nèi)液體的壓強(qiáng)穩(wěn)定值。對(duì)穩(wěn)定值進(jìn)行搜索，反向求解出對(duì)應(yīng)的單向閥門開啟時(shí)間。最后，通過計(jì)算在=0.287ms時(shí)的模型，我們得到了高壓油管壓強(qiáng)最終可以穩(wěn)定在100MPa，且上下波動(dòng)不超過1.5MPa，這表明我們的模型很好地解決了問題。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳望一.流體力學(xué)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，1982：63.

[2] 王高雄.常微分方程第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2006：155.

[3] 劉寅立.MATLAB數(shù)值計(jì)算案例分析[M]. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011：51.

[4] 戴猷元，余立新.化工原理[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2010：87.

作者簡介

樊澤弘（1999-），男，廣東廣州人;學(xué)生，學(xué)士，現(xiàn)就讀學(xué)校：武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，研究方向：統(tǒng)計(jì)。