陳遵一

摘 要 利用較少的量子比特糾纏資源，提出一個(gè)單粒子量子態(tài)1→2輔助克隆方案。發(fā)送者擁有一確定的單量子比特態(tài)，并制備一兩比特量子糾纏態(tài)，設(shè)計(jì)先后兩個(gè)過(guò)程，通過(guò)發(fā)送者的輔助測(cè)量和經(jīng)典通信，實(shí)現(xiàn)單量子比特態(tài)在兩個(gè)不同接收方的量子態(tài)克隆。過(guò)程中考慮到位相翻轉(zhuǎn)噪聲對(duì)復(fù)制過(guò)程的干擾，分別討論了平均保真度和兩比特糾纏態(tài)的糾纏度隨噪聲強(qiáng)度及發(fā)送方測(cè)量基變量參數(shù)的變化規(guī)律，分析表明根據(jù)噪聲強(qiáng)度的大小變化，發(fā)送方通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助測(cè)量并選擇合適的糾纏信道可以幫助接收方有效提升量子態(tài)拷貝效率。

關(guān)鍵詞 量子信息 量子態(tài)輔助克隆 噪聲信道 保真度

中圖分類號(hào)：TN 918文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

量子信息是利用量子態(tài)編碼的信息，1982年Wooters和Zurek證明了任意單量子比特疊加態(tài)不可能被精確復(fù)制，即量子不可克隆原理，它是保證量子密鑰安全性和實(shí)現(xiàn)量子信息有效提取的前提，但該原理并不排斥非精確的量子態(tài)拷貝，隨著量子信息理論和實(shí)驗(yàn)的快速發(fā)展，先后出現(xiàn)了確定性近似克隆和概率性完美克隆等量子態(tài)拷貝方案，實(shí)驗(yàn)成果也不斷涌現(xiàn)。1999年Murao等將量子克隆思想與量子隱形傳態(tài)理論相結(jié)合、提出遠(yuǎn)程量子克隆方案，隨即不同類型的量子遠(yuǎn)程克隆方案也相繼被提出。

設(shè)一人擁有重要的量子保密信息，但缺少足夠的能力防止壞人偷取或搶奪這個(gè)信息，于是把這個(gè)信息分成多個(gè)部分，并傳送給多個(gè)遠(yuǎn)處的接收者，接收者通過(guò)必要的恢復(fù)操作，分別獲得信息的拷貝，這個(gè)過(guò)程就是量子遠(yuǎn)程克隆。遠(yuǎn)程克隆可以復(fù)制單比特量子態(tài)，也可以復(fù)制糾纏粒子對(duì)，但都需要借助多粒子糾纏信道來(lái)實(shí)現(xiàn)，糾纏是量子信息領(lǐng)域的核心資源，是量子計(jì)算和量子通信的物理基礎(chǔ)。但在量子信息實(shí)施過(guò)程中，任何量子操作都不可避免地受到環(huán)境干擾，這樣的干擾被稱作量子噪聲，噪聲會(huì)減小多粒子糾纏信道的糾纏度，降低量子通信和量子克隆的效率，常見噪聲信道包括：比特翻轉(zhuǎn)信道、位相翻轉(zhuǎn)信道、去極化信道和振幅阻尼信道等。

本文介紹在位相翻轉(zhuǎn)噪聲信道中實(shí)現(xiàn)單粒子量子態(tài)的輔助克隆，發(fā)送者通過(guò)選擇合適的測(cè)量基及糾纏信道，可有效對(duì)抗噪聲的干擾，提升單量子態(tài)克隆平均保真度。整個(gè)方案涉及到Alice、Bob和Charlie三方，其中Alice擁有確定的單比特初始態(tài)和兩比特糾纏態(tài)，在圖1中將量子比特依次記作1、2、3，其中量子比特2和3是初始的糾纏信道兩粒子對(duì)，比特1是需要被拷貝的量子態(tài)，Bob和Charlie作為Alice的合作方、負(fù)責(zé)對(duì)比特1信息的遠(yuǎn)程拷貝、他們分別處在不同的位置。圖1（a）為過(guò)程一，Bob獲得比特3并復(fù)制出比特1的初始信息，圖1（b）為過(guò)程二，Charlie獲得Alice廣義Bell基測(cè)量后的糾纏粒子對(duì)1與2中的量子比特2，并復(fù)制出比特1的初始信息。

1發(fā)送方Alice幫助Bob實(shí)現(xiàn)量子態(tài)拷貝

其中為Alice測(cè)量結(jié)果為時(shí)的幾率。同時(shí)Alice將比特3發(fā)送至合作者Bob處且告之其具體的測(cè)量結(jié)果。根據(jù)Alice的測(cè)量結(jié)果，Bob對(duì)其收到的比特3執(zhí)行合適的幺正恢復(fù)操作，則比特3的狀態(tài)最終形式為：

結(jié)合方程（2）所示的糾纏態(tài)，對(duì)應(yīng)的幺正操作具體包，其中為泡利操作算符，I為單位操作算符。由于Alice有4種不同的測(cè)量結(jié)果，每一種測(cè)量結(jié)果對(duì)應(yīng)初始態(tài)的保真度為，則該過(guò)程的平均保真度為

如果，且傳送比特3的過(guò)程沒有噪聲干擾，則Bob通過(guò)幺正操作獲得初始態(tài)復(fù)制的平均保真度為1。遺憾的是，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，比特3的發(fā)送將不可避免地受到噪聲干擾，此時(shí)將演變?yōu)?，其中為噪聲的Kraus算符，對(duì)于噪聲強(qiáng)度為的位相翻轉(zhuǎn)噪聲，其形式為。將方程（4）所示替換為，結(jié)合方程（5）-（6），可得合作者Bob在比特3受到相位翻轉(zhuǎn)噪聲干擾后，復(fù)制比特1初始態(tài)信息的平均保真度為顯然，平均保真度的取值與噪聲強(qiáng)度、量子信道參數(shù)及測(cè)量基均有關(guān)，若要獲得最優(yōu)化結(jié)果就要求。

為具體分析，假設(shè)，即量子信道為最大糾纏信道，圖2給出了方案的平均保真度隨測(cè)量基參數(shù)及噪聲強(qiáng)度P的變化關(guān)系。圖中黑色虛線表示經(jīng)典情況下保真度的最大值2/3，當(dāng)且僅當(dāng)方案的平均保真度大于經(jīng)典極限值時(shí)可認(rèn)為復(fù)制方案是有效的。分析圖2平均保真度的分布規(guī)律，可知方案中存在兩個(gè)有效區(qū)域，即和，在此兩個(gè)區(qū)域均為有效的區(qū)域。此外，平均保真度的最優(yōu)結(jié)果為時(shí)、且，以及時(shí)、且。這些結(jié)果直觀說(shuō)明，可借助改變測(cè)量基提高不同噪聲范圍內(nèi)復(fù)制方案的效率。

2發(fā)送方Alice幫助Charlie實(shí)現(xiàn)量子態(tài)遠(yuǎn)程復(fù)制

接下來(lái)進(jìn)一步分析過(guò)程二，如圖1（b）所示，Alice幫助另一個(gè)合作方Charlie實(shí)現(xiàn)初始態(tài)信息復(fù)制。當(dāng)Alice對(duì)比特1，2完成測(cè)量后，比特1，2的狀態(tài)將塌縮為方程（3）所示結(jié)果的其中之一，不失一般性，假設(shè)其測(cè)量結(jié)果為，以此說(shuō)明方案的過(guò)程二具體步驟。首先，Alice執(zhí)行單粒子投影測(cè)量，這里，選擇由兩個(gè)正交態(tài)組成的馮·諾伊曼測(cè)量，具體形式為：

當(dāng)Alice對(duì)比特1執(zhí)行方程（8）所示的單比特測(cè)量，如果其測(cè)量結(jié)果是，Alice將對(duì)比特2執(zhí)行特殊的幺正操作，然后再將比特2發(fā)送至Charlie處并告知其測(cè)量結(jié)果;若Alice的測(cè)量結(jié)果是，Alice不做任何操作直接發(fā)送比特2給Charlie，同時(shí)通過(guò)經(jīng)典信道發(fā)布其測(cè)量結(jié)果。收到Alice的發(fā)送的比特2并獲知其測(cè)量結(jié)果后，Charlie對(duì)其粒子執(zhí)行對(duì)應(yīng)的幺正恢復(fù)操作，其中，幺正操作后Charlie在比特2上實(shí)現(xiàn)比特1初始態(tài)的復(fù)制。

利用方程（11）-（12），圖三給出了方案的保真度（圖3（a））和量子信道的糾纏度（圖3（b））隨噪聲強(qiáng)度及信道參數(shù)的變化關(guān)系。比較圖3（a）-（b）可知，保真度的最優(yōu)值區(qū)域?qū)?yīng)糾纏度的兩個(gè)最大值區(qū)域，這說(shuō)明信道的糾纏度將決定保真度的最優(yōu)結(jié)果。此外，圖3（b）在2，4象限存在2個(gè)最大值區(qū)域，但是此時(shí)沒有對(duì)應(yīng)保真度的最大值區(qū)域，原因是Alice及Charlie執(zhí)行的幺正操作是以計(jì)算得出的，若以計(jì)算對(duì)應(yīng)的幺正操作，則保真度最優(yōu)值將出現(xiàn)在2，4象限，同樣匹配其與糾纏度的變化規(guī)律。

為進(jìn)一步闡述上述結(jié)論，我們?nèi)煞N特殊的情況，即噪聲最小和最大時(shí)，討論保真度及糾纏度隨信道參數(shù)的演化關(guān)系，結(jié)果如圖4所示。當(dāng)噪聲強(qiáng)度為0時(shí)，方案的有效區(qū)域（圖4（a）黃色填充部分）內(nèi)，保真度隨糾纏度同步變化，當(dāng)，即最大糾纏信道，方案的保真度為1。而當(dāng)噪聲強(qiáng)度為1時(shí)，方案的有效區(qū)域出現(xiàn)在，且當(dāng)時(shí)，在最大噪聲強(qiáng)度下，方案的保真度仍然可以達(dá)到1，如圖4（b）所示。這些結(jié)果表明，在位相翻轉(zhuǎn)噪聲信道下，通過(guò)選擇合適的測(cè)量基及糾纏信道，可有效提升復(fù)制效率。

3結(jié)論

量子克隆是量子信息科學(xué)的重要理論基礎(chǔ)之一，在量子計(jì)算和量子信息中有著廣泛的應(yīng)用，本文討論單粒子量子態(tài)在噪聲信道下的遠(yuǎn)程克隆過(guò)程，依據(jù)位相翻轉(zhuǎn)噪聲強(qiáng)度的大小變化，借助于發(fā)送方選擇合適的輔助測(cè)量和糾纏信道，可以幫助兩個(gè)接收方順利實(shí)現(xiàn)噪聲環(huán)境下高保真度的量子態(tài)遠(yuǎn)程復(fù)制，過(guò)程步驟簡(jiǎn)潔，操作靈活，節(jié)約量子糾纏資源，抗噪能力強(qiáng)。

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