崔海生

(重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院 物理系, 重慶　401520)

?

二量子比特混合態(tài)隱形傳輸保真度研究

崔海生

(重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院 物理系, 重慶401520)

針對二量子比特混合態(tài)系統(tǒng)，利用描述態(tài)的密度矩陣研究了CHSH違反、混合度與隱形傳輸保真度的關(guān)系。通過共生糾纏度確定了隱形傳輸保真度的上、下限。結(jié)果表明,二量子比特混合態(tài)在CHSH違反最大位置或混合度最小位置獲得最大隱形傳輸保真度，并可以通過增加共生糾纏度來提高隱形傳輸保真度。

CHSH違反; 隱形傳輸保真度; 混合度; 共生糾纏度

0　引　言

量子光學(xué)和信息科學(xué)的結(jié)合促進了量子信息科學(xué)的形成和發(fā)展。量子通信、量子計算、量子密碼等都是量子信息研究的主要課題。 量子信息的載體是量子態(tài)，量子系統(tǒng)的態(tài)在演化過程中實現(xiàn)量子信息的處理和傳遞。在量子態(tài)的演化過程中，量子隱形傳輸保真度是糾纏存在和糾纏強度操作實驗的重要基礎(chǔ)。它關(guān)系到量子通信的失真度，量子計算的可靠性及量子復(fù)制的保真度是量子信息學(xué)中一個十分重要的問題[1-4]。

糾纏度指所研究的糾纏態(tài)攜帶糾纏的量的多少[5]，為不同糾纏態(tài)之間建立了可比關(guān)系。或者說，糾纏度描述的是共處于同一系統(tǒng)的幾個子系的態(tài)之間的局域特性，因此只對由幾個系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)才有意義,其作為量子信息技術(shù)中最寶貴的資源已逐漸應(yīng)用于量子計算和量子通信中。

近年來，眾多學(xué)者分別對保真度[1-4]和糾纏度[6-9]開展了廣泛的研究，如文獻 [1-4]分別研究了高保真度量子存儲器以及在克爾媒質(zhì)中原子和光場的保真度等，文獻 [6-9]分別研究了光子頻率轉(zhuǎn)換的偏振糾纏保持、耗散糾纏蒸餾等。但對二者的關(guān)聯(lián)研究較少，特別是對二量子比特混合態(tài)隱形傳輸保真度和糾纏度的研究迄今尚未見有文獻涉及。

L.Derkacz在文獻[10]中對貝爾CHSH不等式和混合度做了具體的研究。文中通過對一類二量子比特混合態(tài)的討論研究了CHSH不等式違反[11]、混合度、隱形傳輸保真度之間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上進一步討論了共生糾纏度與隱形傳輸保真度之間的關(guān)系。首先，考慮一類二量子比特混合態(tài)模型，給出它的CHSH違反、混合度、隱形傳輸保真度。由于深入細(xì)致的分析它們之間的關(guān)系很困難，于是通過一個具體的二量子比特混合態(tài)進行了討論。

1　貝爾CHSH不等式

C(Concurrence)被認(rèn)為是測量二量子比特態(tài)共生糾纏度的最好方法，定義為[12-13]：

(1)

式中：ρ——密度矩陣;

λmax(ρ)——ρ的最大本征值。

且

式中:ρ*——矩陣ρ的復(fù)共扼。

一個任意的二量子比特混合態(tài)可以表示為[16]：

(2)

式中：I——二維空間中的單位矩陣;

σ——泡利矩陣;

r,s——實矢量;

Rij——關(guān)系矩陣,Rij=tr(ρσi?σj)。

定義一個實對稱矩陣,U=RTR，它的本征值用λ1,λ2,λ3表示，且λ1≤λ2≤λ3，則CHSH不等式為

(3)

(4)

式中：B——CHSH不等式的貝爾算子；

a,a′,b,b′——單位矢量。

結(jié)合方程(2)、(3)、(4),可以得到任意的二量子比特混合態(tài)違反CHSH不等式的一種簡單表示形式：

令

(5)

則

(6)

當(dāng)m(ρ)>1,就表示違反CHSH不等式。

2　 隱形傳輸保真度和CHSH不等式

為了研究隱形傳輸保真度與線性熵和CHSH不等式之間的關(guān)系，考慮下面的一類態(tài)ε1

(7)

有

(8)

(9)

滿足規(guī)范條件[17],同時假設(shè)

(10)

最近，Bennett等對隱形傳輸做了研究。在缺少量子信道的情況下，發(fā)送者唯一可做的操作是測量未知態(tài),并把測量結(jié)果用經(jīng)典比特告訴給接受者。如果接受者能夠重構(gòu)態(tài),且優(yōu)于用只建立在經(jīng)典比特基礎(chǔ)上的傳輸方法，就認(rèn)為這種態(tài)組成的量子信道對傳輸是有效的[18]。

假如傳輸一個任意的二量子比特態(tài)，通過單重態(tài)形成的量子信道發(fā)送信息，最后態(tài)被忠實地恢復(fù)。如果發(fā)送方允許在貝爾基上測量，而接受方可用任意的正操作，這種方案叫做標(biāo)準(zhǔn)傳輸。Horodecki等對標(biāo)準(zhǔn)傳輸做了研究，并引入隱形傳輸保真度來度量傳輸?shù)男?，定義式為[19]

(11)

其中積分遍布統(tǒng)一分布M的布洛菲球的所有的φ·ρk表示得到概率為pk的輸出態(tài)。Horodecki等同時證明：任意的二量子比特混合態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)

(12)

時對標(biāo)準(zhǔn)傳輸才是有效的，其中

假設(shè)ρ滿足條件式(12)，則隱形傳輸保真度可表示為

(13)

對上面態(tài)要仔細(xì)分析隱形傳輸保真度F與線性熵SL及CHSH違反之間的關(guān)系難度很大,下面通過一個具體的態(tài)類來做一些討論。

考慮一個態(tài)

(14)

它滿足規(guī)范條件。

其中

a+b≤1

且

(15)

于是有

(16)

(17)

得

a+b+c>1

隱形傳輸保真度為

當(dāng)a+b=1時，式(16)取得最大值，此時

(18)

(19)

(20)

根據(jù)Verstraete and Wolf[20]的結(jié)果，對任意的二量子比特混合態(tài)，式(18)是當(dāng)給定共生糾纏度時最大的CHSH違反。那么，對于給定的線性熵和m(ρ)，最大的隱形傳輸保真度是多少?為討論方便,取SL=S，m(ρ)=m有

(21)

(22)

同理可得F與m的關(guān)系為

可以看到，當(dāng)SL最小時，F(xiàn)最大,即線性熵最小時獲得最大的隱形傳輸保真度;而當(dāng)m(ρ)最大時，F(xiàn)最大,即最大的CHSH違反對應(yīng)最大的隱形傳輸保真度,并且最大的隱形傳輸保真度相等。

3　隱形傳輸保真度和共生糾纏度之間的關(guān)系

量子糾纏是量子信息過程中至關(guān)重要的資源,糾纏最重要的實踐特征是量子隱形傳輸,現(xiàn)在考慮共生糾纏度和隱形傳輸保真度之間的關(guān)系。對于密度矩陣為ρ的二量子比特混合態(tài)，隱形傳輸保真度的上限是

(23)

不等式成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)ρ的部分轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)本征值對應(yīng)的本征矢量是最大糾纏的。隱形傳輸保真度的下限為

(24)

式中:C——共生糾纏度。

所得結(jié)果如圖1所示。

圖1　對于給定的共生糾纏度隱形傳輸保真度的范圍

從圖1可以看出,二量子比特混合態(tài)可實現(xiàn)的隱形傳輸保真度大于1/2，但不會超過2/3。共生糾纏度達到1/3以后，隱形傳輸保真度隨其增加較快，說明隨著混合態(tài)糾纏度的增加，可以通過增加糾纏度來提高隱形傳輸?shù)谋Ｕ娑取?/p>

對于上面討論過的態(tài)類式(14)中，因為C=c，因此上下限的形式和式(21)、(22)相同。特別地，對于二量子比特純態(tài)

其中α,β≥0，且滿足

有

這也說明純態(tài)本質(zhì)上是混合態(tài)的一種特殊情況。

4　結(jié)　語

當(dāng)SL最小時，F(xiàn)最大,即混合度最小時獲得最大的隱形傳輸保真度,而當(dāng)m(ρ)最大時，F(xiàn)最大,即最大的CHSH違反對應(yīng)最大的隱形傳輸保真度,并且最大的隱形傳輸保真度相等。隨著糾纏度的增加，可以通過增加糾纏度來提高隱形傳輸?shù)谋Ｕ娑取?/p>

[1]Yang W L, Yin Z Q, Hu Y, et al. High-fidelity quantum memory using nitrogen-vacancy center ensemble for hybrid quantum computation[J]. Physical Review A,2011,84(1):010301-010304.

[2]Morgan A J, Dalfonso A J, Martin A V, et al. High-fidelity direct coherent diffractive imaging of condensed matte[J]. Physical Review B,2011,84(14):144122-144128.

[3]Stefano Olivare, Matteo G A Paris. Fidelity matters: The birth of entanglement in the mixing of gaussian states[J]. Physical Review Letters,2011,107(17):170505-170509.

[4]吳道永.雙光子過程耦合腔系統(tǒng)中光場的量子特性[J].光子學(xué)報，2012，41(9)：1104-1107.

[5]周正威，郭光燦.量子糾纏態(tài)[J].物理，2000,29(11):695-699.

[6]Ramelow S, Fedrizzi A, Poppe A, et al. Polarization-entanglement-conserving frequency conversion of photons[J]. Physical Review A,2012,85(1): 013845-013849.

[7]Karl Gerd H Vollbrecht, Christine A Muschik. Entanglement distillation by dissipation and continuous quantum repeaters[J]. Physical Review Letters,2011,107(12):120502-120506.

[8]廖慶洪，龔黎華.三個兩能級原子與數(shù)態(tài)場相互作用的糾纏特性[J].光子學(xué)報，2012，41(3):348-352.

[9]王志，聶敏，劉曉慧.基于糾纏度計算的量子移動信令相鄰小區(qū)越區(qū)切換策略及仿真[J].光子學(xué)報，2012，41(4)：497-500.

[10]Derkacz L, Jakobczyk L. Bell inequalities versus entanglement and mixedness for a class of two-qubit states[J]. Phys. Lett. A,2004,328:26-35.

[11]Horodecki R. Two-spin-1/2 mixtures and Bell’s inequalities[J]. Phys. Lett. A,1996,210:223-226.

[12]Hill S, Wootters W K. Entanglement of a pair of wuantum bits[J]. Phys. Rev. Lett.,1997,78(26):5022-5025.

[13]Wootters W K. Phys Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits[J]. Phys. Rev. Lett.,1998,80(10):2245-2248.

[14]Von Neumann J. Mathematical foundations of quantum mechanics[M]. Princeton：Princeton University Press,1955.

[15]Bose S. Mixedness and teleportation[J]. Phys. Rev. A,2000,61(4):040101(R)-040102.

[16]Horodecki R, HorodeckiI P, Horodecki M. Violating bell inequality by mixed spin-1/2 states:necessary and sufficient condition[J]. Phys. Lett. A,1995,200:340-344.

[17]Badziag P, Horodecki M. Local environment can enhance fidelity of quantum teleportation[J]. Phys. Rev. A,2000,62(1):012311-012317.

[18]Popescu S. Bell inequallities versus teleportation:What is nonlocality[J]. Phys. Rev. Lett.,1994,72(6):797-799.

[19]Gisin N. Nonlocality criteria for quantum teleportation[J]. Phys. Lett. A,1996,210:157-159.

[20]Wolf M M. Entanglement versus bell violations and their behavior under local filter operations[J]. Phys. Rev. Lett.,2002,89(17):170401-170404.

Study of teleportation fidelity for mixed two-qubit state

CUI Haisheng

(Department of Physics, College Mobile Telecommunications Chongqing University of Posts, Chongqing 401520, China)

To the mixed tow-qubit state system, relationship among CHSH violation, mixedness and the fidelity of teleportation is studied with density matrix. By means of concurrence, the lower and upper bounds of the fidelity of teleportation is determined. Results show that maximum fidelity of teleportation can be obtained when CHSH violation is in maximal position or mixedness is in minimal. In addition, the fidelity of teleportation can be improved by increasing concurrence.

CHSH violation; fidelity of teleportation; mixedness; concurrence.

2016-05-09

崔海生(1979-)，男，漢族，山西呂梁人，重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院講師,碩士，主要從事激光、量子光學(xué)和量子信息方向研究,E-mail:hscuiedu@163.com.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.4.17

O 431.2

A

1674-1374(2016)04-0401-05