何汶翰，張海燕

(長春工業(yè)大學 基礎(chǔ)科學學院， 吉林 長春　130012)

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特征值全為實數(shù)的實矩陣判定

何汶翰，張海燕*

(長春工業(yè)大學 基礎(chǔ)科學學院， 吉林 長春130012)

對實矩陣的特征值必為實數(shù)的條件進行了研究，得到了實矩陣的特征值必為實數(shù)的判定方法。通過實例說明判別方法簡單、可行。

正定矩陣; 廣義對稱矩陣; 特征值

對于矩陣特征值的探討，無論是在數(shù)學理論還是在工程技術(shù)上都有廣泛的應(yīng)用。文獻[1]研究了實矩陣存在實特征值的條件，證明了任意非對角元符號全相同的實矩陣均有一個實特征值存在。文中利用廣義對稱陣的概念及性質(zhì)給出了一些實矩陣的特征值必為實數(shù)的判定方法。

定義1[2-3]設(shè)A∈Rn×n，若存在n階實對稱正定陣S，使得(SA)T=SA，則稱A為由S確定的廣義對稱陣。

當S=E單位陣時，由S確定的廣義對稱陣即為實對稱陣[4-5]。

引理1[2-3]設(shè)A為由實對稱陣正定陣S確定的廣義對稱陣，則A的特征值為實數(shù)。

定理1設(shè)A=(aij)∈R4×4滿足條件：

1)存在i1,i2:1≤i1

2)a32a21a13=a31a12a23。

則A為廣義對稱陣，且A的特征值為實數(shù)。

證明:1)當i1=1,i2=2,j=3時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

2)當i1=1,i2=3,j=2時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

3)當i1=2,i2=3,j=1時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

定理2設(shè)A=(aij)∈R5×5滿足條件：

1)存在i1,i2:1≤i1≤i2≤4，存在j∈{1,2,3,4}-{i1,i2}，使

2)ak5a5k>0,k≠i1,i2;k=1,2,3,4。

則A為廣義對稱陣,且A的特征值為實數(shù)。

證明:1)當i1=1,i2=2,j=3,4時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

2)當i1=1,i2=3,j=2,4時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

3)當i1=1,i2=4,j=2,3時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

4)當i1=2,i2=3,j=1,4時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

5)當i1=2,i2=4,j=1,3時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

6)當i1=3,i2=4,j=1,2時，取正對角陣

由條件知(XA)T=XA，故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

定理3設(shè)A=(aij)∈Rn×n(n≥4)滿足條件：

1)存在i1,i2:1

且

2)存在j1,j2:j1≠i1，j2≠i1,i2，j1>i1，j2>i2，j2>j1，使得

且

以及

3)aniaijajn=anjajiain，i≠i1,i2，j≠i1,i2；i≠j，i,j=1,2,…，n-1。則A為廣義對稱陣，且A的特征值為實數(shù)。

證明:設(shè)對角陣

X=diag(x1,x2,…,xn)

矩陣方程

(XA)T=XA

改寫成齊次線性方程組

其中

作行的初等變換

其中

由已知條件，(*)的系數(shù)陣的秩為(n-1)，故(n-1)有非零解。

取xn=1，解得

于是存在正對角陣

使得(XA)T=XA,故A為廣義對稱陣，由引理知A的特征值為實數(shù)。

例1:

取

由定理1知A為廣義對稱陣，且A的特征根為實數(shù)。

例2:

取i1=1，i2=3，j=4，則

由定理2知A為廣義對稱陣，且A的特征根為實數(shù)。

[1]永學榮.實矩陣不存在實特征值的一個必要條件[J].新疆大學學報:自然科學版,1989,6(4):107-108.

[2]紀云龍,賈岸平.廣義對稱矩陣的判定(I)[J].長春工業(yè)大學學報:自然科學版,2004,25(4):67-69.

[3]紀云龍,賈岸平.廣義對稱矩陣的判定(II)[J].長春工業(yè)大學學報:自然科學版,2005,26(1):77-80.

[4]程云鵬.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學出版社,1989.

[5]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1997.

Criteria for real matrices with only real eigenvalues

HE Wenhan,ZHANG Haiyan*

(School of Basic Sciences, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

Conditionsthattheeigenvaluesofarealmatrixmustbearerealarestudied,andthecriterionmethodsarediscussed.Weuseexamplestoillustratecriterion.

positivedefinitematrix;generalizedsymmetricmatrix;eigenvalue.

2016-01-19

吉林省教育廳基金資助項目(吉教科文合字[2014]第57號)

何汶翰(1992-)，男，漢族，吉林吉林人，長春工業(yè)大學碩士研究生，主要從事經(jīng)濟統(tǒng)計方向研究,E-mail:hewenhan319@163.com. *通訊作者：張海燕(1970-)，女，漢族，吉林長春人，長春工業(yè)大學教授，博士，主要從事經(jīng)濟統(tǒng)計方向研究,E-mail:zhanghaiyan@ccut.edu.cn.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.4.07

O151.2

A

1674-1374(2016)04-0340-08