姜　彬

(南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理信息系, 江蘇 南通　226000)

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偏微分方程最優(yōu)控制中的變分迭代法應(yīng)用

姜彬

(南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理信息系, 江蘇 南通226000)

首先使用極大值原理得到偏微分方程問(wèn)題的最優(yōu)性條件，然后使用變分迭代法求解Hamilton-Pontryagin方程，實(shí)現(xiàn)了偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題的準(zhǔn)確快速求解。結(jié)合兩個(gè)最優(yōu)控制的經(jīng)典實(shí)例，對(duì)模型和算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該方法的可行性和有效性。

變分迭代法； 偏微分方程； 最優(yōu)控制； 極大值原理

0　引　言

有很多實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的優(yōu)化模型本質(zhì)上是偏微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題。常微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題已經(jīng)有了較為成熟的求解方法，而偏微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題由于計(jì)算復(fù)雜，偏微分方程往往不存在解析解等困難，在常微分方程里邊常見(jiàn)的經(jīng)典分析方法不能夠完全適用[1]。因此,對(duì)偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題的研究顯得很有意義。

基于常微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題已經(jīng)有了很多有效的方法來(lái)進(jìn)行求解，例如變分法、極大值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃[2-4]等。對(duì)于偏微分方程的最優(yōu)控制，文獻(xiàn)[5]提出了基于Hamilton-Pontryagin方程的求解方法，文獻(xiàn)[6-8]通過(guò)導(dǎo)出偏微分方程的對(duì)偶方程，給出該類(lèi)問(wèn)題的最優(yōu)性條件。雖然這些方法理論上可以應(yīng)用,但往往由于數(shù)值求解的計(jì)算復(fù)雜性，使這些方法有很大的局限性。今年以來(lái)變分迭代法被廣泛地應(yīng)用到偏微分方程的求解中，文獻(xiàn)[9]提出了一種變分迭代方式。文獻(xiàn)[10]證明了變分迭代法的解可以收斂于精確解。文獻(xiàn)[11]將傳統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)法和變分迭代法相結(jié)合，給出了一種改進(jìn)的變分迭代公式。

文中在全面研究了變分迭代法理論的基礎(chǔ)上，從工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中抽象出一類(lèi)偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題，先推導(dǎo)出Hamilton-Pontryagin方程，在此基礎(chǔ)上采用變分迭代法來(lái)求解原偏微分方程和對(duì)偶的偏微分方程，并采用了參數(shù)的方法來(lái)表示偏微分方程的初始解和邊界條件。實(shí)驗(yàn)表明，該方法能夠快速地逼近偏微分方程的真實(shí)解，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

1　問(wèn)題的提出

我們考慮如下的偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題：

(1)

初始條件為：

(2)

邊界條件為：

(3)

末端條件為

(4)

在一些問(wèn)題中，末端條件也可以是自由的，根據(jù)所討論問(wèn)題不同會(huì)有一些小的變化，這里討論更加一般的問(wèn)題。

上面偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題中，u(x,t)是控制量，y(x,t)是狀態(tài)變量，yt(x,t),yx(x,t),yxx(x,t)分別表示狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)、對(duì)空間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。r是一個(gè)常數(shù)，表示對(duì)控制量懲罰的大小。α0,α1,β0,β1分別是常數(shù)。

對(duì)式(1)分析可知，我們希望在t∈[0,T],x∈[0,L]時(shí)，狀態(tài)量y(x,t)能夠盡量接近設(shè)定值yd，同時(shí)對(duì)控制量進(jìn)行一定的懲罰。式(2)和式(3)分別是偏微分方程的初始條件和邊界條件。式(4)是終點(diǎn)約束。

根據(jù)極大值原理可以得出該最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)解的必要條件。由極大值原理分析該問(wèn)題可得到如下結(jié)論：

(5)

式中:p(x,t)——對(duì)偶狀態(tài)，可以由對(duì)偶方程得出。

極小化該哈密頓函數(shù)，即可得到最優(yōu)解。

如果假設(shè)最優(yōu)的控制律滿(mǎn)足如下的函數(shù)表達(dá)式：

(6)

那么可知：

(7)

最優(yōu)的控制律和對(duì)偶狀態(tài)還滿(mǎn)足以下的對(duì)偶方程約束：

(8)

邊界條件為：

(9)

初始條件為：

(10)

式(8)的兩個(gè)偏微分方程，一個(gè)是原問(wèn)題的偏微分方程，另一個(gè)是對(duì)偶的偏微分方程，可以看到它們很相似,但也有不同對(duì)偶方程有著自己的邊界條件和初始條件，對(duì)偶方程和原方程互相耦合在一起。所以,在求解的時(shí)候必須同時(shí)求解原方程和對(duì)偶方程。因此,要想利用最優(yōu)性條件求解該問(wèn)題就必須求解原偏微分方程和對(duì)偶的偏微分方程。

2　基于變分迭代法求解偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題

2.1變分迭代法

近年來(lái)對(duì)變分迭代法的研究很多，該方法被廣泛的用來(lái)求解偏微分方程取得了很好的效果。我們要使用變分迭代法來(lái)求解原偏微分方程和對(duì)偶偏微分方程?？紤]如下的一個(gè)偏微分方程：

(11)

式中：Lt,Lx——微分算子;

N——非線(xiàn)性算子；

f(x,t)——普通的非線(xiàn)性函數(shù)。

由此,我們給出如下的變分迭代法的迭代公式:

(12)

上式中等式右邊第二項(xiàng)是校正項(xiàng)，λ是拉格朗日乘子，可以由變分理論最佳確定，yk是對(duì)微分方程解的第k次迭代時(shí)的近似。該方法通過(guò)給定一個(gè)初始解y0(x,t)，然后通過(guò)不斷的迭代去修正這個(gè)初始解來(lái)逼近真解。函數(shù)y(x,t)的改變量為自變函數(shù)的變分，可以用δy(x,t)表示。

如式(12)是常見(jiàn)的變分迭代法的公式，但對(duì)于復(fù)雜的偏微分方程，該方法往往收斂速度較慢，甚至無(wú)法收斂到最優(yōu)解。文中基于迭代優(yōu)化的思想提出了雙層結(jié)構(gòu)的變分迭代公式?？紤]如下偏微分方程：

(13)

(14)

其中

由此可以得出，迭代表達(dá)式為

(15)

同時(shí)對(duì)其兩邊求變分，可以得到修正之后的表達(dá)式：

(16)

對(duì)式(16)兩邊同時(shí)求變分可知

(17)

由此可得拉格朗日乘子的駐值條件

(18)

令初始條件

(19)

由此可知,近似解yk(x,t)能夠通過(guò)迭代公式完全確定，最后可以確定該偏微分方程的近似解為：

(20)

2.2算法流程

首先要求解原偏微分方程和對(duì)偶偏微分方程，即式(8)，根據(jù)式(16)可以給出如下的迭代表達(dá)式：

(21)

(22)

方程的近似解式(17)和式(18)必須驗(yàn)證初始條件、邊界條件、橫截條件和最終狀態(tài)條件是否滿(mǎn)足。因此,提出了選擇這些零的近似作為獨(dú)立變量的多項(xiàng)式函數(shù)z和t,涉及未知參數(shù)被強(qiáng)加邊界和橫截條件。值得注意的是變分迭代法收斂到近似解選擇為零的近似,但所需的迭代次數(shù)達(dá)到這樣的精度取決于所選的零級(jí)近似[13]。

(23)

迭代次數(shù)也與所選最終的終止條件有關(guān)，在這里我們選擇這樣的一個(gè)終止條件。

(24)

式中：ε——一個(gè)可以自由確定的小數(shù)，可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)給定。

由此，給出變分迭代法求解該偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題的算法流程：

1)令k=1，選擇初始解y0(x,t)和λx(τ)=λp(τ)=1。

2)依據(jù)變分迭代的公式，即式(17)和式(18)來(lái)計(jì)算出yk(x,t)和pk(x,t)。

3)檢驗(yàn)yk(x,t)和pk(x,t)是否滿(mǎn)足邊界條件和初始條件，若不滿(mǎn)足,則返回步驟2)繼續(xù)修正迭代yk(x,t)和pk(x,t)；若滿(mǎn)足,則進(jìn)入下一步。

3　應(yīng)用研究

給出一個(gè)具體的偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題，該問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的控制問(wèn)題，我們使用變分迭代法來(lái)求解。

考慮如下的最優(yōu)控制問(wèn)題：

r[u(x,t)]2dxdt

(25)

由此可得，該最優(yōu)控制的哈密頓函數(shù)為：

(26)

由式(26)可知該問(wèn)題的極值條件為

(27)

由式(27)可知

(28)

將式(28)代入式(26)可得

(29)

由對(duì)偶方程的表達(dá)式可知：

(30)

邊界條件為

(31)

初始條件為

(32)

使用變分迭代法來(lái)求解原偏微分方程和對(duì)偶偏微分方程，由變分迭代法的公式，即式(21)和式(22)可得:

(33)

(34)

對(duì)上式兩邊同時(shí)求變分可得:

(35)

(36)

對(duì)上式整理可得:

(37)

(38)

又因?yàn)?/p>

我們可得

(39)

由此可以得出關(guān)于拉格朗日乘子的約束：

(40)

由此可以解出λx(τ)=λp(τ)=1，將上式代入式(33)和式(34)中，可得

(41)

(42)

迭代所求的解必須滿(mǎn)足初始條件和邊界條件，對(duì)偶狀態(tài)也要滿(mǎn)足相應(yīng)的約束，由此可以對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化處理。

(43)

經(jīng)過(guò)兩次迭代，可以得到如下的結(jié)果：

(44)

迭代初始條件和邊界條件可得：

(45)

將邊界條件代入式(44)，由此可以解得參數(shù)：

(46)

因此可得其近似解為

(47)

近似的最優(yōu)控制

(48)

由此計(jì)算出適應(yīng)值函數(shù)為：

(49)

之后的迭代過(guò)程與前面是一樣的過(guò)程，下面直接給出第6步迭代的結(jié)果，此時(shí)已經(jīng)得到了最優(yōu)解。

(50)

(51)

表1　適應(yīng)值函數(shù)迭代變化過(guò)程

由表1分析可知,適應(yīng)值的變化量是在逐步減少的，當(dāng)小于預(yù)先設(shè)定值時(shí)，該算法終止，即得出最優(yōu)解。

讓我們考慮如下的最優(yōu)控制問(wèn)題

(52)

考慮如下約束

由此可得該問(wèn)題的哈密頓函數(shù)為:

(53)

由此得出狀態(tài)方程，協(xié)態(tài)方程和它們的邊界條件為：

x(x-1)p(x,t)=0

(54)

由此給出迭代的表達(dá)式為：

(55)

(56)

同理可知，我們還是要檢驗(yàn)該方程是否滿(mǎn)足初始條件和邊界條件。若該解滿(mǎn)足微分方程的初始條件和邊界條件，則可以對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化表示：

(57)

該問(wèn)題通過(guò)變分迭代法迭代5步即得到最優(yōu)解，適應(yīng)值函數(shù)迭代變化過(guò)程見(jiàn)表2。

表2　適應(yīng)值函數(shù)迭代變化過(guò)程

由表2分析可知，適應(yīng)值的變化量是在逐步減少的，當(dāng)小于預(yù)先設(shè)定值時(shí)，該算法終止，即得出最優(yōu)解。

最優(yōu)狀態(tài)量隨時(shí)間空間的分布如圖1所示。

圖1　最優(yōu)狀態(tài)量變化圖

由圖1分析可知,最優(yōu)的狀態(tài)量能夠很好地跟蹤我們給出的設(shè)定值。

對(duì)偶狀態(tài)量隨時(shí)間空間的分布如圖2所示。

圖2　最優(yōu)對(duì)偶狀態(tài)量變化圖

由圖2分析可知，最優(yōu)的對(duì)偶狀態(tài)量能夠滿(mǎn)足初始條件和邊界條件。

最優(yōu)的控制量隨時(shí)間和空間的分布如圖3所示。

圖3　控制量變化圖

由圖3分析可知，最優(yōu)的控制量隨著時(shí)間的增大控制量要相應(yīng)的增大，來(lái)達(dá)到最優(yōu)的控制目標(biāo)。

4　結(jié)　語(yǔ)

采用變分迭代法解決偏微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題。先由經(jīng)典的極大值原理導(dǎo)出該問(wèn)題的最優(yōu)性條件，即Hamilton-Pontryagin方程導(dǎo)出最優(yōu)性條件，然后給出適當(dāng)?shù)倪吔绾蜋M截性條件。為了求解這些方程,我們使用了全新的變分迭代法進(jìn)行求解。

采用對(duì)近似解析解不斷迭代校正的方法來(lái)通過(guò)多項(xiàng)式函數(shù)逼近真實(shí)解。并且文中由兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明了該方法的有效性。下一步的研究方向是如何改進(jìn)變分迭代法，使得該方法的收斂速度加快，能夠在較快的時(shí)間內(nèi)收斂到真實(shí)解。

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Variation iteration method in optimal control ofpartialdifferentialequations

JIANG Bin

(Department of Management & Information Technology, Nantong Vocation & Technical Shipping College, Nantong 226000, China)

Themaximumprincipleisusedtogettheoptimalconditionsofpartialdifferentialequation,andthenvariationiterationmethodisappliedtosolvetheHamilton-Pontryaginequation.Withtwoclassicalexamplesofoptimalcontrol,themathematicalmodelandalgorithmsimulationshowthatitiseffectiveandfeasible.

variationiterationmethod;partialdifferentialequations;optimalcontrol;maximumprinciple.

2016-05-10

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題(蘇教科規(guī)領(lǐng)[2015]1號(hào))； 南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院院級(jí)課題(2013HYJY/18)

姜彬(1980-)，男，漢族，江蘇如皋人，南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師,碩士，主要從事人工智能與智能系統(tǒng)方向研究,E-mail:jiangb_nt@163.com.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.4.08

TP273

A

1674-1374(2016)04-0348-08