王冬艷，成 彬，楊亞輝

（1.河北省科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，河北 石家莊 050081；2.河北省信息安全認(rèn)證工程技術(shù)研究中心；3.河北華燁冀科信息技術(shù)有限責(zé)任公司，河北 石家莊 050081；4.河北省機(jī)電一體化中試基地，河北 石家莊 050081）

保真度是量子信息科學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要概念，是表示信息在傳輸中保持初狀態(tài)的程度，直接表征了信息的通訊質(zhì)量［1］。近年來(lái)對(duì)保真度的研究已成為量子信息領(lǐng)域中的熱門(mén)課題，如純態(tài)編碼中的保真度，量子信息和量子隱性傳態(tài)理論中的保真度等［2－6］。本文討論研究單模真空?qǐng)觯詈想p原子系統(tǒng)的量子保真度演化規(guī)律。

1 模型

兩個(gè)等同雙能級(jí)原子之間存在偶極－偶極相互作用，在旋轉(zhuǎn)波近似下，單模真空?qǐng)雠c兩個(gè)雙能級(jí)原子與單光子發(fā)生共振，系統(tǒng)哈密頓量可表示為［7］

式中：α＋和α分別表示單模真空?qǐng)龅墓庾赢a(chǎn)生算符和湮滅算符；，（i＝1，2）表示原子的贗自旋算符；ga表示兩等同雙能級(jí)原子間偶極－偶極相互作用的耦合強(qiáng)度；g表示場(chǎng)—原子間的耦合強(qiáng)度。

假設(shè)初始時(shí)刻，兩等同耦合雙能級(jí)原子處于｜g1，g2〉和｜e1，e2〉的相干疊加態(tài)

上式中，｜g1，g2〉表示兩等同雙能級(jí)原子都處于能級(jí)最低態(tài)—基態(tài)；｜e1，e2〉表示兩等同雙能級(jí)原子均處于激發(fā)態(tài)。

若初始時(shí)刻，光場(chǎng)處在單模真空態(tài)｜Ψf（0）〉＝｜0〉，則該系統(tǒng)的在初始時(shí)刻的態(tài)矢可表示為

于是，在t＞0的任意時(shí)刻，上述場(chǎng)－原子相互作用系統(tǒng)的狀態(tài)演化為［7］

通過(guò)求解薛定諤方程，可得到各系數(shù)的解析表達(dá)式為

式中

由上可得系統(tǒng)的總的密度算符為

為描述量子態(tài)在傳輸過(guò)程中初態(tài)和末態(tài)的偏差程度，引入保真度的概念，其定義為［8］：

式中，ρ1和ρ2分別為源信息和目的信息所對(duì)應(yīng)的態(tài)密度算符。

由上面各式可計(jì)算得到保真度表達(dá)式，整個(gè)系統(tǒng)的保真度

原子系統(tǒng)的保真度

光場(chǎng)的保真度

2 保真度演化及分析

據(jù)上面計(jì)算得出的保真度表達(dá)式，通過(guò)模擬得出系統(tǒng)、光場(chǎng)和原子的保真度隨時(shí)間的演化曲線如下圖所示（其中F表示系統(tǒng)的保真度，F(xiàn)f表示光場(chǎng)的保真度，F(xiàn)a表示原子的保真度）。圖形中，縱坐標(biāo)為保真度，橫坐標(biāo)表示為時(shí)間。

圖1 θ＝π/6，g＝0.4時(shí)，ga取不同值時(shí)系統(tǒng)F、原子Fa、光場(chǎng)Ff保真度隨時(shí)間的演化曲線

由圖1可看出，系統(tǒng)、光場(chǎng)和原子的保真度演化都具有相似的周期性規(guī)律。原子的保真度較高，其最小值要比系統(tǒng)和光場(chǎng)的保真度最小值高。當(dāng)ga的值較小時(shí)，即兩原子間偶極－偶極相互作用的耦合強(qiáng)度較弱時(shí)，三體系的保真度均表現(xiàn)出規(guī)則的周期性，原子系統(tǒng)的保真性能稍好于系統(tǒng)和光場(chǎng)的保真性能。隨著ga的值增大，即兩原子間相互作用開(kāi)始增強(qiáng)時(shí)，如圖b中，可以看到一個(gè)很有趣的現(xiàn)象，保真度的演化規(guī)律呈現(xiàn)崩潰－回復(fù)特征。保真度演化為非等幅振蕩，每隔兩個(gè)小幅振蕩后就有一個(gè)大幅振蕩。保真度的變化周期明顯變大，三體系的保真度稍有提高，分析其原因，由于兩原子之間偶極－偶極相互作用的耦合強(qiáng)度變大，將會(huì)導(dǎo)致原子與光場(chǎng)相互作用減弱，所以體系的保真度增大。

圖2 g＝0.2，ga＝0.5gθ時(shí)，θ取不同值時(shí)系統(tǒng)F、原子Fa、光場(chǎng)Ff保真度隨時(shí)間的演化曲線

由圖2可以看出，系統(tǒng)、光場(chǎng)和原子的保真度具有周期性，系統(tǒng)的保真度最小，原子的保真度最大。當(dāng)θ較小時(shí)，即兩原子處于基態(tài)的概率增大時(shí)，如圖a所示，三體系的保真度演化曲線均呈現(xiàn)規(guī)則的周期性，隨著θ數(shù)值增大，如圖b所示，三體系的保真度演化曲線周期變小，保真度數(shù)值略有增大。分析其原因，當(dāng)θ增大時(shí)，兩個(gè)原子處在基態(tài)的幾率增大，因?yàn)榛鶓B(tài)為最低能級(jí)，所以原子和光場(chǎng)的作用要減弱，故系統(tǒng)保持原有狀態(tài)的程度要高，所以保真度增大。

圖3 θ＝π/3，ga＝0.01g g時(shí)，g取不同值時(shí)系統(tǒng)F、原子Fa、光場(chǎng)Ff保真度隨時(shí)間的演化曲線

從上圖可以看出，三體系的保真度的演化曲線都具有規(guī)則的周期性。當(dāng)g的取值增大時(shí)，即原子和光場(chǎng)的耦合強(qiáng)度增強(qiáng)，系統(tǒng)、原子和光場(chǎng)的保真度演化曲線周期均減小，并且保真度的數(shù)值減小。分析其原因，隨著g取值的增大，原子和光場(chǎng)的相互作用增強(qiáng)，致使三體系在演化過(guò)程中保持原有狀態(tài)的程度降低，故保真度均減小。

3 總結(jié)

本文利用了全量子理論，研究了單模真空?qǐng)雠c偶極－偶極耦合的兩等同雙能級(jí)原子相互作用系統(tǒng)中保真度的演化規(guī)律。結(jié)果表明，系統(tǒng)、原子和光場(chǎng)的保真度呈現(xiàn)相似的演化規(guī)律。原子與原子之間偶極相互作用的耦合系數(shù)、原子和光場(chǎng)之間的耦合系數(shù)以及初態(tài)時(shí)兩個(gè)原子均處于基態(tài)的概率影響著保真度的演化。當(dāng)原子與原子之間偶極相互作用增大時(shí)，整個(gè)體系的保真度增大，并且演化曲線出現(xiàn)崩潰－回復(fù)特征；當(dāng)原子和光場(chǎng)之間的耦合系數(shù)增大時(shí)，整個(gè)體系的保真度減小，并且演化曲線的周期明顯變??；當(dāng)初態(tài)兩原子均處在基態(tài)的概率增大時(shí)，整個(gè)體系的保真度增大。

［1］胡冬梅，冉揚(yáng)強(qiáng)，黃小春.原子與雙光場(chǎng)耦合系統(tǒng)量子信息保真度研究［A］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2007，24（2）：114－147.

［2］郭光燦.量子信息技術(shù) ［A］.重慶郵電大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2010，（5）：521－525.

［3］李元杰，張彥立.簡(jiǎn)并拉曼過(guò)程中量子保真度的演化［A］.量子電子學(xué)報(bào)，2004.8：486－472.

［4］董傳華.在克爾媒質(zhì)中原子和光場(chǎng)的量子信息保真度［A］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2003，23（10）：1181－1187.

［5］劉素梅，紀(jì)運(yùn)景，賀安之.雙光子過(guò)程中原子和光場(chǎng)量子態(tài)保真度的演化［A］.激光技術(shù)，2009，26（2）：210－217.

［6］Chunjia huang，Ming zhou，F(xiàn)anzhi kong，Jiayuan fang and Kewei mo Fidelity of quantum state for interacting system of light field and atomic Bose－Einstein condensate Chinese optics letters 2005，3（7）：410－413.

［7］劉王云，楊志勇，安毓英.單模真空?qǐng)觯詈想p原子系統(tǒng)的量子場(chǎng)熵演化特性 光電子·激光2007，18（9）：1124－1127.

［8］Quantum pathology of static internal imperfections in flawed quantum computers［A］.physics letters，J.PHYSLETA.2007，3－4（370）：207－212.