張紀英，陳佳君，吳 山，魯望婷，陳紅梅，賴重遠

（江漢大學交叉學科研究院，湖北 武漢 430056）

簇態(tài)是一種特殊的量子糾纏態(tài)。在簇態(tài)基礎上，僅僅通過適當的單量子比特測量就可以完成量子計算，而無需復雜的兩量子比特門操作。鑒于簇態(tài)的這種重要性，很多研究人員致力于有關簇態(tài)的研究，其中一個關注的焦點就是簇態(tài)的制備［1-4］。

自旋模型是一種制備簇態(tài)的重要模型，現有很多簇態(tài)制備方案都是在自旋模型中提出的［5-6］。自旋模型中制備簇態(tài)的方案有些只考慮了自旋間相互作用比較強的最近鄰相互作用［6］，有些考慮了最近鄰和次近鄰相互作用同時存在的情況［7］。文獻［7］在制備簇態(tài)時，考慮的次近鄰相互作用相當于一個噪聲，會降低制備簇態(tài)的保真度。此文提出周期性動力學退耦合（periodic dynamic decoupling，PDD）能夠有效抑制次近鄰相互作用噪聲，進而制備到高保真度的簇態(tài)。通常情況下，Uhrig動力學退耦合（Uh?rig dynamical decoupling，UDD）［8-10］對于噪聲的抑制效果要優(yōu)于PDD，即達到相同的噪聲抑制效果時，UDD需要的脈沖總數要少。本文應用UDD來消除簇態(tài)制備過程中的次近鄰相互作用噪聲，并比較UDD和PDD兩者對次近鄰相互作用噪聲的抑制效果。

1 研究系統的哈密頓量

考慮一個一維的含N個1/2自旋的自旋鏈，且量子比特之間是XY型的相互作用。此系統的哈密頓量為

其中J1是相互作用強度，可開關。分別是第i個量子比特的泡利X和Y算符。

應用此相互作用，通過第一步制備兩量子比特的簇態(tài)對；第二步連接兩量子比特簇態(tài)對形成一維簇態(tài)鏈，可以制備到理想的簇態(tài)用于量子計算［6］。在此相互作用基礎上，綜合考慮實際情況，文獻［7］研究了存在次近鄰相互作用時的系統。次近鄰相互作用哈密頓量可以寫為

其中J2是次近鄰相互作用強度，其開關狀態(tài)和J1同步。系統的總哈密頓量為

此時，由于次近鄰相互作用H2的存在，應用文獻［6］中的方案制備簇態(tài)時，實際得到的簇態(tài)距離理想簇態(tài)會有所偏離。此偏離的大小依賴于次近鄰和最近鄰相互作用強度之比，假設J2/J1=0.1。另外，偏離的大小可以用保真度F這個物理量來度量，F定義為

F的取值范圍從0到1，其值越大，代表實際得到的簇態(tài)與理想簇態(tài)越接近，故F取值為1時最好，代表實際制備到的簇態(tài)與理想簇態(tài)完全重合。

2 應用PDD抑制次近鄰相互作用的方案

文獻［7］給出應用PDD抑制次近鄰相互作用的方案。為了能夠更好地描述本文的工作，筆者先簡單介紹文獻［7］中的結果。為了描述方便，以粒子數為4n（n為任意正整數）的自旋鏈為例。首先，在第一步制備兩量子比特簇態(tài)對時，在第（4L-1）和第4L個量子比特上施加理想的沿Z方向的PDD脈沖序列，L=1，2，…，n。其次，在第二步連接第一步制備到的簇態(tài)對形成一維簇態(tài)鏈時，在第（4L-2）和第（4L-1）個量子比特上外加沿Z方向的PDD脈沖序列。經過上述兩步PDD操作，次近鄰相互作用可以被有效抑制，進而提高簇態(tài)的保真度。

以粒子數為4的自旋鏈為例分析上述兩步PDD抑制次近鄰相互作用的操作。圖1為自旋數為4的自旋鏈，圖中黑色實心圓點代表自旋，黑色實線代表最近鄰相互作用，黑色點線代表次近鄰相互作用。

圖1 自旋數為4的自旋鏈Fig.1 Spin chain with spin number as four

在第3和第4個自旋上外加沿Z方向的π脈沖，記此外加脈沖操作為UZ，此時系統的幺正演化算符為

當t→0時，因為（8）式可以簡化為

其中有效哈密頓量為

當第3和第4個量子自旋上外加沿Z方向的π脈沖時，UZ的具體表達形式為

將（7）式和（11）式代入（10）式，可得

同理，可以得到第二步連接簇態(tài)對為簇態(tài)鏈時，在第2和第3個自旋上加沿Z方向的π脈沖后的有效哈密頓量為

圖2為文獻［7］給出的數值模擬結果。由圖2可知，沒有外加PDD脈沖時，在粒子數為3的系統中，制備到的簇態(tài)的保真度數值要比1小較多，隨著粒子數越來越多，制備到的簇態(tài)的保真度越來越小。當粒子數為10時，保真度已經小于0.8；當粒子數為12時，保真度已經小于0.75。對應這樣小的保真度數值的簇態(tài)，已經不能很好地用于量子計算。當外加PDD脈沖數為2時，相較于沒有外加PDD脈沖的情況，簇態(tài)保真度得到了很大的提高，粒子數從3到12，保真度始終遠大于0.95，能很好地用于量子計算。當外加脈沖數由2增加到4時，保真度又得到了進一步增大，即隨著外加脈沖數越多，制備到簇態(tài)的保真度越高。

圖2 應用PDD抑制次近鄰相互作用噪聲時制備到的簇態(tài)保真度Fig.2 Fidelity of generated cluster states when applied PDD for suppressing noise of next-nearest-neighbor interactions

3 應用UDD抑制次近鄰相互作用的方案

UDD是繼PDD之后在2007年由Uhrig通過最優(yōu)化思想提出的一種在時間上非等間距的脈沖序列。通常情況下，達到相同的噪聲抑制效果時，UDD的脈沖數要小于等間距的PDD的脈沖數。UDD施加第j個脈沖的時刻為δjt，

其中m為總脈沖數。

應用UDD抑制XY模型中的次近鄰相互作用的操作，與文獻［7］中應用PDD的操作相同，除了外加脈沖的施加時刻由改為（即首先在第（4L-1）和第4L個量子比特上施加理想的沿Z方向的UDD脈沖序列；其次在第（4L-2）和第（4L-1）個量子比特上外加沿Z方向的UDD脈沖序列）。圖3和圖4分別對應外加脈沖數為2和4時的脈沖序列示意圖，T為制備簇態(tài)的總時間，黑色和白色矩形代表外加脈沖。其他脈沖數的示意圖同樣可以根據此處的外加脈沖時刻公式得到。由圖3（a）和圖4（a）可知，UDD脈沖序列中外加脈沖間的時間間距是非等間距的；由圖3（b）和圖4（b）可知，PDD中的脈沖間的時間間距是相等的。

圖3 外加脈沖數為2時的脈沖序列示意圖Fig.3 Illustration of pulse sequences with applied pulse number as two

圖4 外加脈沖數為4時的脈沖序列示意圖Fig.4 Illustration of pulse sequences with applied pulse number as four

外加UDD脈沖序列后，通過計算對應的保真度來度量UDD對次近鄰相互作用噪聲的抑制效果。因為計算量過大，本文同文獻［7］一樣采用數值模擬方法計算保真度。因這里多為矩陣運算，筆者使用MATLAB軟件進行數值計算。通過MATLAB程序，首先得到理想簇態(tài)，然后得到在有次近鄰相互作用且有外加UDD脈沖序列時的實際態(tài)最后依照（6）式得到保真度。外加脈沖序列為PDD時保真度的數值計算方法同UDD時的情況。具體的數值模擬結果見圖5。

由圖5可知，當外加脈沖為2時，外加UDD脈沖序列對應的保真度要比PDD情況下的保真度高，更接近于1；當外加脈沖數增為4時，外加UDD脈沖序列依然要比PDD得到的保真度高，即脈沖數為2和4兩種情況下，外加UDD脈沖序列時的保真度都要大于PDD時的保真度。可見在本文的模型中，UDD對次近鄰相互作用噪聲的抑制效果要優(yōu)于PDD。從圖5中還可以看到，外加脈沖數為4時的保真度要大于外加脈沖數為2時的保真度，可見外加脈沖數越多，UDD對次近鄰的相互作用抑制效果越強。

圖5 應用UDD抑制次近鄰相互作用噪聲時制備到簇態(tài)的保真度Fig.5 Fidelity of generated cluster states when applied UDD for suppressing noise of next-nearest-neighbor interactions

4 結語

本文提出了在XY模型中制備簇態(tài)時，應用UDD抑制次近鄰相互作用的方案，并與筆者之前發(fā)表的PDD方案做了對比。研究結果表明，當外加脈沖總數相同時，UDD方案中得到的簇態(tài)的保真度始終大于PDD方案中簇態(tài)的保真度。對于含12個粒子的自旋鏈系統，當外加脈沖數為4時，UDD方案能得到保真度為1的簇態(tài)，而PDD方案得到的簇態(tài)保真度要小于1，其需要多于4個脈沖才能制備到保真度為1的簇態(tài)。UDD方案提供了較好的抑制次近鄰相互作用、制備高保真度簇態(tài)的方法，對基于簇態(tài)的量子計算及其相關的實驗提供了較好的理論支持。

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