胡昌亮

[摘? 要] 抽象素養(yǎng)的第二和第三水平的高低直接影響著學(xué)生解決中檔題和綜合難題的能力. 筆者以自己的課堂教學(xué)實(shí)踐為背景，芻議了抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的兩個(gè)途徑：層第性培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng);利用課堂的生成性發(fā)散思維提升抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 抽象素養(yǎng);層第性培養(yǎng);發(fā)散思維;閱讀素養(yǎng)

新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，描述了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)主要方面，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析，并從概念的界定，及其在數(shù)學(xué)與生活中的作用和意義方面進(jìn)行了描述. 在素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)抽象中，便指出數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程. 給出數(shù)學(xué)抽象的作用是使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生可以根據(jù)熟悉的情境直接抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成解決問(wèn)題的思路和方法，可是遇到稍微難的題目，就會(huì)出現(xiàn)抽象障礙，這類題目，即新課標(biāo)中關(guān)于抽象素養(yǎng)的三個(gè)水平維度的第二和第三水平：聯(lián)系和創(chuàng)造. 如何高效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)是一線教師需要深究的.

層第性培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

學(xué)生的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，這需要我們教師在教學(xué)過(guò)程中循序漸進(jìn)地引導(dǎo)，形成系統(tǒng)性的解題經(jīng)驗(yàn). 下面筆者以導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系為背景，從4個(gè)水平維度闡述如何層第性培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維品質(zhì).

水平1（導(dǎo)函數(shù)可解可作圖型）：函數(shù)f（x）=（x2+2x）ex（x∈R）的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________.

評(píng)價(jià)：這是較簡(jiǎn)單的一類函數(shù)單調(diào)性求解題型，求導(dǎo)后解不等式即可. 但直接解不等式得出單調(diào)區(qū)間畢竟是非區(qū)分題，對(duì)于壓軸題，并不能直接解決. 實(shí)際上不等式的解集反映在圖像之上，即為x軸的上方或下方部分對(duì)應(yīng)的自變量范圍，所以只要能作出導(dǎo)函數(shù)中符號(hào)可變部分的大致圖像，如本題中的y=x2+4x+2，再結(jié)合零點(diǎn)，就可求出單調(diào)區(qū)間. 這樣以形助數(shù)，抽象思維與形象思維相結(jié)合，可以為后面的深度學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

水平2（導(dǎo)函數(shù)可猜零點(diǎn)型）：函數(shù)f（x）=ex+■x2-（2+ln2）x的增區(qū)間為_(kāi)___.

評(píng)價(jià)：函數(shù)求導(dǎo)后，由于不會(huì)求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，學(xué)生可能解不出不等式，但導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性仍可判斷，故可引導(dǎo)學(xué)生猜出零點(diǎn). 由于導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式出現(xiàn)了ex及l(fā)n2，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系可猜零點(diǎn)為x=ln2，作出草圖，數(shù)形結(jié)合即可求出單調(diào)性.

水平3（導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可設(shè)型）：函數(shù)f（x）=e2x-alnx. 證明：當(dāng)a>0時(shí)， f（x）≥2a+aln■.

評(píng)價(jià)：求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求或者不可猜，但能判斷其零點(diǎn)存在，考慮設(shè)出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，并得到函數(shù)的最小值，則有f（x）≥f（x0）=e■-alnx0. 教師之后引導(dǎo)學(xué)生利用2e■-■=0將e■-alnx0化簡(jiǎn)為f（x0）=e■-alnx0=2ax0+■+aln■，再利用基本不等式即可得出結(jié)果. 經(jīng)此，學(xué)生后面遇到類似問(wèn)題會(huì)有兩方面的意識(shí)：一是零點(diǎn)不能求仍然可以設(shè)出來(lái);二是可以利用零點(diǎn)滿足的方程，將最值表達(dá)式中的指數(shù)、對(duì)數(shù)式子化簡(jiǎn)為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)背景的表達(dá)式.

水平4（二次求導(dǎo)型）：若函數(shù)f（x）=■，0

評(píng)價(jià)：本題只要能判斷出函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)的單調(diào)性即可. 學(xué)生求導(dǎo)后，亦可猜出零點(diǎn)，但由于f ′（x）的單調(diào)性無(wú)法判斷，這是本題的思維障礙點(diǎn). 此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生為判斷f′（x）的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xcosx-sinx并求導(dǎo)，可判斷g′（x）為負(fù)，即f ′（x）單調(diào)遞減;由f′（0）=0，可知f ′（x）在（0，π）上恒負(fù)，所以函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)遞減，即a>b.

圖1是4個(gè)水平層次的思維導(dǎo)圖，由淺入深螺旋遞進(jìn)，學(xué)生層第性解決每個(gè)水平上的思維障礙點(diǎn)，獲取知識(shí)的本質(zhì)，提高自身的抽象素養(yǎng).

有效利用課堂上學(xué)生的生成性發(fā)散思維，因勢(shì)利導(dǎo)解決問(wèn)題

眾多學(xué)者所寫的關(guān)于發(fā)散思維的論文比較集中在“一題多解”上，筆者在此不再贅述，此處筆者想談一下怎樣利用課堂上自然生成的發(fā)散思維來(lái)達(dá)到提升抽象素養(yǎng)的目的.

在函數(shù)不等式問(wèn)題中，經(jīng)常需要構(gòu)造函數(shù)，由“導(dǎo)”尋“源”，解決問(wèn)題. 比如下面一道選擇題：

（單選）已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′（x）+f（x）≤0，對(duì)于任意正數(shù)a，b，若a

A. af（a）≤f（b） B. bf（b）≤f（a）

C. af（b）≤bf（a） D. bf（a）≤af（b）

由“導(dǎo)”尋“源”，學(xué)生構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）≤0，所以g（x）=xf（x）為（0，+∞）上的減函數(shù). 因?yàn)閍g（b），即af（a）>bf（b）. 但選項(xiàng)中沒(méi)有此答案，可學(xué)生的解法又沒(méi)有問(wèn)題，怎么辦？教師此時(shí)應(yīng)該對(duì)學(xué)生的這種發(fā)散思維方式予以肯定，同時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)：若此題加上這個(gè)答案，就會(huì)變成多選題，契合了新高考. 然后可利用這種難得的課堂生成，引導(dǎo)學(xué)生思考沒(méi)找到答案的原因：通過(guò)觀察選項(xiàng)C和D，若能解決f（x）的單調(diào)性進(jìn)而判斷出f（a）與f（b）的大小即可. 此時(shí)由條件xf′（x）+f（x）≤0，可知f′（x）≤-■≤0，所以f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，即有f（a）>f（b）≥0，又0

學(xué)生課堂生成性的發(fā)散思維有多個(gè)來(lái)源，上面顯然就是因?yàn)閷W(xué)生思維的起點(diǎn)不同而出現(xiàn)的解題方式. 作為教師，應(yīng)該利用好課堂上寶貴的生成性資源，理清思路，肯定學(xué)生，課堂氛圍民主，學(xué)習(xí)才能高效，抽象素養(yǎng)也才能隨之得到培養(yǎng).

學(xué)生的抽象素養(yǎng)并不是依靠口頭的傳授，更不是通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)獲得，它需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，層第性地去啟發(fā)，同時(shí)抓住課堂上的思維閃光點(diǎn)作為我們的教學(xué)素材. 最后，希望筆者的一點(diǎn)點(diǎn)教學(xué)實(shí)踐可以給廣大教師帶去一些思考.