摘 要：數(shù)形結(jié)合是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最常用也是最重要的一種數(shù)學(xué)思想方法，是指把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而化難為易、化繁為簡。數(shù)形結(jié)合思想的滲透，對(duì)于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)有著很重要的作用。在實(shí)際教學(xué)中，教師要從兒童的視角出發(fā)，挖掘并選擇能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的素材，精心設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，提高學(xué)生的推理能力，使學(xué)生主動(dòng)探索在給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)，建立數(shù)與形的生動(dòng)聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值與內(nèi)涵。對(duì)于“數(shù)與形”的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷一個(gè)有層次性的、豐富的、立體的、逐漸深入的過程，從而在解決數(shù)與形的相關(guān)問題時(shí)逐步體驗(yàn)“數(shù)”與“形”各自的價(jià)值和內(nèi)涵，進(jìn)而對(duì)小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)學(xué)基本內(nèi)容有整體的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);以形助數(shù);以數(shù)釋形;數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-624X（2020）36-0032-02

引 言

“數(shù)與形”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容。該單元一共有2個(gè)例題，例1是“以形助數(shù)”體會(huì)數(shù)形相關(guān);例2則是“以數(shù)解形”滲透極限思想。一般而言，本單元為1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中發(fā)展推理能力，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。筆者認(rèn)為，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際特點(diǎn)，將本單元1課時(shí)內(nèi)容一分為二，先探究例1，再探究例2，以求穩(wěn)扎穩(wěn)打、步步為營。

對(duì)于兒童來說，他們的數(shù)學(xué)思維正漸漸從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)逐步學(xué)會(huì)了區(qū)分現(xiàn)象與本質(zhì)、主要與次要的因素，可以初步嘗試獨(dú)立進(jìn)行邏輯論證。但他們依然要借助相對(duì)直觀、感性的經(jīng)驗(yàn)來理解比較抽象的數(shù)學(xué)原理。對(duì)于本課的教學(xué)來說，教師要從兒童視角出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生在明確規(guī)律的基礎(chǔ)上初步感受并體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價(jià)值，然后從整體上幫助學(xué)生理解數(shù)與形的密切相關(guān)性。

對(duì)于本課而言，教師很容易陷入“找規(guī)律”的怪圈，即引導(dǎo)學(xué)生探究和發(fā)現(xiàn)“正方形方格圖”中蘊(yùn)含的多種規(guī)律，借助圖形讓學(xué)生先從不同角度感知其中蘊(yùn)含的規(guī)律，然后用不同的算式表示規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決相關(guān)問題。很顯然，本單元的重難點(diǎn)明顯不在于規(guī)律的尋找上，而是讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價(jià)值。

一、數(shù)形結(jié)合思想的基本內(nèi)涵

“數(shù)”與“形”可以說是數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終?！皵?shù)”表現(xiàn)的是抽象的，“形”則比較直觀[1]。在實(shí)際教學(xué)過程中，教師需要設(shè)置一些有針對(duì)性的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，“人為”地推動(dòng)學(xué)生將二者建立聯(lián)系，使其體會(huì)數(shù)與形的內(nèi)涵與價(jià)值。在小學(xué)階段的“數(shù)與形”學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷一個(gè)有層次性、立體、逐漸深入的過程：一是在學(xué)習(xí)數(shù)和算式、方程等內(nèi)容時(shí)，體會(huì)可以借助“形”來“視數(shù)”，將抽象的數(shù)量關(guān)系“可視化”，打開解決問題的突破口，有時(shí)甚至可以從“形”中直接“讀”出答案，如借助“面積模型”理解分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算含義;二是在圖形幾何學(xué)習(xí)中，在體會(huì)要更深入地理解圖形的變化等情形時(shí)，可以借助數(shù)和算式來“釋形”，這樣更易透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，如面積（體積）公式的推導(dǎo);三是在體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵后，能自然地使用這樣的思想方法去解決相應(yīng)的問題，感受其價(jià)值。

數(shù)形結(jié)合作為解決問題的重要策略，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段[2]。對(duì)于學(xué)生而言，這種思想的滲透、方法的指導(dǎo)不是一蹴而就的。要想養(yǎng)成這樣解決問題的良好習(xí)慣，學(xué)生需要一定的時(shí)間積淀。在實(shí)踐操作中，教師要讓學(xué)生親身感受到這種思想方法的優(yōu)越性，努力將“遇到問題要嘗試畫圖”這樣想法深深印刻在學(xué)生腦海中。例如，在解決問題時(shí)，即使不是一道圖形相關(guān)題，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖表達(dá)題意，簡化思考的難度，從而加深學(xué)生對(duì)題目的理解。

二、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)“以形助數(shù)”

在小學(xué)具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，在經(jīng)過多種問題或情境體驗(yàn)后，學(xué)生對(duì)“數(shù)缺形時(shí)少直觀”的理解較為深刻，但對(duì)于“形少數(shù)時(shí)難入微”的理解較少。究其原因，一是教材具體實(shí)例較少;二是部分教師在實(shí)際教學(xué)中會(huì)有意“避開”，所以學(xué)生在這方面的體驗(yàn)較為缺乏。筆者認(rèn)為，在教學(xué)中，教師應(yīng)深入研讀教材、創(chuàng)新性地使用教材例題、習(xí)題，創(chuàng)設(shè)豐富的學(xué)習(xí)探究活動(dòng)，從而加深學(xué)生對(duì)“以形助數(shù)”“以數(shù)釋形”的理解。

在例1 的教學(xué)中，按照“L形”逐層將小正方形呈現(xiàn)給學(xué)生。在實(shí)際教學(xué)中，首先，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察“正方形方塊圖”。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)可以用不同的數(shù)或算式表示圖中的“方塊數(shù)”，即“形”中有“數(shù)或算式”，寫出的“數(shù)或算式”亦可以用“形”顯現(xiàn)，初步感受到“數(shù)”與“形”緊密相關(guān)。其次，教師會(huì)從“找規(guī)律”的角度切入，讓學(xué)生觀察隨著“形”的變化，“數(shù)或算式”也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，并且可以借助“形”的特征發(fā)現(xiàn)算式之間的關(guān)系，從而建立本例題的一般模型：從1開始n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是n?。最后，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生思考1+3+5+7+9+11+13 這個(gè)式子對(duì)應(yīng)的圖形是什么樣子。學(xué)生很自然地會(huì)用“形” 來解決。但大部分學(xué)生會(huì)從圖形整體上進(jìn)行思考：1 是1個(gè)小正方形，1+3 是4個(gè)小正方形……以此類推，所以1+3+5+7+9+11+13 是由7×7，即49個(gè)小正方形組成的大正方形。

但也有個(gè)別學(xué)生是從最外層的“L形”來觀察圖形的（見圖1），對(duì)應(yīng)的式子中最后一個(gè)數(shù)“13”。橫著的一排和豎著的一列相交處，有1個(gè)小正方形是重疊的，重復(fù)了。此時(shí)，學(xué)生頭腦中有強(qiáng)烈的“以形助數(shù)”的想法，所以在求這個(gè)式子是幾的平方時(shí)，很自然地說出（13+1）÷2=7。此時(shí)，教師及時(shí)追問：“最外層的13，與算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？”從而使學(xué)生建立尾數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間關(guān)系的模型：（尾數(shù)+1）÷2=式子中奇數(shù)的個(gè)數(shù)。接著，教師出示三個(gè)習(xí)題以加深學(xué)生的理解：1+3+5……+21=（ ? ? ?）?;1+3+5……+101= （ ? ? ?）?;1+3+5……+（2n-1）=（ ? ? ?）?。從具體到抽象，在加深理解“規(guī)律”的基礎(chǔ)上，學(xué)生思維向高階發(fā)展，體現(xiàn)出教學(xué)的深度，這是符合當(dāng)前教學(xué)要求的。

三、深挖習(xí)題，使學(xué)生感受“以數(shù)釋形”

學(xué)生在探究完尾數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系后，能初步體會(huì)到“形少數(shù)時(shí)難入微”的意義：只有“數(shù)”沒有“形”，難直觀;只有“形”沒有“數(shù)”，難深入。在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師可以放手讓學(xué)生繼續(xù)深入探究和體會(huì)“數(shù)”與“形”不是截然分開的，兩者之間有著密切聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度、運(yùn)用不同方法來解決問題，為例2的學(xué)習(xí)埋下一個(gè)的伏筆。而練習(xí)二十二的第2題就能達(dá)到這樣的效果。

在學(xué)生自主探究得出每個(gè)圖形小圓片個(gè)數(shù)是“1+2+3……+n”后，出示“1+2+3+4+5+6+7+8……+100=？它是一個(gè)怎樣的圖形？”在前面的圖形中，小圓片的個(gè)數(shù)用簡單的加法就能得出答案，但這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生來說比較困難。那是否有更簡便的方法呢？當(dāng)然，有個(gè)別學(xué)生脫口而出“首項(xiàng)+末項(xiàng)的和乘項(xiàng)數(shù)除以2”。但能否借用圖形來思考，證明這個(gè)結(jié)論，就需要學(xué)生創(chuàng)造性地使用習(xí)題，結(jié)合本課內(nèi)容深挖習(xí)題內(nèi)涵。

此時(shí)，教師可以布置學(xué)習(xí)活動(dòng)：“你能用圖形來幫助解決這個(gè)問題嗎？”引導(dǎo)學(xué)生從題中圖形入手，將習(xí)題中原圖形旋轉(zhuǎn)后變成圖2形狀。圖2中左圖原圖形的算式是1+2=3;右圖原圖形的算式是1+2+3=6。接著，教師追問：“圖形旋轉(zhuǎn)后你還能用算式表示這兩個(gè)圖形的原來小圓片的個(gè)數(shù)嗎？”圖形與算式的互相解析，一定程度上超越了學(xué)生的認(rèn)知。在實(shí)際教學(xué)中，只有個(gè)別學(xué)生能根據(jù)引導(dǎo)完成旋轉(zhuǎn)后的圖形。在找到了圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，學(xué)生借助直觀圖發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后，一是可以運(yùn)用“平行四邊形的面積”來計(jì)算原來的小圓片數(shù);二是可以根據(jù)“邊長個(gè)數(shù)”相乘計(jì)算原來小圓片的個(gè)數(shù)，即左邊圖形旋轉(zhuǎn)后算式為（1+2）×2÷2=3（個(gè)）;右邊圖形旋轉(zhuǎn)后為（1+3）×3÷2=6（個(gè)）。因?yàn)樾D(zhuǎn)后有兩個(gè)一樣的圖形，求原來圖形的小圓片個(gè)數(shù)，所以除以2。到這里，適時(shí)的出示第n個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后形狀（見圖3）。學(xué)生根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)很自然就能看圖列出相應(yīng)的式子：1+2+3……+n=（1+n）×n÷2。到這里，學(xué)生利用“形”完成了對(duì)等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也順利解決了1+2……+100的問題。

直觀圖給求解抽象算式的任務(wù)指出了大方向[3]。正如20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中所談到的：圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。在解決問題的過程中，幾何直觀有助于學(xué)生從整體上去研究，在應(yīng)對(duì)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時(shí)明確把握大方向。

數(shù)學(xué)課要變得有生命力，教師就要貼近學(xué)生視角，在課堂探究活動(dòng)中積極滲透數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)本身是認(rèn)識(shí)、理解生活現(xiàn)象的一種由淺到深、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)方式，要培養(yǎng)的則是會(huì)主動(dòng)進(jìn)取、善于分享、生動(dòng)活潑的人。

結(jié) ? ?語

在小學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合貫穿、隱藏于許多知識(shí)點(diǎn)之中。教師要根據(jù)不同的知識(shí)模塊進(jìn)行分析、整合，并尊重學(xué)生自身的特點(diǎn)，從學(xué)生的視角挖掘并選擇能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的素材。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為目的，尋找適合他們掌握數(shù)形結(jié)合方法的契合點(diǎn)，巧妙設(shè)計(jì)問題、挖掘教材，在一定程度上進(jìn)行有深度的教學(xué)，真正幫助學(xué)生搭建起“數(shù)”與“形”之間的橋梁。

[參考文獻(xiàn)]

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孔凡哲. 關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》一個(gè)關(guān)鍵詞的認(rèn)識(shí)[A]. 全國數(shù)學(xué)教育研究會(huì).全國數(shù)學(xué)教育研究會(huì)2014年國際學(xué)術(shù)年會(huì)論文集[C].全國數(shù)學(xué)教育研究會(huì)：中國高教學(xué)會(huì)高等師范教育研究會(huì)數(shù)學(xué)教育會(huì)，2014：8.

作者簡介：虢小鵬（1991.12—），男，湖北武漢人，本科學(xué)歷，中小學(xué)二級(jí)教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)。