李雨臻

摘 要：在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解題訓(xùn)練的重要意義自然不言而喻。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生不能為了解題而解題，而是積極地去思考和體會(huì)，從而最大限度地提升解題能力。本文簡(jiǎn)要探討了筆者自身對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的三點(diǎn)感悟，即注重?cái)?shù)學(xué)思想及方法的提煉、尋求創(chuàng)新性解法以拓展思維、對(duì)錯(cuò)題原因進(jìn)行深層次反思，冀對(duì)高中同學(xué)有所助益。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題訓(xùn)練;數(shù)學(xué)思想、一題多解;錯(cuò)題分析;學(xué)習(xí)心得

數(shù)學(xué)教育家波利亞有句廣為人知的名言：“掌握數(shù)學(xué)的主要表現(xiàn)就是善于解決問(wèn)題”，他還在其名著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)即為加強(qiáng)解題訓(xùn)練?！本透咧袛?shù)學(xué)而言，解題訓(xùn)練的重要意義自然不言而喻。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們不能為了解題而解題，而是積極地去思考和體會(huì)，從而最大限度地提升解題能力。以下是筆者結(jié)合自身學(xué)習(xí)實(shí)踐所產(chǎn)生的三點(diǎn)感悟，冀對(duì)高中同學(xué)有所助益。

一、注重?cái)?shù)學(xué)思想及方法的提煉

眾所周知，大多數(shù)高中數(shù)學(xué)題目中都蘊(yùn)含著經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想及方法，如數(shù)形結(jié)合、分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸，以及方程與不等式等，當(dāng)面對(duì)一道題目時(shí)，能否正確運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想及方法往往是順利解題的關(guān)鍵。在解題訓(xùn)練中，我們亦應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想及方法的提煉，以期加深理解，從本質(zhì)上掌握題目精髓。例如：函數(shù)f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。該題若用取點(diǎn)作圖法的話自然離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合，但實(shí)際上除此之外，我們還可以利用換元和轉(zhuǎn)化的思想采取一種更簡(jiǎn)單的解法，即：先換元，設(shè)3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通過(guò)y=cost的圖像易知，當(dāng)t=π/2，3π/2，5π/2時(shí)，cost=0，即f（x）有三個(gè)零點(diǎn)。該解法通過(guò)換元轉(zhuǎn)化的方式利用了基本三角函數(shù)y=cost的圖像，思路上有一定的技巧性，對(duì)此應(yīng)當(dāng)給予一定的重視，仔細(xì)體會(huì)換元轉(zhuǎn)化思想在其間發(fā)揮的重要作用。

二、尋求創(chuàng)新性解法以拓展思維

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，一題多解是高中數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的現(xiàn)象，在平常的解題訓(xùn)練中，除了老師的引導(dǎo)和強(qiáng)調(diào)外，學(xué)生自身也應(yīng)注重尋求一些創(chuàng)新性的解法以拓展思維，同時(shí)亦可增加思維深度。例如：已知函數(shù)f（x）=|2x-1|，其值域?yàn)椋?，6），求其定義域。該題的解答需要將先已知條件轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題，即2<|2x-1|<6。轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題后，問(wèn)題就較為簡(jiǎn)單了，可以將2<|2x-1|<6拆分為2x-1|<6和|2x-1|>2兩個(gè)不等式，分別求解進(jìn)而將兩式的解綜合，最終得出x的取值范圍。但這一思路僅屬于一般性的思路，我們還可以采取一種創(chuàng)新性的思路來(lái)求解該題。分析題設(shè)可以發(fā)現(xiàn)，該題的難點(diǎn)主要是絕對(duì)值的存在，如果能夠首先去掉絕對(duì)值從而簡(jiǎn)化不等式，則問(wèn)題也就迎刃而解了。而根據(jù)絕對(duì)值的定義，2<|2x-1|<6去掉絕對(duì)值后變成兩個(gè)式子，即2<2x-1<6和-2<2x-1<-6，這時(shí)再采用常規(guī)性的解題思路就很容易解答該題了。在解答和訓(xùn)練過(guò)程中，要注意體會(huì)這種創(chuàng)新性的思路，以達(dá)到拓展思維的目的。

三、對(duì)錯(cuò)題原因進(jìn)行深層次反思

解題訓(xùn)練中難免會(huì)遇到容易做錯(cuò)的題目，對(duì)于錯(cuò)題的總結(jié)和反思是解題訓(xùn)練中十分重要的一環(huán)。對(duì)錯(cuò)題的總結(jié)和反思，其核心重點(diǎn)是從思維過(guò)程中找到深層次的出錯(cuò)原因，抓住實(shí)質(zhì)，有的放矢，從根源上暴露問(wèn)題進(jìn)而消除問(wèn)題，這樣才能夠真正從中受益。例如：“若銳角△ABC中角B是角A的2倍，則cosA+cosB的取值范圍是多少？”比較典型的錯(cuò)誤解答過(guò)程是：cosA+cosB=cosA+cos2A=2cos2A+cosA-1=2（cosA+1/4）2-9/8，由于△ABC為銳角三角形且B是角A的2倍，故有A∈（0，π/4），cosA∈（0，/2），所以cosA+cosB=2（cosA+1/4）2-9/8在cosA∈（0，/2）上單調(diào)遞增，由此得到cosA+cosB∈（-1，/2）。那么錯(cuò)誤的原因在哪里呢？表面上看是忽略了C=π-（B+A），C∈（0，π/2），從而得到A>π/6，A的區(qū)間大小錯(cuò)誤而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤，但實(shí)際上，深層次的原因是忽略了C為銳角時(shí)對(duì)角A得制約，致使求得的A的區(qū)間變大，而從根源上看，則是解題者對(duì)銳角三角形的定義沒(méi)有全面而切實(shí)掌握，沒(méi)有合理地利用上銳角三角形中任意兩個(gè)銳角兩個(gè)角的和為鈍角這一隱含條件。而這在三角函數(shù)解題中又常常是正確解題的關(guān)鍵性條件。這樣，通過(guò)對(duì)問(wèn)題根源的剖析而明確出錯(cuò)的本質(zhì)原因，自然就能夠真正掌握該題，并在同類題目中不再犯同樣的錯(cuò)誤。試想，如果僅僅是指出錯(cuò)誤，講一下正確解法，則學(xué)生很可能是知其然而不知其所以然，難保下次繼續(xù)出錯(cuò)。

綜上所述，本文簡(jiǎn)要探討了筆者自身對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練的三點(diǎn)感悟，即注重?cái)?shù)學(xué)思想及方法的提煉、尋求創(chuàng)新性解法以拓展思維、對(duì)錯(cuò)題原因進(jìn)行深層次反思。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練當(dāng)然是一個(gè)兼具深度和廣度的話題，需要在學(xué)習(xí)實(shí)踐中不斷積極探索和總結(jié)，本文拋磚引玉，尚盼有識(shí)者指教。

參考文獻(xiàn)

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