岑強(qiáng) 王宇欣

摘 要：數(shù)學(xué)一直以來都是一門重要的學(xué)科。要學(xué)好數(shù)學(xué)，掌握大量的數(shù)學(xué)方法必不可少。構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)研究方法。在碰到一些用常規(guī)思路解不出來的題目之時(shí)，往往可以利用構(gòu)造法求解相關(guān)題目。一般地，我們可以從題目中給出的條件和結(jié)論進(jìn)行研究，如果能找到一種新思路新觀點(diǎn)去看待問題，就能夠以一種新的角度去分析和理解對象，進(jìn)而尋找出問題的條件與結(jié)論倆者之間的聯(lián)系所在。構(gòu)造法是一種“非常規(guī)”的解題方法，但有時(shí)能夠更容易地解決問題。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;實(shí)例研究;數(shù)學(xué)思想

一、緒論

（一）什么是構(gòu)造法

構(gòu)造法是一種用來解決一些較為困難的數(shù)學(xué)問題的常見方法。我們應(yīng)當(dāng)從一個(gè)新的角度觀察、分析和理解一個(gè)對象。在這個(gè)過程中，要根據(jù)問題的特征和屬性，設(shè)置條件和結(jié)論;牢牢把握條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使用數(shù)據(jù)的特征、形狀以及問題的坐標(biāo)等;以問題中已知的條件為基礎(chǔ)，以已知的數(shù)學(xué)關(guān)系和理論為工具[1]。因?yàn)闃?gòu)建出來的數(shù)學(xué)對象必須構(gòu)造滿足給定的條件或結(jié)論，這樣原問題所隱含的關(guān)系和屬性就能夠清楚地由該對象揭示，解決問題的方法也就清晰可見。

（二）問題提出的背景與研究現(xiàn)狀

1、背景

19世紀(jì)末，克羅內(nèi)克和龐加萊基于數(shù)學(xué)的可信性，提出了“存在，必須是被構(gòu)造的”這一觀點(diǎn)，創(chuàng)立了早期的直觀數(shù)學(xué)學(xué)派。但是他們把直觀數(shù)學(xué)推崇到極致，反對一切非構(gòu)造性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，搞得數(shù)學(xué)復(fù)雜難懂。隨后，馬爾科夫提出一種觀點(diǎn)，即一切數(shù)學(xué)概念都可以歸結(jié)為一個(gè)基本概念——算法的構(gòu)造性方法[2]。但是算法數(shù)學(xué)以遞歸函數(shù)為基礎(chǔ)，同樣難以理解。直到1867年，美國數(shù)學(xué)家比肖博發(fā)表構(gòu)造性分析藝術(shù)，擺脫了算法以及數(shù)學(xué)對遞歸函數(shù)的依賴，宣告現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)的形成?，F(xiàn)在，構(gòu)造法不僅在組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等新領(lǐng)域舉足輕重，在數(shù)值分析、拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域也至關(guān)重要。

在我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展史上，有非常多的具有代表性的構(gòu)造性算法.例如正負(fù)術(shù)算法，其對應(yīng)的成果是引入負(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則;例如開方術(shù)算法，其對應(yīng)的成果是開平法;例如《九章算術(shù)》中的約分術(shù)算法[3]，其對應(yīng)的成果是求兩數(shù)最大公約數(shù);例如還有割圓術(shù)算法，其對應(yīng)的成果是引入極限概念.例如還有朱世杰所提出的四元術(shù);例如方程術(shù)算法，其對應(yīng)的成果則是線性方程組的“矩陣”求解;以及秦九部提出的大衍求術(shù)算法[4]和《孫子算經(jīng)》里所提到的“物不知數(shù)”術(shù)算法等等;

2、現(xiàn)狀

現(xiàn)階段對于數(shù)學(xué)構(gòu)造法的研究，主要有以下三大方面：第一方面是將數(shù)學(xué)構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)基本思想方法，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)造法的相關(guān)理論研究;第二方面則是研究學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)構(gòu)造法這一思想方法時(shí)所遇到的困難，并給出相應(yīng)的學(xué)習(xí)和教學(xué)建議;第三則是從側(cè)面來深入挖掘研究構(gòu)造法，即通過調(diào)查研究分析、數(shù)據(jù)整理，來研究構(gòu)造法的學(xué)習(xí)心理及教學(xué)實(shí)務(wù)。

（三）研究方法與目的

1、研究方法

文獻(xiàn)分析法：文獻(xiàn)分析法即在構(gòu)思論文內(nèi)容之前，嘗試查找與數(shù)學(xué)構(gòu)造方法有關(guān)的文獻(xiàn)資料，并對與之相關(guān)的文獻(xiàn)資料進(jìn)行仔細(xì)、認(rèn)真、合理的篩選整理，并對相關(guān)文獻(xiàn)資料進(jìn)行認(rèn)真的分析及研究[5]。

整理歸納法：整理歸納法即將搜集好的有關(guān)數(shù)學(xué)構(gòu)造法資料進(jìn)行系統(tǒng)的分類整理和歸納，同時(shí)對與構(gòu)造法相關(guān)的例題進(jìn)行針對性的整理分類，以便論文書寫時(shí)能夠更好的查看和運(yùn)用，并要做好例題的深入分析研究。這一種研究方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠幫助我收集到大量而有應(yīng)用價(jià)值的文獻(xiàn)資料，并且能夠有效地篩選出自己想要的文獻(xiàn)和資料，使得對數(shù)學(xué)構(gòu)造法的分類以及例題的歸納更加有計(jì)劃性和條理性。

2、研究目的

解決數(shù)學(xué)問題有許多方法，在數(shù)學(xué)的實(shí)際解題過程中常規(guī)的方法可以解決，但操作起來非常繁瑣容易出錯(cuò)甚至有時(shí)解決不了。構(gòu)造法是指當(dāng)解決數(shù)學(xué)問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征，性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)去觀察，分析，理解對象，抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。構(gòu)造法是一種不那么常規(guī)但是也許會更容易解決問題的方法，這種方法在解決某一類不等式的問題中效率更高并且容易了解未知問題與已知知識之間的聯(lián)系，從而進(jìn)行對比。在構(gòu)造的過程中既是對已知知識的更深了解，也是對未知知識的探究，并且還可以培養(yǎng)思維的敏捷性和創(chuàng)造性。

（四）構(gòu)造法的理論依據(jù)及原則

1、理論依據(jù)

構(gòu)造法體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的方方面面。其理論依據(jù)可以追溯到波利亞的解題思想及數(shù)學(xué)解題表、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論（即數(shù)學(xué)化思想）、皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論（即學(xué)習(xí)的發(fā)生認(rèn)識論）。此外，構(gòu)造法本身與數(shù)學(xué)美有著緊密聯(lián)系。

2、構(gòu)造原則

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？就是意味著善于解題，我們不僅要善于解一般標(biāo)準(zhǔn)的題，而且還要善于解要求我們獨(dú)立思考、思路合理、見到獨(dú)特和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造意義的題”。由此可見，數(shù)學(xué)解題對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義是非常重要的。我們在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法要遵循一定的原則。

（1）相似性原則

相似性原則是指在我們在解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過認(rèn)真觀察所要解決數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論特征、分析思考條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后嘗試與我們己經(jīng)解決過的問題、熟知的公式及函數(shù)等建立聯(lián)系。最后根據(jù)數(shù)學(xué)中的基本對象構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而間接的解決原問題。

（2）直觀性原則

直觀性原則是指根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)，通過對原問題中條件和結(jié)論的觀察分析，直接構(gòu)造某種與原問題類似的數(shù)學(xué)形式或模型，從而使原問題中的條件和結(jié)論之間的數(shù)學(xué)關(guān)系清晰體現(xiàn)出來，進(jìn)而解決問題[6]。

（3）等價(jià)性原則

等價(jià)性原則是指將原問題中的條件轉(zhuǎn)換為一種與之等價(jià)的新形式，使得原問題中的條件和結(jié)論在所構(gòu)造的新條件下進(jìn)行解答。此時(shí)我們構(gòu)造的問題與原問題本質(zhì)上是等價(jià)的，所以解決了該問題也就解決了原問題。

二、大學(xué)階段構(gòu)造法的實(shí)例研究

（一）構(gòu)造函數(shù)在微分學(xué)中的應(yīng)用

在微分學(xué)中，構(gòu)造函數(shù)法有著許多的經(jīng)典的方法和技巧。我們可以從多種角度來構(gòu)造新函數(shù)，比如從問題的結(jié)論及特點(diǎn)來構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，然后利用該函數(shù)來解決新問題。一個(gè)典型的例子是拉格朗日中值定理的證明[7]。

例題2.1

證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間連續(xù)，（2）在開區(qū)間可導(dǎo);則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

分析：由定理的結(jié)論出發(fā)，得結(jié)論與羅爾定理的結(jié)論很像。所以若有

則滿足羅爾定理。這時(shí)想到構(gòu)造新的函數(shù)，考慮在上滿足羅爾定理。

（二）構(gòu)造數(shù)列在求極限中的應(yīng)用

構(gòu)造數(shù)列，利用其性質(zhì)和斂散性，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。下面以一道求極限的問題為例進(jìn)行探討。

（三）構(gòu)造級數(shù)判斷已知函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

判別法是判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂時(shí)經(jīng)常使用的一種方法，在使用判別法時(shí)，需要根據(jù)已知函數(shù)項(xiàng)級數(shù)來構(gòu)造出收斂的正項(xiàng)級數(shù)，對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

但因?yàn)椴淮嬖?，所以函?shù)在點(diǎn)不連續(xù)。

（五）構(gòu)造不等式

構(gòu)造不等式的目的是為了利用不等式的性質(zhì)解決問題，下面我們用一個(gè)實(shí)例來說明這點(diǎn)。

若數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂。

證明：構(gòu)造不等式：因?yàn)閿?shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂所以收斂，根據(jù)比較法知：收斂。

三、研究結(jié)論

在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的過程中，我們通常不能直接地利用原問題中的條件或者結(jié)論直接解決問題，否則往往會導(dǎo)致解題步驟較多、解題程序繁瑣，從而容易出錯(cuò)[8]。此時(shí)，我們可以選擇新的解題思路及途徑，構(gòu)造與原問題中的條件和結(jié)論相關(guān)的數(shù)學(xué)對象或者數(shù)學(xué)模型來幫助我們解決問題。這樣可以簡化解題過程，提高解題準(zhǔn)確率[9]。在使用數(shù)學(xué)構(gòu)造法時(shí)，要通過對問題中的條件進(jìn)行一系列的分析、變形、推導(dǎo)和演繹，才能找到正確、合理的解題方法和思路。因此，在解題過程中，我們會經(jīng)常用到數(shù)學(xué)構(gòu)造法[10]。

（一）數(shù)學(xué)構(gòu)造法解決實(shí)際問題的優(yōu)點(diǎn)

1、運(yùn)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解題可以幫助我們優(yōu)化解題的途徑

我們在解決問題的過程中往往會遇到一些用一般的解題方法無法快速解決的難題。利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法，可以化繁為簡，幫助我們理清解題的思路和方法，從而幫助我們優(yōu)化解題的途徑[11]。

2、數(shù)學(xué)構(gòu)造法可以從側(cè)面揭露出原問題中的隱含條件

題目中往往會隱含一些條件，而這些隱含的條件一定程度上會影響我們解題的思路，甚至直接決定著我們是否能夠解決問題。使用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解題能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)并分析題目中的隱含條件，使得原問題中的條件和結(jié)論更加的清晰簡單，進(jìn)而可以快速、正確的解決問題[12]。

3、數(shù)學(xué)構(gòu)造法可以溝通原問題中的條件和結(jié)論

在問題的實(shí)際解決過程中，很多數(shù)學(xué)問題我們只分析己知條件是很難求解的，我們需要按照一定的目標(biāo)和方向，根據(jù)數(shù)學(xué)構(gòu)造法所構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象，在原問題的條件和結(jié)論之間架起一座橋梁，理清原問題中條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。只有這樣，我們才能根據(jù)原問題中的結(jié)論和條件對問題進(jìn)行詳細(xì)分析，并利用我們分析推理出的推導(dǎo)邏輯關(guān)系解決原問題[13]。

4、數(shù)學(xué)構(gòu)造法可以幫助我們轉(zhuǎn)化、融合數(shù)學(xué)知識

我們在解決一些數(shù)學(xué)綜合問題時(shí)，常常需要我們將原問題中的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，或是要求我們采用數(shù)學(xué)構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)來求解幾何問題：例如求解問題中的線段最長、最短值問題，求參數(shù)的取值范圍的問題等等[14]。我們在運(yùn)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解決這些實(shí)際問題的過程中能夠促使數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系和內(nèi)化，使得數(shù)學(xué)知識之間可以互相轉(zhuǎn)化，從而使得我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時(shí)更加全面和系統(tǒng)。

（二）數(shù)學(xué)構(gòu)造法解題步驟

首先，對原問題進(jìn)行仔細(xì)的觀察和分析，思考原問題要求我們解決的問題;其次，根據(jù)原問題中要我們求解的問題，認(rèn)真分析題干中的條件，在題目中標(biāo)記出關(guān)鍵條件，并思考分析原問題中的條件與問題的內(nèi)在聯(lián)系，尋找解題的突破口;再次，將我們學(xué)過的知識與原問題中所給的條件緊密結(jié)合起來，再利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法中的多種模型，思考是否有數(shù)學(xué)對象與原問題中的條件和結(jié)論相關(guān)，然后根據(jù)具體的分析和嘗試構(gòu)造出具體的數(shù)學(xué)形式或?qū)ο骩15];最后，我們要根據(jù)所構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象，結(jié)合原問題中的具體問題及情境，對條件及結(jié)論進(jìn)行仔細(xì)的推敲，進(jìn)而理清解題思路，解決問題。

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