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        構(gòu)造法,數(shù)學解題的一把利刃

        2017-01-14 16:10:39吳琪
        中學課程資源 2016年12期
        關(guān)鍵詞:構(gòu)造法高中數(shù)學教學策略

        吳琪

        摘 要:課程標準指出:數(shù)學課堂要摒棄機械訓練、方法陳舊的課堂模式,代之以思想開放、樂于探究的開放型課堂。要達到這一目標,我們就必須講究解題方法,提高學生思維的活躍性。構(gòu)造法是一種常見的數(shù)學模型,對學生的思維靈活要求較高,教師可以借此方法充分調(diào)動學生數(shù)學學習的內(nèi)驅(qū)力,使其更主動地投入到數(shù)學學習中,盡情暢享數(shù)學知識的神奇與瑰麗。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學 構(gòu)造法 教學策略

        著名數(shù)學家波利亞曾經(jīng)說過:“數(shù)學解題的成功需要進行正確的思路選擇,要從可以接近它的方向去攻擊堡壘。”數(shù)學問題的解決不一定要采用常規(guī)思路,即僅根據(jù)已知條件并結(jié)合所學知識按部就班地探索答案。有些問題我們用常規(guī)思維模式是很難獲得到正確答案的,因此,這就需要學生改變原有的思維方式,以新的角度來考慮問題,尋求破解問題的關(guān)鍵點。構(gòu)造法就是這樣的手段之一,它是一種極其重要的數(shù)學解題思想,應(yīng)用十分廣泛。我結(jié)合多年的高中數(shù)學教學經(jīng)驗,對如何在課堂授課以及習題訓練中滲透構(gòu)造法的使用條件及注意事項進行研究與探索,下面通過具體實例淺談幾點看法。

        一、圖形構(gòu)造,判斷個數(shù)

        在高中數(shù)學學習中,幾何部分是重點知識之一,其考查方式也多種多樣,大部分學生對此都感到十分迷茫。在很多題型中,幾何條件與證明結(jié)論之間的關(guān)系也較為隱蔽,學生僅通過題意一時間是很難發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵點的。因此,學生應(yīng)注意挖掘題目條件中隱含的幾何含義,并以此為依據(jù)構(gòu)造出適當?shù)膸缀螆D形,使問題變得更加直觀,取得事半功倍的解答效果。

        幾何部分知識的學習是枯燥無味的,尤其對于空間想象力不強的學生,當他們遇到分析圖形個數(shù)問題時,總會暈頭轉(zhuǎn)向,不能準確抓住解題的關(guān)鍵,只會浪費時間,不利于考試發(fā)揮。教師要教會學生使用便捷的方法,加快解題速度。例如,很多學生都會遇到這樣的題目:如圖1所示的三棱錐P-ABC,在棱錐的三個側(cè)面以及一個底面中,直角三角形的個數(shù)最多可能存在( )個。

        這道題目雖然給出了一個三棱錐,但仍需我們展開想象,構(gòu)造出一個符合題目要求的三棱錐。題干要求我們找出可能存在的直角三角形的個數(shù),很明顯,我們會聯(lián)想到PA⊥底面△ABC,如果底面△ABC也是一個直角三角形,假設(shè)∠ABC是直角,那么我們很容易就能得出答案為4。

        這道題運用了構(gòu)造法求解題,使用構(gòu)造法之前一定要對題干認真分析,根據(jù)已知條件構(gòu)造出合適的圖形,這才是解題的關(guān)鍵。在高考中有不少填空題或選擇題都可以利用構(gòu)造法快速解決,有些時候還需要構(gòu)造出一些與題干相悖的圖形,進而推翻選項達到快速解題的目的。教師要注意在平常訓練中培養(yǎng)學生的解題技巧,多向?qū)W生滲透構(gòu)造法在幾何圖形中的妙用。

        二、函數(shù)構(gòu)造,求證不等

        高中函數(shù)的學習并不像初中函數(shù)那么簡單,往往會出現(xiàn)一些較為復(fù)雜的證明題,以考查學生的理論推理能力。在求解某些函數(shù)問題時,使用直接方法往往并不能解決問題,因此,我們要利用所學知識和已知條件構(gòu)造出一個新的函數(shù),為解題提供幫助,使問題在新的觀念下得以轉(zhuǎn)化,接下來再利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決原問題,這是一種行之有效的解題策略。

        眾所周知,函數(shù)學習貫穿數(shù)學學習的始終,隨著知識水平的提升,對學生的函數(shù)理解能力以及應(yīng)用水平的要求都有所提高。證明類題目一直是高中數(shù)學的難點,很多學生都無法輕松突破,教師要及時幫助學生打破知識的桎梏,完成證明題目解決的逆襲。例如,我在習題訓練中會給學生設(shè)置這樣的題目:證明不等式 < (x≠0)。這道題如直接證明,則難度很大,我們要進行轉(zhuǎn)換,題目等效于 -

        <0。這樣,我們就可以構(gòu)造出一個函數(shù)f(x)= - (x≠0)。為了便于證明,我們可以求出f(-x),即f(-x)= + ,對此稍加化簡就可以得出f(x)=f(-x)的結(jié)論,即f(x)在x≠0時是一個偶函數(shù)。又因為當x>0時,2x>1,即1-2x<0,所以f(x)= - <0,再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知,當x<0時,也有f(x)<0。所以,當x≠0時,f(x)<0,即原不等式 < 得證。這道題目雖然屬于不等式的知識范疇,但只利用不等式的相關(guān)知識并不能快速解題,我們需將題目轉(zhuǎn)化后得到一個新的函數(shù),在對函數(shù)進行分析并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)特點后,就能較輕松地解決問題了。

        在構(gòu)造函數(shù)過程中,最應(yīng)該注意的就是要有意識、有目的地構(gòu)造,切不可胡亂構(gòu)造,否則對解題是毫無益處的,這樣只會浪費時間,毫無成效。構(gòu)造函數(shù)要注意目的性,構(gòu)造完成后要明確如何利用相關(guān)性質(zhì)進行解題,以加快解題速度,提升解題效率。

        三、向量構(gòu)造,數(shù)形轉(zhuǎn)化

        平面向量是學生進入高中后接觸到的新知識,它也是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,在每年高考中都會有所體現(xiàn)。為了幫助學生取得佳績,教師要幫助學生理解向量的真正含義。其實,向量的應(yīng)用有很多,尤其在解決立體幾何相關(guān)問題中,很多題目如直接利用傳統(tǒng)方法是無法解決的,而利用向量法解題則會非常簡單,這都體現(xiàn)了向量的重要性。

        就向量本身的知識而言,它可以實現(xiàn)由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化,我們可以根據(jù)題意構(gòu)造出對解題有利的平面向量模型,使問題得以簡化,學生分析起來也會簡單得多。證明題在高考中出現(xiàn)的頻率越來越高,我以一道證明題為例,簡要介紹向量構(gòu)造法使用的妙處。求證:|a+b|-|a-b|≤2|b|。這道證明題形式雖然簡單,但難度卻很大,很多學生根本就不知道該如何下手。其實,這道題是需要構(gòu)造向量的, =(a-b,0), =(2b,0),則 + =(a+b,0),所以| |= =|a-b|,

        | |= =2b,再根據(jù)| + |= =|a+b|。我們再結(jié)合向量的基礎(chǔ)知識,| + |≤| |+| |,得出|a+b|≤|a-b|+|2b|,這樣原式得證。

        這道題同上一例題一樣,都是一道不等式證明題,但解決方法卻不一樣。前一題采用了構(gòu)造函數(shù)的方法,而這一道題則采用了構(gòu)造向量的方式,雖然構(gòu)造內(nèi)容不同,但終究都是構(gòu)造法,在構(gòu)造過程中的注意事項是相同的,都需要結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)來思考該向哪一個方向構(gòu)造,兩者構(gòu)造后所起到的作用也是相同的,都能使題目簡化,易于解決。通過這種方法解決不等式證明題,有利于開發(fā)學生的思維模式。

        四、模型構(gòu)造,解析定理

        高中數(shù)學中涉及很多數(shù)學模型,它們都是通過理論推導(dǎo)而得出的正確結(jié)論。其中很多模型的證明都能應(yīng)用到構(gòu)造法,正是由于構(gòu)造法的存在才使得模型得以應(yīng)用,為數(shù)學學習提供了較大便利。

        在高中數(shù)學學習中,大家最熟悉的模型就是判別式模型,在很多題目解答中都會運用到,這種方法不僅簡單快捷,而且學生也易于接受,是一種大眾化模型。例如,很多學生在學習過程中會遇到這樣的證明題目:已知,a1、a2、b1、b2是非零實數(shù),求證不等式:(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(a12+b12)(證明柯西不等式)。該不等式可以轉(zhuǎn)化為(a1b1+a2b2)2-(a12+a22)(a12+b12)≤0。仔細觀察式子,我們就可以發(fā)現(xiàn),左邊類似于判別式Δ=b2-4ac,基于這一發(fā)現(xiàn),我們可以構(gòu)造關(guān)于a的二次不等式(a1a+b1)2+(a2a+b2)2≥0恒成立,即(a12+a22)a2+2(a1b1+a2b2)a+b12+b22≥0恒成立,所以Δ≤0,即可以證明原不等式??挛鞑坏仁绞俏覀儧]有學過的知識,但卻可以利用已學知識來進行證明。在解決證明類題目時,我們不能一眼就看出解題方法,解題方法是在變換中一點一點被挖掘出來的。一開始我們并不能聯(lián)想到用判別式法來解題,但對不等式進行轉(zhuǎn)化后,方法就自然而然地迸發(fā)出來了,這是一種解題經(jīng)驗。當然,構(gòu)造法也在其中起到了關(guān)鍵性的作用,只有學生正確地構(gòu)造出有利于解題的二次不等式,才會輕松地解題。

        總之,利用構(gòu)造法解題會起到意想不到的效果,會將原本復(fù)雜的題目變得簡單,使疑難問題迎刃而解。利用構(gòu)造法解題,需要學生開動大腦、開放思維,多角度多渠道地展開聯(lián)想,只有想到相關(guān)知識,才能構(gòu)造出合適的形式,為解題提供幫助,從而獲得快捷有效的解題策略。構(gòu)造法解題可以培養(yǎng)學生思維的靈活性,讓學生從中感受到數(shù)學之美,體驗到解題之趣。

        參考文獻:

        [1]吳衛(wèi)東.數(shù)學思維在“碰壁”中“自然生長”[J].中學數(shù)學,2015(21).

        [2]李太敏.數(shù)學選擇題審題中的一些“熱點關(guān)注”[J].數(shù)學教學通訊,2007(24).

        [3]鄔仁勇,沈新權(quán).居高聲欲遠,更需借秋[J].中學數(shù)學研究,2015(11).

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