王海燕

摘 要：數(shù)學分析授課時，學生普遍覺得概念抽象難懂，證明過程抽象難以掌握。針對這一問題，教師有必要對學生的課前學習進行加強，利用信息化技術(shù)，借助微課翻轉(zhuǎn)對數(shù)學分析中定積分的概念進行教學設(shè)計，教學效果較好。

關(guān)鍵詞：微課翻轉(zhuǎn)；定積分；數(shù)學分析

中圖分類號：G434 文獻標識碼：A 文章編號：2095-9052（2020）05-0132-02

基金項目：2019年廣東省數(shù)學會教育科研項目“高職數(shù)學微課設(shè)計與實踐”（GDGZSX2019004）

數(shù)學分析是數(shù)學教育專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一。數(shù)學的許多新思想、新應用都源于這堅實的基礎(chǔ)，也是許多后續(xù)課程如概率論與數(shù)理統(tǒng)計、常微分方程、數(shù)學建模等課程必備的基礎(chǔ)。本課程旨在對學生進行系統(tǒng)而嚴格的近現(xiàn)代數(shù)學思想和方法的教育與訓練，提高學生思維能力，完善和發(fā)展學生數(shù)學思維及素養(yǎng)，使其在未來的中小學數(shù)學教學中能用發(fā)展的眼光處理教學內(nèi)容，深入淺出地開展教學活動。

微課翻轉(zhuǎn)課堂，不是簡單地將課堂教學任務都放在課前或者課外去完成，而是要根據(jù)學生特點和接受理解能力，選取適合他們的學習資源，制作課前的知識點微課，合理規(guī)劃和設(shè)計課堂的教學活動。

一、 教學內(nèi)容分析

（一）定積分概念的作用、地位

定積分的概念是數(shù)學分析中最主要的經(jīng)典理論之一，是學生進入積分學世界必須跨過的第一道門檻。它上承導數(shù)、不定積分，下啟重積分、曲面積分、曲線積分。因為定義的抽象性，初學的學生理解起來有一定的難度。

（二）定積分概念教學目標

知識目標：通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解定積分的分割、近似代替、求和、取極限實際背景及其思想方法，建構(gòu)定積分的認知基礎(chǔ)。

能力目標：通過學習，培養(yǎng)學生分析歸納、抽象概括以及聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力，養(yǎng)成從具體到抽象的思維方法。

思想目標：通過這部分內(nèi)容的教學，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力和辨證思維能力，并將其利用到實際生活中解決實際問題。通過學習，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。

（三）定積分概念教學重點、難點

本節(jié)課的教學重點是掌握定積分的分割、近似代替、求和和取極限四個步驟。根據(jù)前面的分析，確定本節(jié)課的教學難點是“無限逼近”思想的形成過程及理解。

二、教學設(shè)計策略

本節(jié)課屬于概念性教學。因為定義的抽象性，初學的學生理解起來有一定的難度[1]。在教學中，打破傳統(tǒng)的教學模式，積極將“翻轉(zhuǎn)課堂”理念融入傳統(tǒng)教學中，提高課堂的效率，增加師生的互動。采用任務驅(qū)動式教學法為主，以研究曲邊梯形的面積和汽車的行駛問題為導向，借助視頻、PPT和數(shù)學軟件，輔以講授法、問題導向法、討論法等教學方法，完成定積分概念的體驗、提煉、形成、鞏固和應用，促進學生對概念本質(zhì)的認識和思想方法的感悟。

三、教學過程設(shè)計

教學過程按課前準備、課堂實施、課后提升三大環(huán)節(jié)來展開。

（一）課前準備

第一步教師發(fā)布課前學習資源，學生進行在線學習；第二步進行任務布置，學生完成任務；第三步教師與學生進行在線交流與討論。教師收集學生在課前學習中遇到的疑難問題。在本節(jié)課的課前準備階段，學生需要學習定積分的相關(guān)背景資料，觀看中國古代劉徽的割圓術(shù)。用幾何畫板展示割圓術(shù)，學生直觀感受到“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學思想，了解中國古代數(shù)學家的成就，進行數(shù)學史的素質(zhì)教育。學生對教師提出的課前任務線上討論。教師對討論過程進行指導。對表現(xiàn)較好的同學，在藍墨云班課中給予分值獎勵。課前準備階段的學習和師生互動，打破時空限制，既增加了課堂容量，又提高了學習效率。

（二）課堂實施

在課堂實施這一環(huán)節(jié)中，教師通過兩個引例來完成定積分的概念教學，重點解決求曲邊梯形的面積。按課前回顧、情景引入、分組合作、動畫演示、歸納總結(jié)、展示交流、課堂小結(jié)這七個環(huán)節(jié)進行展開。

1.課前回顧

教師先進行課前回顧，在較短的時間內(nèi)讓學生回憶已經(jīng)自學過的內(nèi)容。學生代表上臺介紹數(shù)學家劉徽，教師對學生的表述中不準確的部分給予糾正，并給出割圓術(shù)的準確解說。這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，可以鍛煉學生的數(shù)學語言表達和概括能力，也讓學生較快地融入課堂氛圍中。

2.情景引入

在以現(xiàn)實中圓的煙囪是由直邊的磚砌成作為情景引入，讓學生體會局部以直代曲的思想，也是課前觀看“割圓術(shù)”方法的現(xiàn)實體會。教師進一步提問：“生活中，有許多不規(guī)則的圖形，比如湖泊、土地等（圖1）。我們使用專業(yè)的測量儀器繪測出某個湖泊的地貌圖，該如何計算它的占地面積呢？”學生提出可以采用數(shù)方格的辦法，問題最終歸結(jié)為求曲邊梯形的面積。

探究2：能否直接對整條曲邊進行“以直代曲”呢？為什么？

探究3：怎樣分割？分成怎樣的形狀？分割成多少個？

探究4：對每個小曲邊梯形如何“以直代曲”？（近似代替）

探究5：如何從面積的近似值求出曲邊梯形的面積？ （取極限）

在與各小組交流中發(fā)現(xiàn)，學生普遍能發(fā)現(xiàn)直接對整條曲邊進行“以直代曲”，得到的曲邊梯形面積誤差太大。但小曲邊梯形如何“以直代曲”？各小組給出不同的方案。有的用三角形替換梯形，有的用小矩形面積近似代替小曲邊梯形。教師在肯定學生的方案的同時，對比方案的合理性。

4.動畫演示

對比以上的方案，學生確定以小矩形替代小曲邊梯形，求出曲邊梯形面積的近似值。但如何求出曲邊梯形面積的精確值呢？這是學生比較難理解的。針對學生這一疑點，教師現(xiàn)場用幾何畫板展示曲邊梯形的分割，顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。當分割越細時，面積的誤差越小，自然考慮到取極限而達到面積的準確值。學生體會局部以直代曲，由量變到質(zhì)變的“極限思想”，完成教學難點的突破。

5.歸納總結(jié)

通過討論、觀看動畫，師生共同歸納出求一般曲邊梯形面積的步驟和方法。引導學生用數(shù)學的式子表示這幾個步驟。教師在黑板給出精確的數(shù)學表達式。突出強調(diào)結(jié)果是“乘積和式，取極限”。再引導學生通過類比方法，研究變速直線運動下汽車行駛的路程問題。通過這兩個案例，拋開問題的實際背景，建立數(shù)學模型，進行共性的歸納，水到渠成形成定積分概念。

6.展示交流

在學生深度理解了定積分的概念后，教師布置課堂作業(yè)，學生在課堂進行展示交流。展示交流是為了分享，也讓學生通過展示、講解使知識和技能得到進一步內(nèi)化與提高。在交流中，教師也能及時了解學生對概念的掌握情況，對各小組進行指導性評價。在掌握了定積分概念的基礎(chǔ)上，還可以用數(shù)學軟件mathmatics計算復雜的定積分，這對學生今后解決專業(yè)學習中遇到復雜問題的計算很有幫助。

7.課堂小結(jié)

課堂小結(jié)是教師再一次幫助學生梳理本次課程的知識點以及重難點，引導學生積極進行課外學習。

（三）課后提升

課堂知識完成后，教師布置課后任務，引導學生再次進行概念的學習和應用，學生課后得到進一步提升。學生提交作業(yè)，教師進行評價。在藍墨云中導出班級的匯總數(shù)據(jù)進行分析。對總分較低或者學有余力的學生進行個別輔導。

課后任務1：求直線x=0，x=2，y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積。

課后任務2： 課后探究：梯形法，求曲邊梯形的面積。

課后任務3： 研究性課題：利用所學知識，計算學校塑膠操場的面積。

四、教學效果

第一，教學設(shè)計中實現(xiàn)課堂的翻轉(zhuǎn)教學。使線上和線下學習相結(jié)合，課前和課后學習相結(jié)合。

第二，微課視頻、動畫、數(shù)學軟件的使用幫助學生直觀化地擺脫了數(shù)學課堂無趣的教學模式，提高學生的學習興趣。

在傳統(tǒng)教學中，單純知識講授，學生感覺數(shù)學學習枯燥，抽象難懂，學習比較困難，難以掌握數(shù)學概念和方法，容易對數(shù)學學習失去興趣。翻轉(zhuǎn)課堂的合理融入使得數(shù)學課堂變得有趣，內(nèi)容形象，學生學習興趣提高。信息化教學已成為現(xiàn)代教育發(fā)展必然趨勢[2]，教學效果較好。但翻轉(zhuǎn)課堂需要教師具備較高的業(yè)務水平，對教師提出極大的挑戰(zhàn)。

參考文獻：

[1]劉招.翻轉(zhuǎn)課堂在“數(shù)學分析”課堂教學中的研究[J].求知導刊，2017（11）：78-79.

[2]王雅萍.高職數(shù)學信息化教學探索——以定積分的概念為例[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學院學報，2017（5）：41-43.

（責任編輯：林麗華）