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摘 要：數(shù)學(xué)是建立在嚴(yán)密的邏輯思維基礎(chǔ)上的思想大廈，然而，非邏輯思維也常常在思維引路或者拓廣方面具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。結(jié)合一道分式方程的直覺(jué)解法，通過(guò)發(fā)散思維拓廣其變式應(yīng)用，有助于學(xué)生開(kāi)拓思維，舉一反三地培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維模式。同時(shí)，非邏輯思維的引入，也讓學(xué)生看到解決問(wèn)題的方法并非只有一種，從而養(yǎng)成多角度思考的好習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：分式方程;直覺(jué)思維;發(fā)散思維

數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和邏輯性是眾所周知的，但數(shù)學(xué)也有其非邏輯的思考起點(diǎn)，如直覺(jué)、猜想、思維模擬實(shí)驗(yàn)等都是建立在非邏輯的靈感思維基礎(chǔ)上。結(jié)合分式方程的復(fù)習(xí)，引發(fā)對(duì)直覺(jué)思維、發(fā)散思維、構(gòu)造思維、整體思維等非邏輯思維的思考，感悟非邏輯思維的價(jià)值。進(jìn)而通過(guò)邏輯思維與非邏輯思維相結(jié)合，讓思維在發(fā)散中產(chǎn)生更多的靈感與思路。

一、緣起于一道分式方程的多種解法

在九年級(jí)的復(fù)習(xí)課上，復(fù)習(xí)分式方程的解法并讓同學(xué)們做題：

解方程

下面是四位同學(xué)的四種不同的解法：

甲：“我用去分母的方法。用分式的最簡(jiǎn)公分母2x（x-1）去乘以方程的兩邊，約去分母，化為整式方程求解。”

乙：“我用的是通分法。由于這道題左邊有分式，右邊沒(méi)有出現(xiàn)分式，所以我就考慮先左邊進(jìn)行通分運(yùn)算，再由比例的基本性質(zhì)得出結(jié)果。”

丙：“我注意到方程中與為倒數(shù)關(guān)系，所以想到換元法?？稍O(shè)其中一個(gè)為，原方程即可轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后再進(jìn)一步求解?！?/p>

?。骸拔沂怯酶c系數(shù)的關(guān)系解的。方程中與為例數(shù)關(guān)系，所以這兩個(gè)分式的積為常數(shù)1，而方程本身告訴我們和為常數(shù)，故可用根與系數(shù)關(guān)系求解?！?/p>

筆者肯定了四位同學(xué)的解法，并表?yè)P(yáng)了第四種解法更具有特色，體現(xiàn)了靈活運(yùn)用知識(shí)間聯(lián)系解題的精神。

這時(shí)，一直沉默不語(yǔ)的數(shù)學(xué)科代表余菲要求發(fā)言了。

他說(shuō)：“張老師，我發(fā)現(xiàn)，我用猜測(cè)的方法也一樣可以得出方程的兩個(gè)解為x1=2，x2=-1?！?/p>

筆者和同學(xué)們都驚訝的看著他。

她說(shuō)，從丙的解法得到啟發(fā)，由原方程可得。從而或。所以我把x=2代入，發(fā)現(xiàn)，因此x=2是原方程的解。再一想，另一解應(yīng)從來(lái)看，我又把x=-1代入，發(fā)現(xiàn)恰好滿足。所以x=-1也是原方程的解。

我和其他同學(xué)都被余菲同學(xué)的直覺(jué)思維所折服。同時(shí)，也深深的為同學(xué)們多姿多彩的個(gè)性化思考所折服。特別是通過(guò)這節(jié)課，我們可以感受到學(xué)生的心智能力是有差異的。雖然每位同學(xué)都得出了相同的答案，但我們數(shù)學(xué)決不僅僅是為了求得一個(gè)答案。余菲同學(xué)用直覺(jué)的方式得出解答的過(guò)程讓我感到有必要對(duì)這道題進(jìn)行原型追蹤并進(jìn)行推廣，從而可以實(shí)現(xiàn)“直覺(jué)思維引路，發(fā)散思維開(kāi)疆拓土”的目的。

二、原型追蹤——直覺(jué)思維引路

在一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，經(jīng)常有這樣的填空題：

已知，則x=

思維靈活的學(xué)生并不去解這個(gè)分式方程，而是把原方程改寫(xiě)成

或。從而，迅速地寫(xiě)出答案8或。

類似地，，則a=5或;則b=10或;……;不一而足。

通常，我們有（c為常數(shù)），則方程的根為c或，因此，方程通常稱為倒根方程。

將此方程及其根加以推廣，則有方程的根為c或。

三、原型拓廣——發(fā)散思維開(kāi)疆拓土

將以上兩個(gè)結(jié)論有意識(shí)地應(yīng)用于解一些方程或方程組，對(duì)于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性等頗有好處。下面，筆者對(duì)倒根方程的應(yīng)用進(jìn)行推廣，主要是想方設(shè)法構(gòu)造出倒根方程。

1.解型的方程。

例1：解關(guān)于x的方程（提示：方程的兩邊同時(shí)減去1）

2.解型方程

例2：解方程（把8拆分為或者）

3.解型方程

例3：解方程（提示：方程兩邊同時(shí)除以，然后方程兩邊同時(shí)加上2，把2看作1+1）

4.解、、、等類型方程組。主要方法也是想方設(shè)法構(gòu)造倒根方程。

以上，我們看到了數(shù)學(xué)的一個(gè)小小的結(jié)論是極富推廣性的。而這個(gè)小小的結(jié)論是可以直覺(jué)得出結(jié)果的。因此，直覺(jué)思維常常是一個(gè)引子，是一個(gè)思維展開(kāi)的突破口。當(dāng)然，其應(yīng)用又與巧妙的構(gòu)造分不開(kāi)。通過(guò)此題的思維發(fā)散，拓廣演變，學(xué)生不僅欣賞到了數(shù)學(xué)的精巧，而且體會(huì)到了直覺(jué)思維和發(fā)散思維結(jié)合的價(jià)值，使其在思維領(lǐng)域內(nèi)不斷開(kāi)疆拓土，體現(xiàn)其豐富的拓展性。為今后，特別是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。當(dāng)然由于考慮問(wèn)題的角度不同，思考的方向不一，每道題都有很多不同的解法。反過(guò)來(lái)，每一個(gè)簡(jiǎn)單的原理與結(jié)論也可以運(yùn)用于很多種情況中?！斑\(yùn)用之妙，在乎其人”。我們一定要努力開(kāi)拓思路，捕捉靈感，在直覺(jué)思維的引導(dǎo)下有所發(fā)現(xiàn)，在發(fā)散思維的過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力達(dá)到一個(gè)新的境界。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉兵.一道分式方程增根的溯源及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（17）：136.

[2] 陳利全.分式方程首課時(shí)教學(xué)如何設(shè)計(jì)[J].課程教育研究，2016（06）：161-162.

[3] 劉斌.一道分式方程的多種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1997（03）：37-38.