李秀元

摘?要：數(shù)學(xué)解題注重模式.研究解題模式，不僅對(duì)理解題意有幫助，而且可以降低解題難度，提高解題速度和準(zhǔn)確度.

關(guān)鍵詞：比較研究;解題模式;教學(xué)效能

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0071-03

數(shù)學(xué)是一門尋求“完美”模式的學(xué)問.數(shù)學(xué)解題一般都是有模式的.研究解題模式，熟練運(yùn)用模式解題，對(duì)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的現(xiàn)實(shí)意義是積極的.而且，研究解題模式，對(duì)于理解不同題目的關(guān)系，快速解題也是非常有好處的.下面基于不等式問題，舉例說明統(tǒng)一求解模式在不同題目中的應(yīng)用，借此彰顯統(tǒng)一解題模式的積極意義.

一、統(tǒng)一模式，加深對(duì)問題的理解

例1（1）若1<a<3，-4<b<2，則a2-b的取值范圍是;

（2）已知-1<a+b<3，2<a-b<4，則2a+3b的取值范圍是.

分析?對(duì)于問題（1），由于a，b單獨(dú)變化，互不影響，可直接利用不等式的性質(zhì)求解.求解問題（2）時(shí)，學(xué)生往往受問題（1）的影響，總是先求a，b的取值范圍，再求2a+3b的范圍.事實(shí)上，a和b在變化過程中是相互制約的，因此不能單獨(dú)確定a和b各自的取值范圍.如果對(duì)a+b和a-b分別換元后，則問題（2）可以回歸到問題（1）的模式.

解?（1）由1<a<3，得12<a2<32;由-4<b<2，得-2<-b<4.兩式相加得-32<a2-b<112.

（2）令a+b=t，a-b=s，則a=t+s2，b=t-s2，且2a+3b=52t-12s.

于是原問題可轉(zhuǎn)化為：已知-1<t<3，2<s<4，求52t-12s的取值范圍.這樣，就變成問題（1）了.

根據(jù)不等式的性質(zhì)可得-92<52t-12s<132，從而2a+3b的取值范圍是（-92，132）.

評(píng)析?問題（2）是學(xué)生最易出錯(cuò)的一道題，人教A版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書必修5，用一個(gè)“閱讀與思考”來解釋，為什么正確應(yīng)用不等式性質(zhì)的求解，結(jié)果卻是多樣的、錯(cuò)誤的.應(yīng)用模式化方法，使新問題回歸到已有模型，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，求解不會(huì)出現(xiàn)偏差，也根本不需要任何解釋.轉(zhuǎn)化為問題（1）的模型，本質(zhì)上是用a+b和a-b這兩個(gè)整體變量來表示2a+3b，不破壞單獨(dú)變量a和b之間的依賴性，然后借助不等式的性質(zhì)，確定其取值范圍.

二、統(tǒng)一模式，提高解題速度

例2?（1）已知f（x）=（ax-1）（x+b），如果fx>0的解集為（-1，3），求f-2x+3<0的解集;

（2）若不等式ax2+bx+c>0的解集為x|-1<x<2，求不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集.

分析?對(duì)于問題（1），一般先根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)，和不等式解的形式，確定函數(shù)類型，求出參數(shù)a和b的值，進(jìn)而解一個(gè)基于f（x）的更復(fù)雜不等式.但這樣求解無視結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，毫無靈性，無法提高解題的速度和準(zhǔn)確度.

解?（1）方法1：由已知得a<0.又-1和3是方程ax-1x+b=0的兩根，故1a=-1，-b=3，即a=-1，b=-3.此時(shí)fx=（-x-1）（x-3），不等式

f-2x+3<0可化為-2x+3-1-2x+3-3<0，解得x<12，或x>2.所以f-2x+3<0的解集為x|x<12，或x>2.

方法2：由已知得a<0（其實(shí)已經(jīng)沒必要了），令t=-2x+3，則ft<0的解集為t|t<-1，或t>2.

因此，-2x+3<-1或-2x+3>2，解得x<12，或x>2.

從而f-2x+3<0的解集為x|x<12，或x>2.

（2）方法1：依題意，-1和2為方程ax2+bx+c=0的兩根，故ba=-1，ca=-2，且a<0.

不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax可化為x2+ba-2x+1+ca-ba<0，即x2-3x<0，解得0<x<3.

所以不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集為（0，3）.

方法2：不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax可化為a（x-1）2+bx-1+c>0，由題意知-1<x-1<2，所以0<x<3.

因此，不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集為（0，3）.

評(píng)析?這兩個(gè)不等式的求解，并不是多么困難，甚至可以說是簡(jiǎn)單的，基于一般化思想未嘗不可，但如果關(guān)注到不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則為快速而準(zhǔn)確解題，提供了必要條件，這也許就是模式化的極大好處.

三、統(tǒng)一模式，降低解題難度

例3?（1）已知x，y均為正數(shù)，且滿足1x+12y=1，求x+4y的最小值;

（2）已知a，b為正數(shù)，且a+b=1，求4a+9b的最小值.

分析一?這是等式條件下利用均值不等式求最值的典型試題.問題（1）條件形式復(fù)雜，目標(biāo)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單容易操作，既可以利用消元法，又可以利用“1”的代換.問題（2）則是條件簡(jiǎn)單，目標(biāo)復(fù)雜，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜構(gòu)造難.在解題技巧上可以利用“1”的代換，如果用消元法，則目標(biāo)式會(huì)越來越復(fù)雜，除了借助特殊不等式，似乎沒有更好的辦法.若能把問題（2）轉(zhuǎn)化為問題（1）的形式，則兩者的求解就統(tǒng)一了.

解?（1）方法1：消元法.

由1x+12y=1，得12y=1-1x=x-1x，即2y=xx-1，因?yàn)閥>0，所以x>1.

x+4y=x+2xx-1=（x-1）+2x-1+3≥3+22，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=2，即x=2+1時(shí)等號(hào)成立.

故x+4y的最小值為3+22.

方法2：“1”的代換.

x+4y=（x+4y）（1x+12y）=3+4yx+x2y≥3+22，當(dāng)且僅當(dāng)x=22y，1x+12y=1，即x=2+1，y=2+24時(shí)等號(hào)成立.

（2）方法1：“1”的代換.

4a+9b=（4a+9b）（a+b）=13+4ba+9ab≥13+236=25，當(dāng)且僅當(dāng)2b=3a，即a=25，b=35時(shí)取等號(hào).

方法2：消元后利用特殊不等式.

為了說明問題，我們先證明下面的不等式：

已知a，b，x，y為正數(shù)，則a2x+b2y≥（a+b）2x+y，當(dāng)且僅當(dāng)ax=by時(shí)等號(hào)成立.

證明?因?yàn)閍，b，x，y為正數(shù)，

所以（a2x+b2y）（x+y）=a2+b2+a2yx+b2xy≥a2+b2+2ab=（a+b）2，當(dāng)且僅當(dāng)ax=by時(shí)等號(hào)成立.

因此，a2x+b2y≥（a+b）2x+y，當(dāng)且僅當(dāng)ax=by時(shí)等號(hào)成立.

再看問題的解.

解?由a+b=1得b=1-a，則4a+9b=4a+91-a≥（2+3）2a+（1-a）=25，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=1，2a=31-a，即a=25，b=35時(shí)等號(hào)成立.

方法3：換元法.

令4a=t，9b=s，則a=4t，b=9s.

于是題目轉(zhuǎn)化為：已知正數(shù)s，t滿足4t+9s=1，求t+s的最小值.應(yīng)用問題（1）的求解方法，可得t+s的最小值為25，即x+4y的最小值為25，當(dāng)且僅當(dāng)a=4t，b=9s時(shí)等號(hào)成立.

評(píng)析?特殊不等式的證明思路，正是源于問題（1）的求解方法2.問題（2）的方法1用技巧取勝，不太符合新高考命題理念，方法2以特殊不等式為背景，看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上增加了識(shí)記要求，如能抓住問題的本質(zhì)，即“1”的代換，不用特殊不等式也是可行的.此時(shí)所謂“1”的代換，已經(jīng)不僅僅限于和為1，只要和為正常數(shù)，都是可以的.對(duì)條件和目標(biāo)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換，則問題（2）回歸到問題（1）的形式，難度自然降低.

分析二?換個(gè)角度看問題（1）.一般地，應(yīng)用均值不等式求最值，結(jié)構(gòu)上往往具有“給和求積”，“給積求和”的特點(diǎn).如果能將 “分式和結(jié)構(gòu)”的等式條件，變換成“整式積”的形式，那么，試題也就能回歸到更一般的解題模式上了.

解?由1x+12y=1，得x>1，y>12，且x+2y=2xy，對(duì)等式進(jìn)行因式分解，得（x-1）（2y-1）=1，進(jìn)一步，我們有（x-1）（4y-2）=2.

所以，x+4y-3=（x-1）+（4y-2）≥2（x-1）（4y-2）=22，當(dāng)x-1=4y-2時(shí)等號(hào)成立.

因此，x+4y的最小值為3+22.

評(píng)析?相對(duì)于分析一的特殊解法，對(duì)于“給分式和求整式和”問題，將分式型等式條件化為整式等式條件，只需要進(jìn)行一次因式分解，湊一湊就行了，因式的構(gòu)成完全依賴于目標(biāo)的線性結(jié)構(gòu)，無論系數(shù)與等式是否一致，都是可以的.這樣解題難度似乎又降低了不少.

不同知識(shí)點(diǎn)的試題，往往具有各自獨(dú)立而特別的解題模式，如數(shù)列問題的構(gòu)造模式，三角函數(shù)問題中的變角模式，解析幾何問題的運(yùn)算模式，等等.研究模式，洞悉模式，進(jìn)而利用模式，為快速解題創(chuàng)造得分條件，正是試題研究的方向之一，值得擁有.

參考文獻(xiàn)：

[1]Keith Devlin.數(shù)學(xué)的語言[M].南寧：廣西師范大學(xué)出版社，2013.

[責(zé)任編輯：李?璟]