鄭良

摘?要：給出三道平面向量試題一題多解，示范探尋解題的切入點(diǎn)，給出解法的合理性分析，比較解法的差異.

關(guān)鍵詞：平面向量;一題多解;數(shù)形結(jié)合;理性思維

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0038-03

解題時(shí)，若審題不夠深入，只看到問(wèn)題的表面現(xiàn)象，就會(huì)出現(xiàn)用運(yùn)算代替思維（低效）甚至問(wèn)題不可解（無(wú)效）的情況.這就提示我們要積累必要的知識(shí)、思想、方法（模型），通過(guò)審題，將攝入的信息經(jīng)過(guò)梳理、比對(duì)、分解、調(diào)整、加工、整合的過(guò)程，思維貫通后以合理的形式輸出.

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)之一.平面向量兼顧“數(shù)”與“形”的兩重性，形成了其獨(dú)特的知識(shí)體系與思想方法體系.平面向量往往與三角、解析幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯，從而呈現(xiàn)出表示方法多、聯(lián)系知識(shí)廣、解題思路靈活等特征.學(xué)生在解題時(shí)常常會(huì)遭遇困惑：是從形的角度還是從數(shù)的角度入手較好？ 如何找到比較簡(jiǎn)捷的方法等等.本文通過(guò)對(duì)三道平面向量試題的一題多解，示范探尋解題的切入點(diǎn)，給出解法的合理性分析，比較解法的差異，期待能對(duì)大家的解題分析能力的提高及理性思維的提升有所幫助.為節(jié)省篇幅，本文以解答和點(diǎn)評(píng)的形式給出.

例1?已知平面向量a=1，2，b=4，2，c=ma+b（m∈R），且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m=.

解法1?由題意，得c=m+4，2m+2，a=5，b=25.

設(shè)c與a的夾角為α，c與b的夾角為β，那么有cosα=c·aca，cosβ=c·bcb.

由題意c·aca=c·bc·b，

得c·aa=c·bb，即5m+85=8m+2025.

解得m=2.

解法2?由題意，得a=5，b=25，因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角，所

以c=ma+b=λaa+bb=5λa5+5λb10.由平面向量基本定理，可得m=5λ5，5λ10=1，得λ=25，m=2.

解法3如圖1，作OA=a，OB=b，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥OA，過(guò)點(diǎn)O作∠AOB的平分線交直線l于點(diǎn)C，則

OC即為滿足條件的c.因?yàn)镺C平分∠AOB，所以有

∠AOC=∠BOC.因?yàn)閘∥OA，所以∠AOC=∠OCB，所以∠BOC=∠OCB，得△BOC為等腰三角形.因?yàn)閎=25，所以BC=25，所以m=2.

解法4?由題意，c=m+4，2m+2，a=5，b=25.

作OA=a，OB=b，連接AB，AB=3，作∠AOB的平分線交AB于點(diǎn)P，如圖1所示.由三角形角平分線定理，得OAOB=APPB=12，所以P（2，2），故向量OP=（2，2），故OP與c共線，由22m+2-2m+4=0，得m=2.

點(diǎn)評(píng)向量的夾角是一個(gè)幾何圖形，它的大小的取值范圍是[0，π].根據(jù)余弦函數(shù)y=cosx在[0，π]上的單調(diào)性，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，可利用cosθ（θ為兩個(gè)向量的夾角）來(lái)刻畫.解法1正是這種思想方法的體現(xiàn)，向量夾角的余弦表示為分式，若兩個(gè)的模運(yùn)算倍數(shù)關(guān)系不特殊，運(yùn)算量會(huì)加大;解法2根據(jù)“菱形的對(duì)角線平分一組內(nèi)角 ”構(gòu)造單位向量的加法，并利用向量共線定理與平面向量基本定理求解;解法3從幾何角度作出c，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，其中解法2與解法3都是基于向量加法的幾何意義;解法4聯(lián)想三角形的角平分線，通過(guò)點(diǎn)P確定向量OP，利用OP與c共線求解.本題也可先確定△ABC的內(nèi)心I，再利用OI與c共線，即“c與a的夾角等于c與b的夾角”確定向量c的方向，再利用“c=ma+b”（b的系數(shù)為常數(shù)）確定相對(duì)位置（實(shí)數(shù)m）的值.總體來(lái)說(shuō)，解法2與解法3較好.

例2若向量a=k，3，b=1，4，c=2，1，已知2a-3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是.

解法1?因?yàn)?a-3b與c的夾角為鈍角，又2a-3b=2k-3，-6，c=2，1，所以

2k-3×2-6×1<0，2k-3×1--6×2≠0，

所以k<3且k≠-92.

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是-SymboleB@

，-92∪-92，3.

解法2?2a-3b=2k-3，-6，c=2，1，記2a-3b與c的夾角為θ，故

cosθ=2a-3b·c2a-3bc=4k-125×（2k-3）2+36.

由題意θ為鈍角，所以cosθ∈-1，0，

由cosθ<0，得k<3.①

由cosθ>0，得4k-125×（2k-3）2+36>-1，

即12-4k<5×（2k-3）2+36.

在①的前提下兩邊平方整理得4k2+36k+81>0，即2k+92>0，得

k≠-92.②

綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-SymboleB@

，-92∪-92，3.

點(diǎn)評(píng)?如何用數(shù)來(lái)刻畫鈍角？可用cosθ∈-1，0，其中θ為兩個(gè)向量的夾角，由于cosθ需要用分式表示，使得不等式“cosθ>-1”的求解相對(duì)麻煩.考慮余弦函數(shù)的有界性，只需在cosθ<0的基礎(chǔ)上去掉“cosθ=-1”，而“cosθ=-1”等價(jià)于兩個(gè)向量方向相反，而兩個(gè)向量方向相反是兩個(gè)向量共線的一種情況，對(duì)于兩個(gè)向量的共線關(guān)系可用向量共線定理來(lái)解決，通過(guò)差集就可以把該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整式運(yùn)算.這就是解法1優(yōu)于解法2的原因.歸納一下兩個(gè)向量的夾角為銳角或鈍角的求解方式：①a與b的夾角為銳角a·b>0且a與b不共線;②a與b的夾角為鈍角a·b<0且a與b不共線.

例3?設(shè)a，b，c是單位向量，且a·b=0，則a-c·b-c的最小值為（）.

A.-2B.2-2C.-1D.1-2

解法1?因?yàn)閍，b是單位向量，且a·b=0，在平面直角坐標(biāo)系中取a=1，0，b=0，1，又c是單位向量，設(shè)c=cosθ，sinθ，θ∈0，2π.

a-c=1-cosθ，-sinθ，

b-c=-cosθ，1-sinθ，

a-cb-c

=1-cosθ，-sinθ·-cosθ，1-sinθ

=-cosθ1-cosθ-sinθ1-sinθ

=1-sinθ+cosθ=1-2sinθ+π4.

由θ+π4∈π4，9π4，當(dāng)θ+π4=π2，即θ=π4時(shí)，a-cb-c取得最小值為1-2.

解法2?由題意a+b=a+b2=a2+b2+2a·b=2.

a-c·b-c=c2-a+b·c+a·b=1-a+b·c=1-a+bccos〈a+b，c〉=1-2cos〈a+b，c〉≥1-2，當(dāng)且僅當(dāng)cos〈a+b，c〉=1，即a+b與c同向時(shí)等號(hào)成立.

所以a-cb-c的最小值為1-2.

解法3?因?yàn)閍，b是單位向量，且a·b=0，在平面直角坐標(biāo)系中取a=OA=1，0，b=OB=0，1，c=OC，又c

是單位向量，所以點(diǎn)C在單位圓O上，如圖2所示，取AB的中點(diǎn)為M，則a-c=OA-OC=CA，b-c=OB-OC=CB，所以a-c·b-c=CA·CB=14[CA+CB2-CA-CB2]=142CM2-BA2=CM2-12.

延長(zhǎng)OM交圓O于點(diǎn)P，點(diǎn)Q是圓O上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，

則有QM>OQ-OM=OP-OM=MP，即當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，CM最小，此時(shí)CM=MP=1-22，CM2-12=1-2，所以a-c·b-c的最小值為1-2.

點(diǎn)評(píng)?如何求一個(gè)研究對(duì)象的最值或取值范圍，一般可建立該對(duì)象關(guān)于某自變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.對(duì)于多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，盡可能將部分點(diǎn)相對(duì)固定或轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)化歸.解法1將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為角θ的函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性可求出其最小值（及取值范圍）.這樣設(shè)元的好處為通過(guò)一個(gè)變量將c的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，若設(shè)c=x，y，得到a-c·b-c=1-x+y，再根據(jù)x2+y2=1，利用x2+y2≥x+y22求解;解法2將目標(biāo)式展開后重新整合，構(gòu)建關(guān)于角〈a+b，c〉的余弦型函數(shù);解法3通過(guò)向量的極化公式（a·b=14a+b2-a-b2），已靜制動(dòng)（原目標(biāo)函數(shù)中向量a-c，b-c都在變化，而轉(zhuǎn)化后只有CM在變化）.如何求CM2的最小值呢？不能僅靠直覺，必須推理論證.方法很多，如（1）設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化到解法1;（2）CM2=OM-OC2=OM2+OC2-2OM·OC=32-2cos∠MOC，可知當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，CM2最小;（3）可通過(guò)判斷（以點(diǎn)M為圓心，以MP為半徑的）圓M與圓O具有內(nèi)切關(guān)系來(lái)說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，CM2最小等.而解法3運(yùn)用“三角形中，兩邊之差小于第三邊”，從幾何角度切入，頗具新意.以上三種方法均為通性通法，此處解法2更加簡(jiǎn)捷.

參考文獻(xiàn)：

[1]田祖榮.例談高考向量試題的解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（23）：80-81.

[責(zé)任編輯：李?璟]