曾敏

摘?要：立體幾何在高中數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，很多立體幾何問(wèn)題較為抽象，不易理解，給很多學(xué)生學(xué)習(xí)造成了困擾.立體模型的構(gòu)建將抽象的立體圖形變得更加具體形象，拓展學(xué)生的空間想象，提高解題能力.

關(guān)鍵詞：模型構(gòu)建;空間想象;解題能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0045-02

模型構(gòu)建的本質(zhì)是根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，提升空間想象能力.常見(jiàn)的立體幾何模型有長(zhǎng)方體（正方體）模型、圓錐模型、球模型、圓柱模型等.用構(gòu)建模型的方式來(lái)看待立幾問(wèn)題，總結(jié)典型的立體模型，有助于提高解題能力.

一、長(zhǎng)方體（正方體）模型

類(lèi)型1?“三視圖”中的應(yīng)用

例1?某幾何體的三視圖如圖1所示，三個(gè)視圖中的正方形的邊長(zhǎng)均為6，俯視圖中的兩條曲線(xiàn)均為圓弧，則該幾何體的體積為.

解析?幾何體如圖2，是一個(gè)正方體中挖去兩個(gè)相同的幾何體（它是14個(gè)圓錐），故體積為

63-2×14×13×π×32×6=216-9π.

模型反思?大部分幾何體可通過(guò)對(duì)正方體或長(zhǎng)方體分割得到，所以將三視圖問(wèn)題放在正方體或長(zhǎng)方體模型中研究，能夠快速得到直觀圖.

類(lèi)型2?“補(bǔ)形”中的應(yīng)用

例2?已知四面體P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=25，PB⊥平面PAC，則四面體P-ABC外接球的表面積為.

解析?依題可知PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC.

又∵PB⊥平面PAC，∴以PA，PC，PB為長(zhǎng)、寬、高，作長(zhǎng)方體如圖3所示.

則該長(zhǎng)方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球，

∴長(zhǎng)方體外接球的直徑2R=42+42+22=6，得R=3.∴S=36π.

模型反思?觀察條件與模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用補(bǔ)形的思想可巧妙構(gòu)造長(zhǎng)方體（正方體）模型.如：①三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，等效于一個(gè)“墻角”，可將“墻角”補(bǔ)形構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體;②三棱錐的三組對(duì)棱分別相等，等效于一個(gè)長(zhǎng)方體的三條面對(duì)角線(xiàn)，可將三棱錐補(bǔ)形構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體;③正四面體補(bǔ)形構(gòu)造正方體.

二、圓錐模型

例3?已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，將△ABD沿矩形的對(duì)角線(xiàn)BD所在的直線(xiàn)進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，則（）.

A.當(dāng)x=1時(shí)，存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

B.當(dāng)x=2時(shí)，存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

C.當(dāng)x=4時(shí)，存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

D.x>0時(shí)，都不存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

解析?在翻折過(guò)程中，AB形成以BD所在直線(xiàn)為軸的圓錐側(cè)面，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，翻折過(guò)程中的垂直可轉(zhuǎn)化為AB能與圓錐的一條母線(xiàn)垂直，結(jié)合模型知，最大張角是∠ABE，從而得∠ABE≥90°.即 ∠ABD≥45°.

∴tan∠ABD=x2≥1，∴x

≥2.故選擇C.

模型反思?翻折問(wèn)題中，抓住共面的線(xiàn)性角不變的性質(zhì)構(gòu)建圓錐模型，借助模型量化計(jì)算，培養(yǎng)抽象思維與直觀想象.

三、球模型

例4?已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，空間一點(diǎn)M，滿(mǎn)足PM⊥MC，則點(diǎn)M在底面ABCD上的軌跡是（）.

A.圓的一部分?B. 橢圓的一部分

C. 雙曲線(xiàn)的一部分D. 拋物線(xiàn)的一部分

解析?如圖5，空間一點(diǎn)M，滿(mǎn)足PM⊥MC，則點(diǎn)M在以PC為直徑的球面上.

又因?yàn)辄c(diǎn)M在底面ABCD上，所以點(diǎn)M的軌跡是球面與底面ABCD的公共部分，即交集為圓.故選A.

模型反思?抓牢動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合球的結(jié)構(gòu)特征（動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定值）.

四、圓柱模型

例5?如圖6，AB是平面α的斜線(xiàn)段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）.

A.圓

B.橢圓

C.一條直線(xiàn)

D.兩條平行直線(xiàn)

解析由已知可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡在圓柱面上.由于AB是平面α的斜線(xiàn)段，所以平面α斜截圓柱面，得到的截面圖形為橢圓.選B.

模型反思?抓住動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合圓柱的結(jié)構(gòu)特征（動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離為定值）.

在探索立體幾何的問(wèn)題中，巧構(gòu)立體模型，不但可以提升學(xué)生的思維起點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，而且還能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美.

參考文獻(xiàn)：

[1]張娜.立體模型在高中立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用探究[J].課程教育研究，2017（5）：243-244.

[2]劉宏.例談高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（1）：26-29.

[責(zé)任編輯：李?璟]