王佳佳

【摘 要】解題教學(xué)一直是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)家波利亞的“怎樣解題表”是一部經(jīng)典的“啟發(fā)法小詞典”，對(duì)怎樣解題做出了系統(tǒng)的研究，波利亞的解題理論不僅指引了解題的思路，從中更體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的重要性.本文將從解題教學(xué)過(guò)程中的具體實(shí)例出發(fā)淺談數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】解題教學(xué);數(shù)學(xué)思維;培養(yǎng)

思維品質(zhì)是思維發(fā)生和發(fā)展中所表現(xiàn)出來(lái)的個(gè)性差異，它是個(gè)體在思維活動(dòng)中智力特征的表現(xiàn)，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)主要是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維方式和思維習(xí)慣的個(gè)性化表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的解題教學(xué)是學(xué)生數(shù)學(xué)思維得以培養(yǎng)的重要途經(jīng)，接下來(lái)將結(jié)合具體例題淺談教學(xué)中數(shù)學(xué)思維廣闊性、深刻性、靈活性的培養(yǎng)。

一、一題多解，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是指在思維活動(dòng)中思路寬廣，對(duì)一個(gè)問(wèn)題可以多層次多角度地考慮，對(duì)一個(gè)題目能想出各種不同的解法，把握整體，同時(shí)抓住細(xì)節(jié)，即通常所說(shuō)的“一題多解”。

【例1】已知x，y∈R+且滿足x+y+3=xy，求xy的取值范圍。

【分析】解法1：根據(jù)題目中出現(xiàn)的“x+y”與“xy”自然聯(lián)想到均值不等式■≥■。

因?yàn)閤，y∈R+，所以根據(jù)均值不等式有x+y≥2■，那么xy≥2■+3，

即（■）2-2■+3≥0，得到■≥3，從而xy的取值范圍是xy≥9。

解法2：根據(jù)題目中的“x+y+3”聯(lián)想到三元均值不等式■≥■。

因?yàn)閤，y，3∈R+，所以根據(jù)三元均值不等式有x+y+3≥3■，那么xy≥3■，

即（xy）3≥81xy，得到xy的取值范圍是xy≥9。

解法3：分析題目的條件與問(wèn)題，要求xy的取值范圍，可將xy二者中轉(zhuǎn)化成為其中一個(gè)的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想求解。

由x+y+3=xy可得到y(tǒng)=■，從而xy=x·■=■=（x-1）+■+5≥2■+5=9（其中因?yàn)閥>0，所以x>1）

解法4：令條件x+y+3=xy=k，則聯(lián)想到方程，利用方程有解的條件從而得到xy的取值范圍。

令x+y+3=xy=k，那么x+y=k-3。根據(jù)韋達(dá)定理構(gòu)造出關(guān)于未知數(shù)m的一元二次方程m2-（k-3）m+k=0，并且該方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x與y。

再根據(jù)一元二次方程與相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系，令f（m）=m2-（k-3）m+k，

則有△≥0■>0f（0）>0，得到k≥9，即xy的取值范圍是xy≥9。

解法5：根據(jù)解法4的思路點(diǎn)撥，函數(shù)往往與圖像相聯(lián)系，故易聯(lián)想到圖像法，可以考慮利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解答本題。

令x+y+3=xy=k，分別整理后得到兩個(gè)函數(shù)y=-x+k-3（k>0）與y=■（k>0）。

前者的圖像是一條直線，后者的圖像是雙曲線的一支，當(dāng)二者有交點(diǎn)時(shí)，k存在;當(dāng)二者圖像相切時(shí)，k最小，切點(diǎn)為（■，■），代入x+y+3=xy得2■+3=k，此時(shí)k=9，■=-1（舍去），所以xy的取值范圍是xy≥9。

二、深入分析，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性是指思考問(wèn)題時(shí)能夠發(fā)現(xiàn)事物的實(shí)質(zhì)、分清事物間相互關(guān)系與發(fā)現(xiàn)隱藏情況的能力，包括思維活動(dòng)的廣度、深度和難度。

【例2】已知m為有理數(shù)，且方程x2-4mx+4x+3m2-2m+

4k=0的根為有理數(shù)，求k的值。

【分析】首先考慮整理原方程為x2-4（m-1）x+3m2-2m+4k=0，

則整理后關(guān)于x方程的判別式為，

△1=[-4（m-1）]2-4（3m2-2m+4k）=4（m2-6m+4-4k），由于要求方程的根為有理數(shù)，所以只需△1=4（m2-6m+4-4k）為m的完全平方式。進(jìn)一步分析若要使△1=4（m2-6m+4-4k）為m的完全平方式，則需要它的判別式△2=（-24）2-4×4×（-16k+16）=0，所以得k=-■。

本題通過(guò)深入分析，橫向考慮方程、函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系，挖掘知識(shí)的內(nèi)涵與外延，把握知識(shí)的精髓，進(jìn)而培養(yǎng)思維的深刻性。

三、善于聯(lián)想，培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)思維的靈活性是指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠提出非習(xí)慣性的處理方法，并在應(yīng)對(duì)新的解題條件時(shí)可以快速靈活地轉(zhuǎn)換思路。

【例3】設(shè)（x，y）∈R+，求證：■+■>■。

【分析】觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)，抓住其形式特點(diǎn)即■+■>■，容易聯(lián)想到多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)模型。

聯(lián)想1：根據(jù)不等式左邊的變形形式可以將其看作三點(diǎn)間的兩邊距離之和，即動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)A（8，3）和B（2，-5）的距離之和，由三角不等式可以得出結(jié)論。

聯(lián)想2：與聯(lián)想1一樣，以動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為線索，容易聯(lián)想到橢圓的定義。視橢圓半長(zhǎng)軸a可變，即a為參數(shù)，令■+■>2a（a∈R+）。此時(shí)2c=■=10，但在橢圓中2a>2c，故結(jié)論成立。進(jìn)一步意味著結(jié)論還可以加強(qiáng)，即將■換成10，不等式仍然成立。

聯(lián)想3：觀察不等式左邊的等價(jià)變形形式與復(fù)數(shù)模的形式有相似之處，故聯(lián)想到利用復(fù)數(shù)不等式證明。令z1=（x-8）+（y-3）i，z2=（x-2）+（y+5）i，|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|-6-8i|=10>■，進(jìn)而不等式得證。

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”中可以看出新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的強(qiáng)調(diào)，因此，在教學(xué)中教師應(yīng)首先把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和教學(xué)本質(zhì)，了解關(guān)于數(shù)學(xué)思維的理論知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)與特點(diǎn)，明確數(shù)學(xué)思維品質(zhì)在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要性，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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（四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達(dá)州 635000）