陳杰

摘要：最值問題是導數(shù)在經(jīng)濟領域應用的一個重要方面，經(jīng)濟學研究者們研究的主體基本是圍繞如何在最少的投入中產(chǎn)生出最大的收益，其中涉及到的“最少”和“最大”就是數(shù)學中的常說的最值問題。文章主要從最小平均成本、最大利潤、最佳廣告費支出、最佳存款利息以及最佳批量、批數(shù)等五個方面舉例說明最值在經(jīng)濟管理領域中的簡單應用。

關鍵詞：最值問題;經(jīng)濟管理;導數(shù);應用

最值問題在人們的日常生活與工作中都普遍的存在，如商業(yè)企業(yè)會制定一些促銷措施、優(yōu)惠手段、優(yōu)化流通方案等，目的就是為了獲得最大的利潤。因此，任何企業(yè)都會根據(jù)自身的實際條件，以尋求優(yōu)化方案作為目標，這也是當前企業(yè)經(jīng)營管理中的中心命題。事實上，這些都是最值問題，即最大值與最小值的問題。下面，筆者主要通過一些具體的實例，介紹最值在經(jīng)濟管理領域相關方面的應用。

一、最小平均成本

在經(jīng)濟學中，總成本通常指生產(chǎn)某種品種或數(shù)量的產(chǎn)品所需要的全部經(jīng)濟資源的總價格或費用，由固定成本與變動成本構(gòu)成。在數(shù)學中通常用符號來表示總成本，表示固定成本，表示可變成本，用表示產(chǎn)品的產(chǎn)量。在一定條件下，總成本=固定成本+可變成本，那么總成本函數(shù)可表示為;我們也會用來表示平均成本函數(shù)。在經(jīng)濟學中，也通常用成本函數(shù)的導數(shù)來表示邊際成本函數(shù)，即生產(chǎn)前最后一個單位增加的成本。

例：某飲料生產(chǎn)加工企業(yè)生產(chǎn)某種飲品的成本（元）是日產(chǎn)量（噸）的函數(shù)，問日產(chǎn)量為多少時，才能使平均成本最低？

解：

令，得;由于

∴當日產(chǎn)量時，有最小平均成本

因此，該飲料生產(chǎn)企業(yè)日產(chǎn)量定為424噸時，能使平均成本達到最低130.97元/噸。

二、最大利潤

企業(yè)經(jīng)營生產(chǎn)的主要目的之一就是獲取豐厚的利潤，利潤是收益與成本之差，一般記為。若用表示收入，表示成本，則利潤，那么利潤函數(shù)即可可表示為。這時對利潤函數(shù)求導數(shù)，然后讓導數(shù)等于零，即，通過化簡可以得到，而這只是取得極值的一個必要條件，如果要使利潤函數(shù)在這個條件下取到最大值，那么就必須有利潤函數(shù)的二階導數(shù)小于零，即。只有當以上兩個條件都滿足時，生產(chǎn)經(jīng)營利潤則能達到最大，這就是最大利潤的計算方法。

例：設某白酒生產(chǎn)加工企業(yè)生產(chǎn)某款品牌白酒的生產(chǎn)成本（元）是月產(chǎn)量（瓶）的函數(shù)：，而目前市場上對該品牌白酒的需求（瓶）是單價（元/瓶）的函數(shù)：，白酒生產(chǎn)企業(yè)要根據(jù)該品牌白酒在市場上的需求來組織生產(chǎn)。試求：該白酒生產(chǎn)企業(yè)的月產(chǎn)量定為多少時，企業(yè)獲取的利潤為最大;并求出此時生產(chǎn)水平上的價格又是多少？

解：根據(jù)題目所給的已知條件，可以得到需求函數(shù)為，

即，從而可以得到收入函數(shù)為.

那么，利潤函數(shù)

令，得

由于，而是的唯一駐點，而且是極大值點。

所以當該品牌白酒月產(chǎn)量定為29瓶時，白酒生產(chǎn)企業(yè)可獲得最大利潤，此時價格為元。

三、最佳廣告費支出

在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營銷售過程中，為了增加銷量，常用的促銷手段之一就是投放各類產(chǎn)品宣傳廣告，這也是目前被很多企業(yè)所采用的提高銷量方式之一。如何精準地投放廣告，尋求最佳廣告開支是當前企業(yè)亟待解決的問題。

例：某化妝品公司研發(fā)了一款新的唇膏，為了提高改唇膏在區(qū)域范圍內(nèi)的知名度，增加銷量，在網(wǎng)絡媒體上進行了適當?shù)膹V告宣傳。若該新唇膏的利潤為100元，每月的廣告費支出的平均值為元，如果設銷售量是廣告費的函數(shù)，且，其中，求要使該新唇膏獲得最大的利潤，那么最佳的廣告支出是多少元？

解：設該新唇膏的純利潤函數(shù)為

則通過對利潤函數(shù)求導得到

令，可以得到，解得（元）

通過對利潤函數(shù)二次求導得：，得到，由于純利潤函數(shù)存在唯一極值點，那么這個唯一極值點就是極大值點。

所以，當每月廣告費支出為元時，該新唇膏的利潤取得最大值，（元），所以，當廣告費每月支出為599元時，可以使該產(chǎn)品達到最高純利潤39 301元。

四、最佳存款利息

目前，商業(yè)銀行業(yè)務的開展主要有兩個方面，一是吸收存儲現(xiàn)金，二是利用資金進行投資。商業(yè)銀行一般會根據(jù)資金投資的收益來決定某項存款服務的利息，最重要目的就是使獲得的收益最大。

例：某商業(yè)銀行擬發(fā)行一款固定期限基金產(chǎn)品，假設獲得的資金量與基金收益成正比，經(jīng)過市場調(diào)研，通過獲得資金進行投資的收益約為，那么該款基金產(chǎn)品在對外宣傳時收益率定為多少才能使投資獲得的收益最大。

解：設基金產(chǎn)品的收益率為，獲得的資金總額為，由題意可知，與成正比，則（為正常數(shù)），若使用資金進行投資的總額為，則投資獲得的收益為，而這筆投資資金要付給基金購買人的收益為，因此進行投資獲得純收益為;

令，即，得，

且（），即駐點是的唯一極值點，而且是極大值點。

因此，當該款基金產(chǎn)品的收益率定為時，可獲得最大的投資純收益。

以上只是理論上的投資純收益，在具體的銀行業(yè)務中，投資的收益會受到很多方面因素的影響，從而也影響函數(shù)客觀性。

五、最佳批量和批數(shù)

企業(yè)為了保證生產(chǎn)的正常運行，都會根據(jù)生產(chǎn)任務提前采購生產(chǎn)所需的原材料，那么就會遇到如何使訂單手續(xù)費用跟保管費用最少的問題，即最佳批量與批數(shù)問題。

例：某企業(yè)每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要甲原料噸，每次購買甲原料的手續(xù)費為元，而該甲原料每噸的庫存保管費用為元，問在該產(chǎn)品均勻生產(chǎn)的條件下（即甲原料的平均庫存數(shù)為批量的一半），該企業(yè)分幾批購進甲原料能使訂單手續(xù)費與庫存費最少？

解：設甲原料訂購批數(shù)為時總費用為元，則可得：

令導數(shù)等于零，即，得駐點

又因為二階導數(shù)，所以當時，又因為存在唯一駐點，所以取得的極小值即實際問題的最小值。

因此，該企業(yè)應分為批購進可使采購甲原料的手續(xù)費及庫存保管費之和最少。

在本例中，通過批數(shù)可算出批量為，這就是最佳進貨量，經(jīng)濟學中稱之為最佳經(jīng)濟批量。

隨著科學經(jīng)濟的不斷發(fā)展，數(shù)學作為一門基礎學科已經(jīng)廣泛應用到政治、經(jīng)濟、文化等各個領域。導數(shù)求最值的問題應用頗為廣泛。在經(jīng)濟管理領域的相關研究中，如何用最少的投入來獲得最大的收益是經(jīng)濟學者們研究的主要內(nèi)容。諸多的應用為導數(shù)在經(jīng)濟管理領域中的應用提供了更廣闊的研究舞臺。■

參考文獻：

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作者簡介：陳 杰，男，漢族，江蘇丹陽人，蘇州旅游與財經(jīng)高等職業(yè)技術學校教師，主要從事數(shù)學教育教學研究。