林卉 趙繼源 葉文婷

【摘要】本文針對初中數(shù)學規(guī)律題教學缺乏針對性的現(xiàn)狀，結合實例論述教師引導學生對規(guī)律題進行初步分類、細化分類，以及針對每一類題目的特點進行教學的策略，以期學生在學習中實現(xiàn)舉一反三。

【關鍵詞】初中數(shù)學 規(guī)律題 分類策略 教學策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）25-0133-04

規(guī)律探索題是一類通過呈現(xiàn)出若干個按照某種特定變化規(guī)律排列的數(shù)字、式子或圖形，讓解題者通過觀察、猜想和歸納等一系列活動尋找出其中的一般性規(guī)律的題目。這類題目的綜合性較強，有助于開拓學生的思維，培養(yǎng)學生的探究能力，提升學生數(shù)學知識綜合應用能力，是近年各地中考的熱點題型之一。規(guī)律題形式復雜、綜合性強，涉及的數(shù)學知識內(nèi)容較為廣泛，許多教師不知從何入手進行教學，可能會較為隨意地挑選題目給學生進行講解和練習，沒有明確的目標，教學缺乏針對性。學生在解決這類問題的過程中，由于缺乏針對性的訓練，面對題目常常一頭霧水，無從下手進行解答。加之這類題目常在中考選擇填空題中壓軸，給學生留下此類題目難度較大的印象，部分基礎相對薄弱的學生面對此類題目甚至會選擇直接放棄，教學效果不太理想。筆者針對當前初中數(shù)學規(guī)律題教學的現(xiàn)狀，闡述對規(guī)律題進行整理和歸類的必要性，并詳細介紹教師帶領學生對規(guī)律題進行分類的途徑，歸納對應的解題策略，從而讓學生在學習中實現(xiàn)舉一反三。

雖然規(guī)律題有一定難度，但學生只要能對題目進行正確的歸類，并掌握對應類型題目的解題策略和方法就可以順利地進行解答。因此，教師有必要對常見的規(guī)律題進行研究、整理和分類，總結每類題目的特征及解題策略，從而進行有針對性的教學。有些教師可能會從題目外在表現(xiàn)形式的特征出發(fā)對規(guī)律題進行簡單的分類，將其分為數(shù)式變化類、圖形變化類、圖表變化類這三大類。這三大類規(guī)律題的外在形式特征十分明顯，容易進行辨認和歸類。但是面對這幾個大類，教師仍然很難歸納出每類題型相對統(tǒng)一的解題思路。求解規(guī)律題的關鍵是找出規(guī)律變化的特點，因此教師還需要根據(jù)規(guī)律變化的特點對這幾個大類進行進一步的細化分類，才能總結出每類題目的特征及解題策略，使學生可以順利地解決此類問題。教師可以先引導學生從總體上對常見的規(guī)律題進行初步的分類，然后帶領學生根據(jù)每類題目中規(guī)律變化的特點，對初步分類得到的大類進一步細化，并針對每個小類的特征展開分析和講解。

一、初步分類

教師給出含有數(shù)式變化類、圖形變化類和圖表變化類這些類型的若干道規(guī)律題，讓學生觀察每道題目的外在表現(xiàn)特征，分析每題發(fā)生變化的內(nèi)容分別是什么，并引導學生將有著相似特征的題目歸為一類，總結每類題目的不同特征。本環(huán)節(jié)給出的題目如下。

例1：如圖，第一個圖形中有1個點，第二個圖形中有4個點，第三個圖形中有13個點……按此規(guī)律，第n個圖形中有? ? ?個點。

例2：觀察一列數(shù)：-3，0，3，6，9，12，……按此規(guī)律，這一列數(shù)的第21個數(shù)是? ? ? ? ? ? 。

例3：將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按圖規(guī)律排列。規(guī)定位于第m行，第n列的自然數(shù)10記為（3，2），自然數(shù)15記為（4，2）……按此規(guī)律，自然數(shù)2018記為? ? ? ? ? 。

例5：如圖，∠MON=60°，作邊長為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1，F(xiàn)1E1分別在射線OM，ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM，ON于點A2，F(xiàn)2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在直線分別交OM，ON于點A3，F(xiàn)3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點Bn到ON的距離是? ? 。

例6：將正整數(shù)1，2，3，……從小到大按下面規(guī)律排列。若第4行第2列的數(shù)為32，則①n=? ? ? ? ;②第i行第j列的數(shù)為 ? ? ?（用i，j表示）。

通過簡單地觀察，學生可以很快地發(fā)現(xiàn)例1和例5可以歸為一類，它們中都有處于變化之中的圖形，圖形的個數(shù)、圖形中線段的長度這些量發(fā)生了變化;例3和例6可以歸為一類，它們中都出現(xiàn)了表格，位于表格中不同位置的數(shù)字或式子發(fā)生了變化;例2和例4中分別出現(xiàn)了一列處于變化之中的數(shù)字和代數(shù)式，因此它們有著相似之處，可以歸為一類。

教師對學生給出的分類進行凝練和概括，總結每類題目的特征：我們把例1和例5歸為圖形變化類規(guī)律題，這類題目中通常含有一組處于變化之中的圖案，發(fā)生變化的量主要是圖案的個數(shù)、圖形中的線段長度或角度、圖形的周長或面積;把例2和例4歸為數(shù)式變化類規(guī)律題，這類題目中通常含有一組處于變化之中的數(shù)式，發(fā)生變化的量是數(shù)字或式子（包括代數(shù)式、等式、不等式等）;把例3和例6歸為圖表變化類規(guī)律題，這類題目中通常含有一個圖表，發(fā)生變化的量主要是位于圖表中不同位置的數(shù)式。圖形變化類、數(shù)式變化類、圖表變化類這三大類規(guī)律題都是我們?nèi)粘Ｓ柧毢涂荚囍谐Ｒ姷囊?guī)律題。

二、細化分類

圖表變化類規(guī)律題實質(zhì)上考查的是圖表中數(shù)字或式子的變化規(guī)律，圖形變化類規(guī)律題考查的是圖形中某些量的數(shù)量變化規(guī)律，它們本質(zhì)上發(fā)生變化的量還是數(shù)字或式子，所以數(shù)式變化類規(guī)律題的細化分類具有較強的代表性，可以為其他大類題目的細化分類提供參考思路。由于篇幅限制，本文以數(shù)式變化類規(guī)律題為例，分析如何帶領學生對規(guī)律題進行進一步的細化分類，歸納出對應的解題策略。

數(shù)式變化類規(guī)律題根據(jù)規(guī)律變化的特點可以分為遞進變化類規(guī)律題和循環(huán)變化類規(guī)律題，教師給出符合這兩個類型的若干道規(guī)律題，讓學生觀察每道題目的規(guī)律變化特點，并引導學生將規(guī)律變化有著相似特點的題目組成一組，總結出每組題目共同的規(guī)律變化特征。本環(huán)節(jié)給出的題目有上述的例2、例4及如下題目。

例7：觀察下列等式

在上述的數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第? ? ? 層。

例8：觀察下列運算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144……則81+82+83+84+…+82014的和的個位數(shù)字是? ?。

例9：觀察以下一列數(shù)：3，[5/4]，[7/9]，[9/16]，[11/25]……則第20個數(shù)是? ?。

例10：a1，a2，a3，a4，a5，a6……是一列數(shù)，已知第一個數(shù)a1=4，第5個數(shù)a5=5，且任意三個相鄰的數(shù)之和為15，則第2019個數(shù)a2019的值是? ?。

在教學時，教師可以通過適當?shù)亟o出一些帶有引導性的問題，讓學生帶著問題去觀察每道題目中數(shù)列或式子的排列規(guī)律和變化特征，如這些數(shù)式中后一項比前一項大還是??？有沒有相同的數(shù)式重復出現(xiàn)？它們以什么樣的變化規(guī)律重復出現(xiàn)？在例2、例7和例9中，均沒有相同的數(shù)式重復出現(xiàn)。學生很容易發(fā)現(xiàn)在例2中的這列數(shù)的后一項都比前一項增加3，可得例2中的這列數(shù)有著數(shù)字從左到右逐漸增加的變化規(guī)律;也可以很快發(fā)現(xiàn)例9中的這列數(shù)的后一項都比前一項小，可得例9中的這列數(shù)有著數(shù)字從左到右逐漸減小的變化規(guī)律。而例7要觀察的是等式中的規(guī)律，學生在剛開始看到等式中這些紛繁雜亂的數(shù)字時可能不知從何下手，這時教師應針對題目的特點給予提示：隨著層數(shù)的增加，等式左端（右端）的第一個數(shù)有著怎樣的變化規(guī)律？學生容易得出不論是等式左端還是右端的第一個數(shù)都有著隨層數(shù)增加而逐漸增加的變化規(guī)律。例2、例7和例9具有相似的變化規(guī)律，可以將它們作為一個題組。在例4、例8和例10中，均有相同的數(shù)式重復出現(xiàn)。在例4中，學生很難直接看出a2，a3，a4……的值，所以教師首先要引導學生根據(jù)已知信息，把前一項代數(shù)式的值代入后一項的表達式中，依次求出前若干項代數(shù)式的值，再對它們的規(guī)律進行觀察。則這組代數(shù)式在這列代數(shù)式中會不斷地循環(huán)往復出現(xiàn)。例8要求這些數(shù)的和的個位數(shù)字，教師可提示學生觀察個位數(shù)字的排列規(guī)律。學生通過觀察8，4，2，6，8，4……可發(fā)現(xiàn)8，4，2，6這些數(shù)字都有重復出現(xiàn)的情況，并且8，4，2，6這組數(shù)字在這列數(shù)中不斷地循環(huán)出現(xiàn)。例10中的這列數(shù)也需要根據(jù)題目中的已知條件求出，教師可以給予提示讓學生通過列出三元一次方程組解出a1，a2，a3，a4，a5，a6……這些數(shù)的值再進行觀察，可發(fā)現(xiàn)在4，5，6，4，5，6……中4，5，6不斷地循環(huán)出現(xiàn)。例4、例8和例10具有相似的變化規(guī)律，可以將它們作為一個題組。

分析了每道題目的規(guī)律變化特點并進行分組后，教師應引導學生歸納總結出每個題組中題目所具有的共同特征。例2、例7和例9所具有的共同特點是：題目所給的根據(jù)一定順序排列的數(shù)列或式子中的數(shù)字具有按照某種規(guī)律逐漸增加或減少的遞進變化特點，我們把具有此特征的題目歸為數(shù)式類規(guī)律題中的遞進變化類規(guī)律題;例4、例8和例10所具有的共同特點是：題目所呈現(xiàn)的一列數(shù)字或式子中會出現(xiàn)其中一組數(shù)式在這列數(shù)式中連續(xù)循環(huán)排列的現(xiàn)象，并且這組數(shù)式有著固定的內(nèi)容和排列順序，我們把具有此特征的題目歸為數(shù)式類規(guī)律題中的循環(huán)變化類規(guī)律題，這組具有固定的內(nèi)容和排列順序的數(shù)式稱為這列循環(huán)數(shù)式的循環(huán)節(jié)。

三、針對每一類題目的特點進行教學

在教學時，教師可以先選取題組中的一道題目進行詳細講解，逐步引導學生厘清思路、攻克難關;然后對精講例題進行回顧，帶領學生總結解題策略和方法;最后運用題組中的其他題目進行鞏固訓練，讓學生在題組訓練中實現(xiàn)舉一反三。

（一）數(shù)式變化類規(guī)律題中的遞進變化規(guī)律

1.精講例題

在教學例2時，教師首先通過提出一些簡單的問題使學生對題目形成初步的感知和認識，如這列數(shù)中兩個相鄰的數(shù)之間有怎樣的關系？從左往右排列，第8個數(shù)應該是多少？6是第幾個數(shù)，它是通過怎樣的計算得到的？第一個問題的答案想必學生在觀察題目特征時就已經(jīng)能夠得出來了，在第一個問題的基礎上解決第二個問題變得非常簡單。第三個問題沒有固定的答案，學生可能會想出許多種不同的計算方法，如3+3=6，9-3=6，-3+3×3=6……

順著這個問題，教師可以引導學生觀察某個數(shù)與位置序號數(shù)之間存在的關系。請想到-3+3×3=6這個計算方法的學生來解釋其中的含義，并讓學生按照這個思路寫出這列數(shù)中其他數(shù)字的表達式。

第1個數(shù)：-3=-3+3×0

第2個數(shù)：0=-3+3×1

第3個數(shù)：3=-3+3×2

第4個數(shù)：6=-3+3×3

第5個數(shù)：9=-3+3×4

第6個數(shù)：12=-3+3×5

……

學生列出數(shù)列中每個數(shù)字的表達式后，教師可以引導學生通過對比找出表達式中變化的部分和不變的部分，以及變化部分與對應的位置序號數(shù)間的數(shù)量關系，進而推斷出第n個數(shù)的表達式。通過比較學生可發(fā)現(xiàn)“-3+3×”是表達式中不變的部分，而“3×”后面的數(shù)字是變化的部分，變化的數(shù)字都比對應的位置序號數(shù)小1。根據(jù)這樣的發(fā)現(xiàn)不難寫出第n個數(shù)的表達式，即-3+3×（n-1）。

得出第n個數(shù)的表達式之后，教師要提醒學生這不一定是正確結果，還要通過代入具體的數(shù)字進行驗算來檢驗表達式的正確性，若發(fā)現(xiàn)表達式不正確還需按照相同的步驟重新尋找第n個數(shù)的表達式。將若干個位置序號數(shù)分別代入表達式，若計算出的每個結果都等于對應位置的數(shù)字，則表達式正確，反之則表達式錯誤。

最后根據(jù)題意運用正確的表達式求出題目的答案。題目要求第21個數(shù)，那么就將21代入-3+3×（n-1）中，得出第21個數(shù)為57。

2.總結解題策略，實現(xiàn)舉一反三

教師先給學生一些時間對剛才例2的解題過程進行回顧，根據(jù)例2的解題過程嘗試著總結提煉解題步驟，為學生提供獨立思考的空間，鍛煉學生的歸納總結能力。然后帶領學生一起回顧和總結這類題目的解題策略和方法，并讓學生根據(jù)總結的內(nèi)容解答例7和例9，進行鞏固練習實現(xiàn)舉一反三。這類問題的變化規(guī)律一般與數(shù)式對應的位置序號數(shù)存在聯(lián)系，因此解答時首先要根據(jù)數(shù)式在題目中的位置給它們排上序號;接著通過觀察和對比，嘗試用含有對應序號數(shù)的表達式表示若干個已知數(shù)式;然后找出這些表達式中變與不變的部分，分析變化部分和序號數(shù)間存在的數(shù)量關系，猜想和推導出第n個數(shù)式的表達式;最后通過代入序號數(shù)來檢驗表達式的正確性，根據(jù)題意運用正確的表達式求出題目的答案。

（二）數(shù)式變化類規(guī)律題中的循環(huán)變化規(guī)律

1.精講例題

2.總結解題策略，實現(xiàn)舉一反三

這個環(huán)節(jié)的教學過程與前一個類型題目相同環(huán)節(jié)的教學過程大體一致，不再重復論述。在一列數(shù)式前若干項已知的情況下，解答這類題目時首先要觀察題目中數(shù)式的循環(huán)規(guī)律，找出循環(huán)節(jié);然后根據(jù)題目問題和循環(huán)節(jié)中數(shù)式的個數(shù)求出循環(huán)節(jié)經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)以及余數(shù);最后通過分析余數(shù)和循環(huán)節(jié)之間的對應關系得出題目要求的答案。

關于規(guī)律題的分類方式和教學策略還有很多，本文筆者只是提供了其中的一種思路供教師參考。規(guī)律題教學的現(xiàn)狀雖然不是很理想，但是通過教師對規(guī)律題的深入分析和研究，并引導學生對規(guī)律題進行分類，歸納出對應的解題策略，相信教學效果可以獲得極大的提升，學生不僅能獲得數(shù)學綜合能力的提高，還能在平時的訓練和考試中順利地解決此類問題，從而在數(shù)學學習中收獲成功的體驗，增強學習信心。

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作者簡介：林卉（1997— ），女，廣東揭陽人，在讀碩士研究生，研究方向為數(shù)學學科教學;趙繼源（1963— ），壯族，廣西天等人，博士，教授，研究方向為數(shù)學學習心理、數(shù)學課程與教學、數(shù)學教師教育;葉文婷（1996— ），女，廣西合浦人，在讀碩士研究生，研究方向為數(shù)學學科教學。