何葉飄

[摘要]一次磨課，就是一次“歷劫”，是一次學(xué)習(xí)、實(shí)踐和思考的過(guò)程，也是一次合作、反思與教學(xué)創(chuàng)新的過(guò)程，更是教師自身教學(xué)能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過(guò)程。在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”的磨課中，逐步深入概念本質(zhì)，讓課堂從膚淺走向深刻，從自我走向?qū)嶋H，促進(jìn)學(xué)生深入理解知識(shí)。

[關(guān)鍵詞]概念本質(zhì);深化理解;分?jǐn)?shù);認(rèn)識(shí)

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020） 26-0013-04

分?jǐn)?shù)的意義這一內(nèi)容并不好教，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)：一是知識(shí)點(diǎn)較多，諸如單位“l(fā)”、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)單位等;二是內(nèi)容較為抽象，教學(xué)時(shí)需要逐步剝離具體素材的依附，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)從“面積模型”到“集合模型”的過(guò)渡，并在此過(guò)程中進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”提煉，形成純理論的表達(dá);三是時(shí)間相隔較長(zhǎng)，從“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”到“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)，長(zhǎng)達(dá)一年半之久。如何考量和取舍才能有效教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義，既能把握分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，又能遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？我們數(shù)學(xué)組對(duì)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”一課進(jìn)行了專題研討。

【課前思考】

1.對(duì)多版本教材的對(duì)比和梳理

三個(gè)版本的教材盡管編排方式有所不同，但都是在“平均分”的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“部分與整體的關(guān)系”。北師大版教材沒(méi)有用固定的語(yǔ)言表述分?jǐn)?shù)的意義，而是讓學(xué)生不斷體會(huì)，自我感悟，內(nèi)化對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)。

2.通過(guò)前測(cè)縝密分析學(xué)情

學(xué)生的思維是否能跟上分?jǐn)?shù)意義發(fā)展的步伐？就此問(wèn)題，我們對(duì)學(xué)生（共45人）進(jìn)行前測(cè)——用自己的方式表示出3/4這個(gè)分?jǐn)?shù)，得出結(jié)論：全班學(xué)生基本都能用自己的方式表示出3/4，可見(jiàn)他們對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解沒(méi)有太大困難。由于在日常生活中，學(xué)生也經(jīng)常會(huì)用“一堆”“一群”“一些”等詞語(yǔ)來(lái)描述許多物體的集合，因此，學(xué)生立足于已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，由把一個(gè)物體看成一個(gè)整體過(guò)渡到把多個(gè)物體，乃至多組物體看成一個(gè)整體，都是比較容易的。

找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，我們決定課始就直接從建構(gòu)單位“1”的意義人手，于是就有了第一次教學(xué)。

【第一次教學(xué)】

活動(dòng)一：用不同的數(shù)表示兩個(gè)正方形

下面的正方形可以用什么數(shù)來(lái)表示？

生1：把2個(gè)正方形看成一堆就是1。

師：可以把半個(gè)正方形看作“1”嗎？用什么數(shù)來(lái)表示這些正方形呢？

生2：可以。4。

師：反應(yīng)真快！還可以用數(shù)字幾來(lái)表示這些正方形呢？

師：剛才大家把不同的部分看作“1”，用了2、1、4等整數(shù)來(lái)表示正方形。想一想，除了整數(shù)，可以用分?jǐn)?shù)嗎？能用什么分?jǐn)?shù)表示？

（學(xué)生說(shuō)出了很多分子和分母相同的分?jǐn)?shù)）

師：還有其他分?jǐn)?shù)嗎？（很多學(xué)生說(shuō)不出來(lái)）

生3：可以用2/3表示，它的整體是3個(gè)正方形。

師：像這樣，把幾個(gè)正方形看成一個(gè)整體，這樣的“1”叫作單位“1”。

活動(dòng)二：用不同的分?jǐn)?shù)表示兩位同學(xué)

師：我們一起做個(gè)游戲。請(qǐng)兩位同學(xué)起立，大家用一個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示看到的這兩位同學(xué)，用哪個(gè)分?jǐn)?shù)？

生4：這兩位同學(xué)占全班的2/45。

生5：這兩位同學(xué)占整個(gè)小組的2/10。

師：同樣的兩個(gè)同學(xué)，能夠用不同的分?jǐn)?shù)來(lái)表示，原因是什么？

生6：因?yàn)閱挝弧?”不一樣。

生7：?jiǎn)挝弧?”不確定。

師：?jiǎn)挝弧?”不同，這兩個(gè)同學(xué)占這個(gè)整體的幾分之幾就不一樣了。

活動(dòng)三：通過(guò)練習(xí)，鞏固分?jǐn)?shù)的意義

習(xí)題：淘氣吃了一個(gè)蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4。誰(shuí)吃的多一些？

活動(dòng)四：拓展練習(xí)，深化分?jǐn)?shù)的意義

習(xí)題1：把12個(gè)蛋糕平均分給3個(gè)人，每人分得（ ），每人分得（ ）個(gè)。

習(xí)題2：把（ ）個(gè)蛋糕平均分給3個(gè)人，每人分得（ ），每人分得（ ）個(gè)。

【教后反思】

對(duì)于活動(dòng)四中兩道習(xí)題的完成情況，全班45人中做對(duì)的只有8人，錯(cuò)誤主要集中在“每人分得幾分之幾”這一填空。由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的意義還停留在初步感知的基礎(chǔ)階段，并沒(méi)有深入理解分?jǐn)?shù)的真正含義。通過(guò)分析，教學(xué)存在以下幾個(gè)問(wèn)題：

1.教學(xué)起點(diǎn)太高，脫離學(xué)生實(shí)際

教師耳提面命、聲嘶力竭地讓學(xué)生亦步亦趨地去抽象單位“1”，卻有為數(shù)不少的學(xué)生茫然而不知所云。對(duì)于“同樣兩個(gè)正方形，為什么可以用任何數(shù)來(lái)表示呢？”學(xué)生是丈二和尚摸不著頭腦的，而這一環(huán)節(jié)教學(xué)用時(shí)為23分鐘。可見(jiàn)這一教學(xué)設(shè)計(jì)未能很好地順應(yīng)學(xué)生的思維，阻礙了單位“1”的建構(gòu)。要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生，最關(guān)鍵之處就是要關(guān)注他們學(xué)習(xí)的真實(shí)起點(diǎn)，找準(zhǔn)學(xué)生“現(xiàn)在在哪里”。

回顧前測(cè)習(xí)題，全班45人均能用自己的方式表示分?jǐn)?shù)3/4的意義，其中用一個(gè)圖形表示的有10人，用4個(gè)圖形表示的有27人，但用多個(gè)圖形表示的只有7人，僅占了全班的16%。從這些數(shù)據(jù)中不難看出，雖然學(xué)生都用自己的方式表示分?jǐn)?shù)3/4的意義，但對(duì)于“分?jǐn)?shù)是相對(duì)于單位1而言的”的本質(zhì)，學(xué)生是不理解的，學(xué)生的思維仍然處于初步認(rèn)識(shí)的形象階段。

2.對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)膚淺，影響了對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解

三年級(jí)的認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，是平均分一個(gè)物體，雖然分一些物體的平均分的方法一樣，但平均分的整體變了，1份的數(shù)量也就變了。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是很難一下子理解這種辯證關(guān)系的，只有親自讓他們動(dòng)手畫一畫、分一分，他們才能在動(dòng)手操作中感悟分?jǐn)?shù)的意義。

【第二次教學(xué)】

活動(dòng)一：基于學(xué)情，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義

展示生，的作品（一個(gè)正方形）：

師：你是怎樣表示3/4這個(gè)分?jǐn)?shù)的？

生1：把一個(gè)正方形平均分成4份，取

了其中的3份，就是3/4。

展示學(xué)生作品（一個(gè)圓和一條線段）：

師：他們都用自己的方式表示出了3/4。你有什么發(fā)現(xiàn)？對(duì)，他們都把1個(gè)物體平均分成了4份，取其中的3份，就是3/4。

展示學(xué)生作品：

師：這位同學(xué)表示的3/4對(duì)嗎？（學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)可以把4個(gè)物體看成一個(gè)整體）

師：能用8個(gè)、12個(gè)蘋果……表示3/4嗎？請(qǐng)?jiān)谧鳂I(yè)紙上畫一畫，表示出3/4。

展示學(xué)生作品：

師：這個(gè)同學(xué)是這樣表示3/4的。你有什么想法？

生，：把8個(gè)蘋果平均分成4份，取其中的3份。

師：看出3/4了嗎？還可以看出幾分之幾呢？

生3：6/8。把8個(gè)蘋果平均分成8份，取6份就是6/8

師：同一幅圖，為什么一會(huì)兒表示3/4，一會(huì)兒又表示6/8呢？

生4：平均分的份數(shù)不一樣，意義就不一樣。

展示學(xué)生作品：

師：為什么這幾位同學(xué)的作品都可以表示3/4呢7

生，：雖然物體和數(shù)量都不一樣，但把一個(gè)正方形、8個(gè)蘋果、12個(gè)蘋果分別看成一個(gè)整體，平均分成4份，取其中的3份，就是這個(gè)整體的3/4。

師：同樣是3/4，為什么這里是6個(gè)，而那里是9個(gè)呢？

生6：因?yàn)檎w的個(gè)數(shù)不一樣，所以3/4所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量也就不一樣了。

活動(dòng)二：動(dòng)手操作，建立部分與整體的關(guān)系

習(xí)題：一個(gè)圖形的1/4是兩格，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形。

活動(dòng)三和活動(dòng)四（同第一次教學(xué)）

【教后反思】

調(diào)整了教學(xué)起點(diǎn)后，課堂總體呈現(xiàn)比較流暢，學(xué)生在教師的一步步引領(lǐng)下完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。同樣分析活動(dòng)四中兩道習(xí)題的完成情況，學(xué)生的正確率只有40%。看來(lái)是課堂上教師“包辦代替”的地方過(guò)多，沒(méi)有真正從學(xué)生的已有認(rèn)知展開(kāi)教學(xué)。

“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”該再認(rèn)識(shí)什么？課堂中到底能給予學(xué)生多大的思辨空間？學(xué)生的接受學(xué)習(xí)和思辨學(xué)習(xí)在這樣的課中分別占多大比例比較合適？知識(shí)的落腳點(diǎn)應(yīng)該在哪里？……我們陷入了沉思：

1.關(guān)于教學(xué)的切入點(diǎn)

教學(xué)本課之前我們對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)有一定的把握，課堂上也對(duì)這些難點(diǎn)進(jìn)了針對(duì)性的突破，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)這一概念也已經(jīng)有初步的認(rèn)知，能否在課始就激發(fā)學(xué)生的已有認(rèn)知，幫助學(xué)生形象地建立部分與整體的關(guān)系呢？

2.關(guān)于意義的理解

關(guān)于意義的理解是本節(jié)課的重點(diǎn)，學(xué)生認(rèn)識(shí)上存在差異，教師在課堂中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考：同一幅圖，為什么既可以表示3/4，又可以表示6/8呢？學(xué)生通過(guò)觀察和思辨，完全可以自己歸納出分?jǐn)?shù)的意義。教師應(yīng)該放手讓學(xué)生嘗試在不斷思辨中總結(jié)歸納，提高學(xué)生的思辨能力。

3.關(guān)于“平均”的再認(rèn)識(shí)

關(guān)于部分和整體的意義模型，一般有四個(gè)渠道可以建立：范圍、長(zhǎng)度、集合和面積。分?jǐn)?shù)具有“無(wú)量綱性”，即分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系時(shí)，不需要考慮物體的形狀和大小，只要看把這個(gè)整體平均分成了多少份，要表示這樣的幾份，這是分?jǐn)?shù)意義最本質(zhì)的地方。因此教師在課堂上應(yīng)直擊“平均”的意義。

4.關(guān)于“相對(duì)”的再認(rèn)識(shí)

分?jǐn)?shù)表示數(shù)量的多少具有相對(duì)性，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的意義（份數(shù)定義）是基于部分與整體的關(guān)系而建構(gòu)的。同一個(gè)分?jǐn)?shù)，因?yàn)檎w對(duì)象的不確定，分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)量也就不確定，這一點(diǎn)和整數(shù)表示數(shù)的多少有著很大的區(qū)別。學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)不久，這就更需要教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體會(huì)、感受、總結(jié)、領(lǐng)悟，進(jìn)而把分?jǐn)?shù)表示數(shù)的相對(duì)性認(rèn)識(shí)到位。

【第三次教學(xué)】

1.基于學(xué)情，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義展示學(xué)生作品：

師：你是怎樣表示3/4這個(gè)分?jǐn)?shù)的？

生1：我把一個(gè)圓平均分成4份，表示這樣的3份，就是這個(gè)圓的3/4。

師（展示學(xué)生作品）：還有的同學(xué)是這樣表示3/4的，可以嗎？

生2：可以。他們都把1個(gè)圖形平均分成了4份，表示這樣的3份，就是這個(gè)圖形的3/4。

展示學(xué)生作品：

師：有同學(xué)是這樣表示3/4的，可以嗎？為什么？

生3：可以。他把4個(gè)蘋果平均分成了4份，表示3份，也是3/4。

師：剛才不都是把一個(gè)正方形、一個(gè)圓、一條線段平均分成了4份，表示這樣的3份嗎？現(xiàn)在是4個(gè)蘋果，怎么也可以呢？

生4：把4個(gè)蘋果也看成一個(gè)整體，平均分成4份，表示這樣的3份，就是4個(gè)蘋果的3/4。

師：這4個(gè)蘋果大小不一樣，可以平均分嗎？

生5：平均分是可以對(duì)面積大小進(jìn)行平均分，也可以對(duì)數(shù)量進(jìn)行平均分。

師：還能畫出和這個(gè)不一樣的三嗎？

展示學(xué)生作品：

師：他們都表示了3/4，你覺(jué)得誰(shuí)的作品正確？

生6：（2）號(hào)作品正確，因?yàn)樗?個(gè)蘋果平均分成了4份。

生7：我選擇（1）號(hào)作品，因?yàn)楸硎镜煤芮宄?/p>

生8：可他沒(méi)有把8個(gè)三角形平均分成4份。

生9：可他把6個(gè)圈起來(lái)了，看得很清楚。

生10：把8個(gè)三角形看成一個(gè)整體，平均分成8份，取這樣的6份，就是6/8。

師：你們同意他的想法嗎？你怎么想？

生11：平均分的份數(shù)不一樣，意義也就不一樣。

展示學(xué)生作品：

師：為什么這幾位同學(xué)的作品都可以表示3/4呢？

師：雖然物體和數(shù)量都不一樣，但都可以把它們看成一個(gè)整體，平均分成了4份，表示這樣的3份，就是這個(gè)整體的3/4。

師：同樣都表示了3/4，為什么這里是6個(gè)，而那里是9個(gè)呢？

生12：整體的個(gè)數(shù)不一樣，3/4所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量也就不一樣了。

2.數(shù)形結(jié)合，建立整體量與部分量之間的關(guān)系

師：如果一個(gè)圖形的1/4是□□，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形。

展示學(xué)生作品：

師：同學(xué)們畫的圖形都不一樣，為什么都正確？

師：1/4對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量確定了，那么單位“1”這個(gè)整體的總數(shù)量也就可以確定了，但形狀可以多樣。

3.突破認(rèn)知，建立分率與具體量之間的關(guān)系

習(xí)題：淘氣吃了一個(gè)蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4，誰(shuí)吃的多一些？

師：?jiǎn)挝弧?”的數(shù)量不確定，所以1/4對(duì)應(yīng)的數(shù)量也不確定。

【教后反思】

1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)的改變

學(xué)生在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，到五年級(jí)上冊(cè)再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，間隔時(shí)間略長(zhǎng)?；趯W(xué)生的前測(cè)結(jié)果，通過(guò)師生談話，可調(diào)取學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在課堂上喚醒學(xué)生的有意注意，激活學(xué)生頭腦中“分?jǐn)?shù)”的認(rèn)知圖式，快速直觀地建立部分與整體的關(guān)系。

2.探究知識(shí)、理解意義環(huán)節(jié)的改變

在探究知識(shí)、理解意義的環(huán)節(jié)中注重引導(dǎo)學(xué)生深入觀察、比較、思辨，并讓學(xué)生在不斷思辨中理解“平均分的份數(shù)不一樣，意義也就不一樣”這一知識(shí)重點(diǎn)，幫助學(xué)生深入理解概念本質(zhì)，深化理解意義。

3.“平均”認(rèn)識(shí)環(huán)節(jié)的改變

在觀察4個(gè)蘋果的3/4這一環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生得出“可以把4個(gè)蘋果看成一個(gè)整體，平均分成4份”時(shí)，教師馬上質(zhì)疑“這4個(gè)蘋果大小不一”，學(xué)生在思辨中從面積一樣過(guò)渡到抽象出來(lái)的數(shù)量一樣，自然順暢，水到渠成。

4.“相對(duì)”認(rèn)識(shí)環(huán)節(jié)的改變

通過(guò)獨(dú)立嘗試、交流互動(dòng)、投影演示，讓學(xué)生根據(jù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行整體和部分之間的互推。用畫圖表征相對(duì)性，由“關(guān)系”會(huì)帶來(lái)“相對(duì)”的大小，這個(gè)意義上的分?jǐn)?shù)，能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，透過(guò)現(xiàn)象把握數(shù)學(xué)知識(shí)背后的核心問(wèn)題，進(jìn)一步幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。

【磨課感悟】

1.關(guān)于“平均”

分?jǐn)?shù)有多種不同的意義，而在教材中，學(xué)生最初學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，一般以“部分與整體的關(guān)系”這樣的意義切人。在這個(gè)意義上，一般需要特別強(qiáng)調(diào)“平均分”這個(gè)事情。當(dāng)把多個(gè)物體看成一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分時(shí)，明明劃分的各個(gè)部分的面積不一樣，為什么會(huì)是“平均”？“平均”必須要的“一樣”在哪里？如何從“面積一樣”過(guò)渡到“抽象出來(lái)的數(shù)量的一樣”，應(yīng)該作為學(xué)生再次認(rèn)識(shí)“部分與整體關(guān)系”意義上的分?jǐn)?shù)的一個(gè)重要內(nèi)容。

2.關(guān)于“1份”

在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”中，“再認(rèn)識(shí)”的重點(diǎn)應(yīng)該在于從把“1個(gè)東西”平均分過(guò)渡到把“1個(gè)整體”平均分，也就是單位“1”從1個(gè)到多個(gè)。但從另一個(gè)角度來(lái)看，其實(shí)更應(yīng)該是怎么認(rèn)識(shí)“1份”。學(xué)生往往既關(guān)注份數(shù)，又注意到了每份數(shù)的數(shù)量，具體的數(shù)量和份數(shù)對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)起到了干擾作用。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，讓學(xué)生在比較中辨析、在辨析中明理，幫助學(xué)生更深刻地理解“1份”的含義，加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的全面理解。

3.關(guān)于“相對(duì)”

除了再次認(rèn)識(shí)“平均”和“1份”外，有一個(gè)目標(biāo)也很重要，因?yàn)檫@是部分與整體的關(guān)系的意義，所以由“關(guān)系”會(huì)帶來(lái)“相對(duì)”的大小，也就是說(shuō)，這個(gè)意義上的分?jǐn)?shù)，不能僅比較分?jǐn)?shù)的絕對(duì)數(shù)值大小，還要考慮其對(duì)應(yīng)的整體是多少。

一次磨課，就是一次“歷劫”，是一次學(xué)習(xí)、實(shí)踐和思考的過(guò)程，也是一次合作、反思與教學(xué)創(chuàng)新的過(guò)程，更是教師自身教學(xué)能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過(guò)程。一次次的“改課”，就是踐行“課改”思想、理念與方法的過(guò)程。讓我們變“劫”為“節(jié)”，在一次次“歷劫磨難”中拔節(jié)生長(zhǎng)，蛻變成一個(gè)有教育智慧和情懷的教師。

（責(zé)編金鈴）