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        深入概念本質(zhì) 深化學(xué)生理解

        2020-08-11 07:33:52何葉飄
        關(guān)鍵詞:深化理解認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)

        何葉飄

        [摘要]一次磨課,就是一次“歷劫”,是一次學(xué)習(xí)、實(shí)踐和思考的過(guò)程,也是一次合作、反思與教學(xué)創(chuàng)新的過(guò)程,更是教師自身教學(xué)能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過(guò)程。在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”的磨課中,逐步深入概念本質(zhì),讓課堂從膚淺走向深刻,從自我走向?qū)嶋H,促進(jìn)學(xué)生深入理解知識(shí)。

        [關(guān)鍵詞]概念本質(zhì);深化理解;分?jǐn)?shù);認(rèn)識(shí)

        [中圖分類號(hào)]

        G623.5

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

        [文章編號(hào)] 1007-9068( 2020) 26-0013-04

        分?jǐn)?shù)的意義這一內(nèi)容并不好教,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn):一是知識(shí)點(diǎn)較多,諸如單位“l(fā)”、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)單位等;二是內(nèi)容較為抽象,教學(xué)時(shí)需要逐步剝離具體素材的依附,實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)從“面積模型”到“集合模型”的過(guò)渡,并在此過(guò)程中進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”提煉,形成純理論的表達(dá);三是時(shí)間相隔較長(zhǎng),從“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”到“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí),長(zhǎng)達(dá)一年半之久。如何考量和取舍才能有效教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義,既能把握分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵實(shí)質(zhì),又能遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律?我們數(shù)學(xué)組對(duì)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”一課進(jìn)行了專題研討。

        【課前思考】

        1.對(duì)多版本教材的對(duì)比和梳理

        三個(gè)版本的教材盡管編排方式有所不同,但都是在“平均分”的基礎(chǔ)上,幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“部分與整體的關(guān)系”。北師大版教材沒(méi)有用固定的語(yǔ)言表述分?jǐn)?shù)的意義,而是讓學(xué)生不斷體會(huì),自我感悟,內(nèi)化對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)。

        2.通過(guò)前測(cè)縝密分析學(xué)情

        學(xué)生的思維是否能跟上分?jǐn)?shù)意義發(fā)展的步伐?就此問(wèn)題,我們對(duì)學(xué)生(共45人)進(jìn)行前測(cè)——用自己的方式表示出3/4這個(gè)分?jǐn)?shù),得出結(jié)論:全班學(xué)生基本都能用自己的方式表示出3/4,可見(jiàn)他們對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解沒(méi)有太大困難。由于在日常生活中,學(xué)生也經(jīng)常會(huì)用“一堆”“一群”“一些”等詞語(yǔ)來(lái)描述許多物體的集合,因此,學(xué)生立足于已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ),由把一個(gè)物體看成一個(gè)整體過(guò)渡到把多個(gè)物體,乃至多組物體看成一個(gè)整體,都是比較容易的。

        找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),我們決定課始就直接從建構(gòu)單位“1”的意義人手,于是就有了第一次教學(xué)。

        【第一次教學(xué)】

        活動(dòng)一:用不同的數(shù)表示兩個(gè)正方形

        下面的正方形可以用什么數(shù)來(lái)表示?

        生1:把2個(gè)正方形看成一堆就是1。

        師:可以把半個(gè)正方形看作“1”嗎?用什么數(shù)來(lái)表示這些正方形呢?

        生2:可以。4。

        師:反應(yīng)真快!還可以用數(shù)字幾來(lái)表示這些正方形呢?

        師:剛才大家把不同的部分看作“1”,用了2、1、4等整數(shù)來(lái)表示正方形。想一想,除了整數(shù),可以用分?jǐn)?shù)嗎?能用什么分?jǐn)?shù)表示?

        (學(xué)生說(shuō)出了很多分子和分母相同的分?jǐn)?shù))

        師:還有其他分?jǐn)?shù)嗎?(很多學(xué)生說(shuō)不出來(lái))

        生3:可以用2/3表示,它的整體是3個(gè)正方形。

        師:像這樣,把幾個(gè)正方形看成一個(gè)整體,這樣的“1”叫作單位“1”。

        活動(dòng)二:用不同的分?jǐn)?shù)表示兩位同學(xué)

        師:我們一起做個(gè)游戲。請(qǐng)兩位同學(xué)起立,大家用一個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示看到的這兩位同學(xué),用哪個(gè)分?jǐn)?shù)?

        生4:這兩位同學(xué)占全班的2/45。

        生5:這兩位同學(xué)占整個(gè)小組的2/10。

        師:同樣的兩個(gè)同學(xué),能夠用不同的分?jǐn)?shù)來(lái)表示,原因是什么?

        生6:因?yàn)閱挝弧?”不一樣。

        生7:?jiǎn)挝弧?”不確定。

        師:?jiǎn)挝弧?”不同,這兩個(gè)同學(xué)占這個(gè)整體的幾分之幾就不一樣了。

        活動(dòng)三:通過(guò)練習(xí),鞏固分?jǐn)?shù)的意義

        習(xí)題:淘氣吃了一個(gè)蛋糕的1/4,笑笑吃了一盒蛋糕的1/4。誰(shuí)吃的多一些?

        活動(dòng)四:拓展練習(xí),深化分?jǐn)?shù)的意義

        習(xí)題1:把12個(gè)蛋糕平均分給3個(gè)人,每人分得( ),每人分得( )個(gè)。

        習(xí)題2:把( )個(gè)蛋糕平均分給3個(gè)人,每人分得( ),每人分得( )個(gè)。

        【教后反思】

        對(duì)于活動(dòng)四中兩道習(xí)題的完成情況,全班45人中做對(duì)的只有8人,錯(cuò)誤主要集中在“每人分得幾分之幾”這一填空。由此可見(jiàn),學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的意義還停留在初步感知的基礎(chǔ)階段,并沒(méi)有深入理解分?jǐn)?shù)的真正含義。通過(guò)分析,教學(xué)存在以下幾個(gè)問(wèn)題:

        1.教學(xué)起點(diǎn)太高,脫離學(xué)生實(shí)際

        教師耳提面命、聲嘶力竭地讓學(xué)生亦步亦趨地去抽象單位“1”,卻有為數(shù)不少的學(xué)生茫然而不知所云。對(duì)于“同樣兩個(gè)正方形,為什么可以用任何數(shù)來(lái)表示呢?”學(xué)生是丈二和尚摸不著頭腦的,而這一環(huán)節(jié)教學(xué)用時(shí)為23分鐘。可見(jiàn)這一教學(xué)設(shè)計(jì)未能很好地順應(yīng)學(xué)生的思維,阻礙了單位“1”的建構(gòu)。要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生,最關(guān)鍵之處就是要關(guān)注他們學(xué)習(xí)的真實(shí)起點(diǎn),找準(zhǔn)學(xué)生“現(xiàn)在在哪里”。

        回顧前測(cè)習(xí)題,全班45人均能用自己的方式表示分?jǐn)?shù)3/4的意義,其中用一個(gè)圖形表示的有10人,用4個(gè)圖形表示的有27人,但用多個(gè)圖形表示的只有7人,僅占了全班的16%。從這些數(shù)據(jù)中不難看出,雖然學(xué)生都用自己的方式表示分?jǐn)?shù)3/4的意義,但對(duì)于“分?jǐn)?shù)是相對(duì)于單位1而言的”的本質(zhì),學(xué)生是不理解的,學(xué)生的思維仍然處于初步認(rèn)識(shí)的形象階段。

        2.對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)膚淺,影響了對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解

        三年級(jí)的認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù),是平均分一個(gè)物體,雖然分一些物體的平均分的方法一樣,但平均分的整體變了,1份的數(shù)量也就變了。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō),是很難一下子理解這種辯證關(guān)系的,只有親自讓他們動(dòng)手畫一畫、分一分,他們才能在動(dòng)手操作中感悟分?jǐn)?shù)的意義。

        【第二次教學(xué)】

        活動(dòng)一:基于學(xué)情,復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義

        展示生,的作品(一個(gè)正方形):

        師:你是怎樣表示3/4這個(gè)分?jǐn)?shù)的?

        生1:把一個(gè)正方形平均分成4份,取

        了其中的3份,就是3/4。

        展示學(xué)生作品(一個(gè)圓和一條線段):

        師:他們都用自己的方式表示出了3/4。你有什么發(fā)現(xiàn)?對(duì),他們都把1個(gè)物體平均分成了4份,取其中的3份,就是3/4。

        展示學(xué)生作品:

        師:這位同學(xué)表示的3/4對(duì)嗎?(學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)可以把4個(gè)物體看成一個(gè)整體)

        師:能用8個(gè)、12個(gè)蘋果……表示3/4嗎?請(qǐng)?jiān)谧鳂I(yè)紙上畫一畫,表示出3/4。

        展示學(xué)生作品:

        師:這個(gè)同學(xué)是這樣表示3/4的。你有什么想法?

        生,:把8個(gè)蘋果平均分成4份,取其中的3份。

        師:看出3/4了嗎?還可以看出幾分之幾呢?

        生3:6/8。把8個(gè)蘋果平均分成8份,取6份就是6/8

        師:同一幅圖,為什么一會(huì)兒表示3/4,一會(huì)兒又表示6/8呢?

        生4:平均分的份數(shù)不一樣,意義就不一樣。

        展示學(xué)生作品:

        師:為什么這幾位同學(xué)的作品都可以表示3/4呢7

        生,:雖然物體和數(shù)量都不一樣,但把一個(gè)正方形、8個(gè)蘋果、12個(gè)蘋果分別看成一個(gè)整體,平均分成4份,取其中的3份,就是這個(gè)整體的3/4。

        師:同樣是3/4,為什么這里是6個(gè),而那里是9個(gè)呢?

        生6:因?yàn)檎w的個(gè)數(shù)不一樣,所以3/4所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量也就不一樣了。

        活動(dòng)二:動(dòng)手操作,建立部分與整體的關(guān)系

        習(xí)題:一個(gè)圖形的1/4是兩格,請(qǐng)畫出這個(gè)圖形。

        活動(dòng)三和活動(dòng)四(同第一次教學(xué))

        【教后反思】

        調(diào)整了教學(xué)起點(diǎn)后,課堂總體呈現(xiàn)比較流暢,學(xué)生在教師的一步步引領(lǐng)下完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。同樣分析活動(dòng)四中兩道習(xí)題的完成情況,學(xué)生的正確率只有40%。看來(lái)是課堂上教師“包辦代替”的地方過(guò)多,沒(méi)有真正從學(xué)生的已有認(rèn)知展開(kāi)教學(xué)。

        “分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”該再認(rèn)識(shí)什么?課堂中到底能給予學(xué)生多大的思辨空間?學(xué)生的接受學(xué)習(xí)和思辨學(xué)習(xí)在這樣的課中分別占多大比例比較合適?知識(shí)的落腳點(diǎn)應(yīng)該在哪里?……我們陷入了沉思:

        1.關(guān)于教學(xué)的切入點(diǎn)

        教學(xué)本課之前我們對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)有一定的把握,課堂上也對(duì)這些難點(diǎn)進(jìn)了針對(duì)性的突破,學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)這一概念也已經(jīng)有初步的認(rèn)知,能否在課始就激發(fā)學(xué)生的已有認(rèn)知,幫助學(xué)生形象地建立部分與整體的關(guān)系呢?

        2.關(guān)于意義的理解

        關(guān)于意義的理解是本節(jié)課的重點(diǎn),學(xué)生認(rèn)識(shí)上存在差異,教師在課堂中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考:同一幅圖,為什么既可以表示3/4,又可以表示6/8呢?學(xué)生通過(guò)觀察和思辨,完全可以自己歸納出分?jǐn)?shù)的意義。教師應(yīng)該放手讓學(xué)生嘗試在不斷思辨中總結(jié)歸納,提高學(xué)生的思辨能力。

        3.關(guān)于“平均”的再認(rèn)識(shí)

        關(guān)于部分和整體的意義模型,一般有四個(gè)渠道可以建立:范圍、長(zhǎng)度、集合和面積。分?jǐn)?shù)具有“無(wú)量綱性”,即分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系時(shí),不需要考慮物體的形狀和大小,只要看把這個(gè)整體平均分成了多少份,要表示這樣的幾份,這是分?jǐn)?shù)意義最本質(zhì)的地方。因此教師在課堂上應(yīng)直擊“平均”的意義。

        4.關(guān)于“相對(duì)”的再認(rèn)識(shí)

        分?jǐn)?shù)表示數(shù)量的多少具有相對(duì)性,因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的意義(份數(shù)定義)是基于部分與整體的關(guān)系而建構(gòu)的。同一個(gè)分?jǐn)?shù),因?yàn)檎w對(duì)象的不確定,分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)量也就不確定,這一點(diǎn)和整數(shù)表示數(shù)的多少有著很大的區(qū)別。學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)不久,這就更需要教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體會(huì)、感受、總結(jié)、領(lǐng)悟,進(jìn)而把分?jǐn)?shù)表示數(shù)的相對(duì)性認(rèn)識(shí)到位。

        【第三次教學(xué)】

        1.基于學(xué)情,復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義展示學(xué)生作品:

        師:你是怎樣表示3/4這個(gè)分?jǐn)?shù)的?

        生1:我把一個(gè)圓平均分成4份,表示這樣的3份,就是這個(gè)圓的3/4。

        師(展示學(xué)生作品):還有的同學(xué)是這樣表示3/4的,可以嗎?

        生2:可以。他們都把1個(gè)圖形平均分成了4份,表示這樣的3份,就是這個(gè)圖形的3/4。

        展示學(xué)生作品:

        師:有同學(xué)是這樣表示3/4的,可以嗎?為什么?

        生3:可以。他把4個(gè)蘋果平均分成了4份,表示3份,也是3/4。

        師:剛才不都是把一個(gè)正方形、一個(gè)圓、一條線段平均分成了4份,表示這樣的3份嗎?現(xiàn)在是4個(gè)蘋果,怎么也可以呢?

        生4:把4個(gè)蘋果也看成一個(gè)整體,平均分成4份,表示這樣的3份,就是4個(gè)蘋果的3/4。

        師:這4個(gè)蘋果大小不一樣,可以平均分嗎?

        生5:平均分是可以對(duì)面積大小進(jìn)行平均分,也可以對(duì)數(shù)量進(jìn)行平均分。

        師:還能畫出和這個(gè)不一樣的三嗎?

        展示學(xué)生作品:

        師:他們都表示了3/4,你覺(jué)得誰(shuí)的作品正確?

        生6:(2)號(hào)作品正確,因?yàn)樗?個(gè)蘋果平均分成了4份。

        生7:我選擇(1)號(hào)作品,因?yàn)楸硎镜煤芮宄?/p>

        生8:可他沒(méi)有把8個(gè)三角形平均分成4份。

        生9:可他把6個(gè)圈起來(lái)了,看得很清楚。

        生10:把8個(gè)三角形看成一個(gè)整體,平均分成8份,取這樣的6份,就是6/8。

        師:你們同意他的想法嗎?你怎么想?

        生11:平均分的份數(shù)不一樣,意義也就不一樣。

        展示學(xué)生作品:

        師:為什么這幾位同學(xué)的作品都可以表示3/4呢?

        師:雖然物體和數(shù)量都不一樣,但都可以把它們看成一個(gè)整體,平均分成了4份,表示這樣的3份,就是這個(gè)整體的3/4。

        師:同樣都表示了3/4,為什么這里是6個(gè),而那里是9個(gè)呢?

        生12:整體的個(gè)數(shù)不一樣,3/4所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量也就不一樣了。

        2.數(shù)形結(jié)合,建立整體量與部分量之間的關(guān)系

        師:如果一個(gè)圖形的1/4是□□,請(qǐng)畫出這個(gè)圖形。

        展示學(xué)生作品:

        師:同學(xué)們畫的圖形都不一樣,為什么都正確?

        師:1/4對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量確定了,那么單位“1”這個(gè)整體的總數(shù)量也就可以確定了,但形狀可以多樣。

        3.突破認(rèn)知,建立分率與具體量之間的關(guān)系

        習(xí)題:淘氣吃了一個(gè)蛋糕的1/4,笑笑吃了一盒蛋糕的1/4,誰(shuí)吃的多一些?

        師:?jiǎn)挝弧?”的數(shù)量不確定,所以1/4對(duì)應(yīng)的數(shù)量也不確定。

        【教后反思】

        1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)的改變

        學(xué)生在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí),到五年級(jí)上冊(cè)再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù),間隔時(shí)間略長(zhǎng)?;趯W(xué)生的前測(cè)結(jié)果,通過(guò)師生談話,可調(diào)取學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),在課堂上喚醒學(xué)生的有意注意,激活學(xué)生頭腦中“分?jǐn)?shù)”的認(rèn)知圖式,快速直觀地建立部分與整體的關(guān)系。

        2.探究知識(shí)、理解意義環(huán)節(jié)的改變

        在探究知識(shí)、理解意義的環(huán)節(jié)中注重引導(dǎo)學(xué)生深入觀察、比較、思辨,并讓學(xué)生在不斷思辨中理解“平均分的份數(shù)不一樣,意義也就不一樣”這一知識(shí)重點(diǎn),幫助學(xué)生深入理解概念本質(zhì),深化理解意義。

        3.“平均”認(rèn)識(shí)環(huán)節(jié)的改變

        在觀察4個(gè)蘋果的3/4這一環(huán)節(jié),當(dāng)學(xué)生得出“可以把4個(gè)蘋果看成一個(gè)整體,平均分成4份”時(shí),教師馬上質(zhì)疑“這4個(gè)蘋果大小不一”,學(xué)生在思辨中從面積一樣過(guò)渡到抽象出來(lái)的數(shù)量一樣,自然順暢,水到渠成。

        4.“相對(duì)”認(rèn)識(shí)環(huán)節(jié)的改變

        通過(guò)獨(dú)立嘗試、交流互動(dòng)、投影演示,讓學(xué)生根據(jù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行整體和部分之間的互推。用畫圖表征相對(duì)性,由“關(guān)系”會(huì)帶來(lái)“相對(duì)”的大小,這個(gè)意義上的分?jǐn)?shù),能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí),透過(guò)現(xiàn)象把握數(shù)學(xué)知識(shí)背后的核心問(wèn)題,進(jìn)一步幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué),領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。

        【磨課感悟】

        1.關(guān)于“平均”

        分?jǐn)?shù)有多種不同的意義,而在教材中,學(xué)生最初學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí),一般以“部分與整體的關(guān)系”這樣的意義切人。在這個(gè)意義上,一般需要特別強(qiáng)調(diào)“平均分”這個(gè)事情。當(dāng)把多個(gè)物體看成一個(gè)整體,把這個(gè)整體平均分時(shí),明明劃分的各個(gè)部分的面積不一樣,為什么會(huì)是“平均”?“平均”必須要的“一樣”在哪里?如何從“面積一樣”過(guò)渡到“抽象出來(lái)的數(shù)量的一樣”,應(yīng)該作為學(xué)生再次認(rèn)識(shí)“部分與整體關(guān)系”意義上的分?jǐn)?shù)的一個(gè)重要內(nèi)容。

        2.關(guān)于“1份”

        在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”中,“再認(rèn)識(shí)”的重點(diǎn)應(yīng)該在于從把“1個(gè)東西”平均分過(guò)渡到把“1個(gè)整體”平均分,也就是單位“1”從1個(gè)到多個(gè)。但從另一個(gè)角度來(lái)看,其實(shí)更應(yīng)該是怎么認(rèn)識(shí)“1份”。學(xué)生往往既關(guān)注份數(shù),又注意到了每份數(shù)的數(shù)量,具體的數(shù)量和份數(shù)對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)起到了干擾作用。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑,讓學(xué)生在比較中辨析、在辨析中明理,幫助學(xué)生更深刻地理解“1份”的含義,加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的全面理解。

        3.關(guān)于“相對(duì)”

        除了再次認(rèn)識(shí)“平均”和“1份”外,有一個(gè)目標(biāo)也很重要,因?yàn)檫@是部分與整體的關(guān)系的意義,所以由“關(guān)系”會(huì)帶來(lái)“相對(duì)”的大小,也就是說(shuō),這個(gè)意義上的分?jǐn)?shù),不能僅比較分?jǐn)?shù)的絕對(duì)數(shù)值大小,還要考慮其對(duì)應(yīng)的整體是多少。

        一次磨課,就是一次“歷劫”,是一次學(xué)習(xí)、實(shí)踐和思考的過(guò)程,也是一次合作、反思與教學(xué)創(chuàng)新的過(guò)程,更是教師自身教學(xué)能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過(guò)程。一次次的“改課”,就是踐行“課改”思想、理念與方法的過(guò)程。讓我們變“劫”為“節(jié)”,在一次次“歷劫磨難”中拔節(jié)生長(zhǎng),蛻變成一個(gè)有教育智慧和情懷的教師。

        (責(zé)編金鈴)

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