周正娟

[摘要]“圖形與幾何”領(lǐng)域知識自身的邏輯性和教材的編排方式都為實施指向整體建構(gòu)的教學(xué)提供了現(xiàn)實基礎(chǔ)，只有解除碎片化教學(xué)的弊端，通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓學(xué)生悟得知識的內(nèi)在本質(zhì)和思想方法上的共性，明晰認(rèn)知的主線和各知識領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)，才能變革學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生思維能力，促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]“圖形與幾何”教學(xué);整體建構(gòu);系統(tǒng)性;結(jié)構(gòu)化

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）26-0003-04

小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識，是學(xué)生形成邏輯思維能力、發(fā)展空間觀念、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的重要載體。教學(xué)時有意識地幫助學(xué)生找到知識內(nèi)在的結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵聯(lián)結(jié)點、思想體系，進(jìn)行整體性的建構(gòu)，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具全局性，更有生長力，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革具有重要意義。

一、“圖形與幾何”領(lǐng)域教材編排體系解析

知識的系統(tǒng)化是實施整體建構(gòu)教學(xué)的前提。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)造了一個具有極強(qiáng)邏輯性的幾何世界，他從“點、線、面、距離、長度、角度”出發(fā)，借助幾條簡單的公理設(shè)定推出了整個幾何邏輯體系?！皥D形與幾何”領(lǐng)域知識內(nèi)部強(qiáng)大的邏輯性和結(jié)構(gòu)性，昭示著在教學(xué)中實施“指向整體建構(gòu)”教學(xué)的必要性。小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫，既尊重知識自身的邏輯性，也遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對教材編寫的“體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性”的要求。

以蘇教版教材為例，其在“圖形與幾何”領(lǐng)域一共編排了43個知識點，其中“圖形的認(rèn)識”板塊有l(wèi)5個知識點，“測量”板塊有17個知識點，“圖形的運動”板塊有5個知識點，“圖形與位置”板塊有6個知識點，各板塊的內(nèi)容編排上基本遵循了從“初步辨認(rèn)”到“掌握特征”的螺旋上升式展開的原則。同時，在編排重要課時之前，往往都會有一些鋪墊性、準(zhǔn)備性的課時，以此來輔助重要內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

以“圖形的認(rèn)識”這個板塊的編排結(jié)構(gòu)為例（如圖1），整個認(rèn)知沿著“立體一平面一立體”的主線展開，都是由“初識”“辨認(rèn)”到“認(rèn)識特征”。中途有為認(rèn)識圖形所做的知識準(zhǔn)備，如在認(rèn)識了長方形和正方形之后，并沒有急于進(jìn)入“三角形、平行四邊形和梯形”的學(xué)習(xí)，而是穿插編排了“直線、射線和角的認(rèn)識”“垂線和平行線”等內(nèi)容，這為更好地探究三角形、平行四邊形、梯形的特點做了準(zhǔn)備;也有像直觀認(rèn)識立體圖形、兩次“觀察物體”這樣為高年級認(rèn)識立體圖形特征做的方法、能力上的準(zhǔn)備。在認(rèn)識圖形的過程中，重視由生活經(jīng)驗遷移過來的對空間的認(rèn)識過渡到對平面的認(rèn)識，最后發(fā)展為理解空間與平面的關(guān)系。學(xué)生的空間觀念在學(xué)習(xí)過程中逐漸發(fā)展起來。

教材的這些編排，既是對兒童認(rèn)知特點和身心發(fā)展規(guī)律的尊重，也表明了在“圖形與幾何”教學(xué)時要拎清主次、分清輕重、突出重點、明確主線，這些都是在小學(xué)階段開展基于整體建構(gòu)的“圖形與幾何”教學(xué)的有力支撐。

二、“碎片化拼湊”教學(xué)現(xiàn)象及其歸因分析

“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)普遍存在重知識輕結(jié)構(gòu)、重課時輕統(tǒng)整、重練習(xí)輕勾連、重靜態(tài)辨識輕動態(tài)感知等現(xiàn)象，這就使得學(xué)生獲得的對圖形的認(rèn)知呈碎片化狀態(tài)。究其原因，一方面是“圖形與幾何”內(nèi)容編排在不同年級教學(xué)，各知識板塊相關(guān)知識點的編排前后相隔比較長，若教師在教學(xué)時不能吃透知識的本質(zhì)、共通的結(jié)構(gòu)、靈魂性的思想方法，就不能及時地在知識瀕臨遺忘和斷層時給學(xué)生強(qiáng)化和鞏固。比如“圖形的運動”“圖形與位置”知識板塊，內(nèi)容相對較少，長期的不接觸、不喚醒，都容易造成碎片化的認(rèn)知。另一方面，教師自身對“圖形與幾何”的認(rèn)知存在差異，一些教師對教學(xué)內(nèi)容僅有淺表的理解，對其在整個知識體系中的位置沒有全局認(rèn)識，缺少主線意識，這就造成了其在教學(xué)時僅僅著眼于某一課時的教學(xué)內(nèi)容，而忽略知識系統(tǒng)的整體勾連。

碎片化的知識呈現(xiàn)零散狀，而系統(tǒng)化的知識是整體的，是具有邏輯性的。兒童的學(xué)習(xí)倘若都是碎片化的、點狀的，那么他們的學(xué)習(xí)只是不斷擴(kuò)充著自己的知識，這些知識孤零零地漂浮在腦海中，彼此之間缺少聯(lián)系。長此以往，兒童獲得的也就僅僅是一個沒有靈魂的碎片化的拼圖，他們不能理解這些散裝的知識內(nèi)部的邏輯關(guān)系，不能領(lǐng)略一整片森林的風(fēng)景。

碎片化認(rèn)知的弊端還在于增加了兒童學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，由于沒有掌握知識、思想、方法上的共通之處，沒有掌握同一類知識的本質(zhì)特征，就不能準(zhǔn)確區(qū)分各知識點在知識體系中的位置。兒童學(xué)習(xí)“幾何與圖形”知識的主要途徑是“直觀感知一操作確認(rèn)一演繹推理一度量計算”，標(biāo)準(zhǔn)化測試易于測量后兩個環(huán)節(jié)的掌握情況。為防止知識被遺忘，教師往往會用大量重復(fù)性的練習(xí)來強(qiáng)化學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，卻不去關(guān)注概念、公式、性質(zhì)產(chǎn)生的背景、原因、必要性等，不去前瞻后顧，尋找知識、方法間的共通之處，不去拔高一層縱覽知識系統(tǒng)的全貌，這樣的學(xué)習(xí)無疑缺少了生長的力量和邏輯的魅力。

三、指向整體建構(gòu)的教學(xué)策略

指向整體建構(gòu)的“圖形與幾何”教學(xué)是建立在圖形知識系統(tǒng)和學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)、活動經(jīng)驗之上的，以整體關(guān)聯(lián)為抓手，以動態(tài)建構(gòu)為核心，以發(fā)展思維為導(dǎo)向，以基礎(chǔ)學(xué)力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo)追求的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方式和方法。在實際操作時，不妨從以下幾個方面展開。

1.領(lǐng)悟知識，緊扣本質(zhì)用結(jié)構(gòu)

“圖形與幾何”概念、定義、性質(zhì)的教學(xué)不應(yīng)單純在概念的文字表述上下功夫，而要把重點放在通過“數(shù)學(xué)地交流”促進(jìn)學(xué)生對其實質(zhì)的領(lǐng)悟。學(xué)生的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)碎片化的狀態(tài)，很重要的一點就是學(xué)生缺少發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容間的共性、知識點背后的結(jié)構(gòu)的能力。教師如果能有意識地培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的“慧眼”去發(fā)現(xiàn)“圖形與幾何”學(xué)習(xí)內(nèi)容間內(nèi)在的邏輯性，“四兩撥千斤”，學(xué)生學(xué)習(xí)起來自然輕松。

比如計量單位的教學(xué)，長度單位、面積單位、體積（容積）單位是從一維到二維的測量，再到三維的測量，其內(nèi)部的本質(zhì)是什么呢？細(xì)細(xì)思考就會發(fā)現(xiàn)，其本質(zhì)都是計量時需要確定一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，使得表達(dá)計量的情況時別人能夠明白計量情況，對計量的結(jié)果不存異議。這時候就需要一把大家公認(rèn)的“尺”，用這把“尺”測量之后，就能準(zhǔn)確地計量線的長短、面和體的大小。悟透了其本質(zhì)，就能夠找到計量單位學(xué)習(xí)的“三步曲”：第一步，定標(biāo)準(zhǔn)：在多樣的、個性化的計量標(biāo)準(zhǔn)中確定一個具有通用價值的計量標(biāo)準(zhǔn)，獲得大家的認(rèn)可;第二步，去測量：用統(tǒng)一的計量標(biāo)準(zhǔn)去測量長度、面積或體積（容積）等;第三步，得結(jié)果：可以通過計數(shù)得出所需測量的長度、面積或體積（容積）中含有多少個計量單位，當(dāng)然這個結(jié)果還可以通過計算得出，重點是得出的結(jié)果是大家都能理解的，能明晰其量值的。不管是長度單位、面積單位，還是體積（容積）單位，在教學(xué)時遵循這樣的三步，學(xué)習(xí)方法上的結(jié)構(gòu)自然就出來了。在教學(xué)長度單位時，讓學(xué)生深刻地理解計量單位學(xué)習(xí)“三步曲”的意義，到教學(xué)面積單位時，喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)長度單位的經(jīng)驗，也利用計量單位學(xué)習(xí)“三步曲”，嘗試進(jìn)行類比推理。結(jié)構(gòu)一現(xiàn)，“活水”自然來：不僅看到知識生長的“源頭活水”，還預(yù)見到知識生長的“未來模樣”。這樣的結(jié)構(gòu)建立在對計量單位本質(zhì)的理解之上，對同類型知識具有統(tǒng)攝作用，滲透、鋪墊得越早，越利于學(xué)生進(jìn)行角的度量、體積（容積）單位的建構(gòu)，甚至“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域計量單位的建構(gòu)，結(jié)構(gòu)的一致對同質(zhì)知識的學(xué)習(xí)能產(chǎn)生較強(qiáng)的正遷移作用，常常起到事半功倍的效果。

2.探尋共性，前瞻后顧做統(tǒng)領(lǐng)

數(shù)學(xué)研究具有普遍的思想方法，其背后體現(xiàn)的是整體性思維。譬如轉(zhuǎn)化思想就是“圖形與幾何”內(nèi)容極其重要的思想，把不能解決的新問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的舊問題，把繁難復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單易懂的問題，這些具有普遍意義。如果學(xué)生能夠悟得這些數(shù)學(xué)思想，利用這些思想方法去統(tǒng)領(lǐng)各個知識點，就能讓學(xué)到的知識連成線、織成網(wǎng)、架成體。

在教學(xué)梯形的面積計算時，教師出示問題：我們學(xué)過了平行四邊形、三角形的面積計算公式，回憶一下是怎樣研究它們的？在喚醒學(xué)生這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗之后，讓學(xué)生嘗試研究梯形的面積可以怎么計算。學(xué)生給出的方法是多樣的。教師的教學(xué)不應(yīng)止于學(xué)生掌握了梯形面積計算公式，還應(yīng)有意識地指導(dǎo)學(xué)生將幾種推導(dǎo)方法進(jìn)行梳理（如圖2）。這樣，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)：方法①②③是通過分割，將梯形面積轉(zhuǎn)化成求長方形、三角形、平行四邊形的面積，是由推導(dǎo)平行四邊形面積計算公式的思路遷移過來的;方法④是通過添補(bǔ)一個完全相同的梯形，將求梯形面積的問題轉(zhuǎn)化成求平行四邊形面積的問題，是由三角形面積計算公式推導(dǎo)的思路遷移過來的。至此，得到了幾類平面圖形面積計算公式的共性：都是運用了轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化思想是推導(dǎo)圖形面積計算公式的“魂”。

像上述轉(zhuǎn)化思想的運用是以學(xué)習(xí)內(nèi)容為載體，將學(xué)生的研究經(jīng)驗植入其中，既能增加學(xué)生對知識的整體認(rèn)知，又能培養(yǎng)學(xué)生用幾何研究的“基本套路”進(jìn)行思考的習(xí)慣。這種將思想方法“普適”，將研究經(jīng)驗“一般化”，培養(yǎng)的是學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)性。

3.明晰主線，抓住關(guān)聯(lián)顯整體

“圖形與幾何”教學(xué)的價值體現(xiàn)在對兒童空間思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生對圖形的認(rèn)知起于對客觀空間的經(jīng)驗，經(jīng)過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起平面圖形的網(wǎng)絡(luò)，然后再由平面圖形的認(rèn)知跨越到立體圖形的空間架構(gòu)。圖形的世界如此豐富，要緊緊抓住“點一線一面一體”這條邏輯線，教學(xué)才能突出重點。在認(rèn)識圖形時，通過反復(fù)的滲透、點撥，讓學(xué)生知道所有的幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點動成線，線動成面，面動成體?！包c”是研究“線”的關(guān)鍵元素，“點”和“線”是研究“面”的關(guān)鍵元素，“點”“線”和“面”是研究“體”的關(guān)鍵元素（如圖3）。

一年級上冊通過遷移學(xué)生玩積木、玩玩具的經(jīng)驗引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識立體圖形長方體、正方體、圓柱;教學(xué)一年級下冊時，如果教師通過讓學(xué)生玩“蓋章”的游戲，將長方體、正方體、圓柱、三棱柱等形狀的印章在紙面上按一按，從實物中抽象出長方形、正方形、圓、三角形這些平面圖形，學(xué)生就能在玩游戲的過程中感悟到“體”上有“面”，“面”從“體”上來。到二年級教學(xué)“角的初步認(rèn)識”時，讓學(xué)生在長方體、正方體、圓柱這些立體圖形上找熟悉的平面圖形。學(xué)生在長方體上找到了長方形，在正方體上找到了正方形，在圓柱上找到了圓。此時，課件動態(tài)展示“面”從“體”上而來的過程?！啊嫔嫌钟惺裁矗俊睂W(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)“面”上有“點”，“面”上有“線”，“面”上有“角”……角是個新圖形，于是學(xué)生將目光聚焦于角，開始新知識的學(xué)習(xí)。

再如認(rèn)識直線、射線和線段時，讓學(xué)生感受“點”動成“線”;認(rèn)識長方形、正方形、平行四邊形時，通過線段的平移，讓學(xué)生感受“線”動成“面”;認(rèn)識立體圖形時，再通過長方形沿直線方向運動形成長方體，正方形沿直線方向運動形成正方體，圓沿直線方向運動形成圓柱，讓學(xué)生體會“面”動成“體”。這樣，學(xué)生就能感受到知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成整體性的認(rèn)知。

4.跨域鏈接，著眼全局促通透

“圖形與幾何”內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求學(xué)生具有良好的空間想象力，如果學(xué)生的空間觀念不好，則很難理解圖形知識。這時，教師可以鏈接“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生觸類旁通，達(dá)到認(rèn)識上的通透。

在認(rèn)識射線和直線時，“射線和直線無限長”是理解的難點。為了突破這一教學(xué)難點，可以鏈接學(xué)生認(rèn)數(shù)的經(jīng)驗。首先，教師出示一年級認(rèn)數(shù)的課本頁面：“我們認(rèn)識0、1、2、3、4-的時候，會在直尺上表示它們。后來我們認(rèn)識了十幾、二十幾……這把尺只要往右加長，我們認(rèn)識的數(shù)都可以在上面排一排。數(shù)有無限多，這把尺就要向右無限延展。想一想，如果這把尺上的刻度、數(shù)字都消失了（課件顯示從尺上抽象出線的過程），只會留下什么？”學(xué)生自然就能聯(lián)想到，留下的是一條射線（如圖4）?！耙院竽銈冞€會認(rèn)識比0更小的數(shù)——負(fù)數(shù)，這把尺就要向左延展（課件顯示尺向左延展的動態(tài)過程，并逐漸隱去數(shù)和刻度），這時你又看到了什么線呢？”

將認(rèn)數(shù)的經(jīng)驗遷移到對射線和直線的理解上來：數(shù)有無數(shù)個，線有無限長;能向一端無限延長的是射線，兩端都能無限延長的是直線。換個角度來理解，學(xué)生的學(xué)習(xí)變得通透，具有靈性。

實施指向整體建構(gòu)的小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)是避免兒童碎片化認(rèn)知，突出知識本質(zhì)特征，重視知識間的關(guān)聯(lián)與溝通，實現(xiàn)幾何認(rèn)知系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的回歸與突圍的一個視角。它尊重了兒童認(rèn)識世界的規(guī)律，順應(yīng)了幾何學(xué)自身邏輯性強(qiáng)的特點，促進(jìn)了兒童整體性思維、全局性觀念的發(fā)展，對改變兒童學(xué)習(xí)方式、提升兒童數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)極具意義。

【本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”的階段研究成果，課題批準(zhǔn)號：DHA190453。】

（責(zé)編金鈴）