摘要：聚焦學生在數(shù)學學習中思維的發(fā)生、發(fā)展與表達過程，結(jié)合具體的教學實踐，闡述了在數(shù)學課堂中讓學生思維可見的著眼點以及教學路徑和方法，并有效利用學生數(shù)學思維過程中的生成性資源，探尋學生數(shù)學思維的發(fā)展點，促進學生的思維向更高層次生長。

關(guān)鍵詞：數(shù)學思維;思維起點;思維過程;思維成長

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）12A-0069-04

所謂“讓思維可見”，是指教師通過一定的教學路徑和方法，參與到學生思維的發(fā)生、發(fā)展與表達過程中來，讓學生的內(nèi)隱性思維外顯。借助可以“看得見”的數(shù)學思維，教師可以深入了解學生的思維脈絡(luò)，能夠循著學生的思維軌跡開展數(shù)學教學活動，提升學生的思維品質(zhì)。

一、明晰讓思維可見的著眼點

1.思維的起點可見

思維的起點，簡單地說，就是指學習和認知新的知識時已有的相關(guān)知識與能力[1]，即本來的、最初的、原始的思維狀態(tài)。學生是帶著各自獨立的前認知背景投入新知學習的，正如教育心理學家奧蘇泊爾所說，“影響學習最重要的因素是學習者已經(jīng)知道了什么?！倍磐凇段覀?nèi)绾嗡季S》一書中指出：“思維的緣由是遇到了某種困惑或懷疑（總是要有某樣具體事物來引發(fā)和激起思維）?！盵2]郅庭瑾的《為思維而教》中談道，“思維始于問題”[3]。面對新的問題情境，學生的原始思維是怎樣的呢？讓學生思維的起點可見，這樣教師才能順應學生的思維漸進引導，讓學生在原有思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的、更準確的思維路徑。

例如教學蘇教版小學數(shù)學四年級下冊“用數(shù)對確定位置”一課，學生學習本課之前，在日常生活中或多或少積累了一些描述物體所在位置的經(jīng)驗。為了調(diào)動學生的原有經(jīng)驗，教師創(chuàng)設(shè)了“找找我的好朋友”游戲情境，并提出數(shù)學問題：你能用自己想到的方式把最好的一個朋友在這間教室的位置寫下來嗎？學生用多種多樣的表述方法寫出了好朋友在教室中的位置，教師將學生的幾種典型原始思維一一呈現(xiàn)，引導學生在猜謎的過程中發(fā)現(xiàn)：光憑一個方位詞不能準確判斷出好朋友的位置;沒有說清數(shù)的方向，就會有不同的可能;觀察的角度不同也會帶來爭議。那么確定位置到底蘊藏著怎樣的學問？為了統(tǒng)一表達方式，避免爭議，又有哪些人為的規(guī)定呢？這一困惑立刻激起學生新的思維，引發(fā)學生用一致的標準表示位置的需要，于是學習新知識的興趣和動力自然發(fā)生。

2.思維的過程可見

思維包括分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷和推理等基本的過程。數(shù)學教學不僅要關(guān)注學生應該學到什么，還要重視他們是怎樣學到的[4]，即要展現(xiàn)學生數(shù)學思維的過程，培養(yǎng)一種關(guān)注事物發(fā)展和變化過程的思維習慣。成尚榮先生在《教學律令》一書中指出，“教師不僅要看得見學生的學習狀態(tài)、學習方式，而且要看得見學生的思維方式、思維過程”[5]，而“‘看得見，就是要讓兒童的學習過程，包括思維過程暴露出來”[6]。

仍以“用數(shù)對確定位置”一課為例。數(shù)對其實是一種約定俗成的數(shù)學符號，我們當然可以采取簡單告訴或讓學生用自學的方式了解“教室中小軍的位置是‘第4列第3行，用數(shù)對表示是（4，3）”，但這樣的話，學生就很難體會到數(shù)學符號發(fā)展的過程。對于數(shù)學規(guī)定，我們不應只看到它的歷史規(guī)定性，更應看到其源頭閃爍著人類的自由思維[7]。那么第4列第3行更簡潔的寫法是怎樣的呢？學生經(jīng)過自主思考、小組交流，陸續(xù)得出以下8種簡潔的寫法：①4列3行 ②4—3③4，3 ④4 ：3 ⑤4L3H ⑥4↑3→ ⑦4 ;3 ⑧列4 行3。在教師的引導下，學生參與創(chuàng)造符號的過程，呈現(xiàn)了寶貴的過程性思維。在經(jīng)歷了個性化地用符號表示到篩選統(tǒng)一的思維過程，學生等于走了一遍數(shù)學家研究的道路，他們的認知會得到升華，形成良好的學科感受。

3.思維的成長可見

關(guān)注學生思維的起點和思維的過程，最終目的是看得見學生思維的成長。筆者認為思維的成長就是在解決問題及形成和掌握概念的過程中，學生思維的變化和提升。正如哈佛大學教授愛莉諾·達克沃斯的觀點：“教學，不是教知識，而是讓學生建構(gòu)觀念，誕生精彩的觀念”[8]?？梢哉f，精彩觀念誕生的過程就是思維成長的過程。

例如教學蘇教版小學數(shù)學五年級上冊“怎樣圍長方形面積最大”一課，第一個問題情境是農(nóng)民伯伯王大叔面臨的困惑：用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？理解題意后，教師先請學生獨立思考，將自己的想法寫在學習單上。教師留心觀察學生的完成情況，發(fā)現(xiàn)學生呈現(xiàn)出了多個層次、不同水平、異常豐富的思維過程：有用畫木條的方式來思考的簡單直觀型思維;有直接將22拆分成兩個數(shù)相乘的概念不清型思維;有只想到一兩種圍法的片面型思維;也有能一一列舉、有序思考，甚至直指規(guī)律的高水平思維。如小孫同學一開始列了幾組算式，后來又列表進行了梳理，學習單上有明顯的修改痕跡。她說道：“我先用22除以2，算出一條長和一條寬的和是11，然后我想了一下，5加6等于11，4加7也等于11，而5乘6得30平方米的面積更大一些。但是我感覺這樣算有點混亂，于是我想到用列表的方法，先按照順序把所有的可能性都列出來，接著通過比較就能發(fā)現(xiàn)當長是6米、寬是5米時面積最大，這樣就更加清晰了?！毙O剛說完，同學們紛紛鼓起掌來。瞧，學生依靠自己在經(jīng)驗中的摸索、體悟和積累，思維在成長，而通過生生、師生間進一步的對話交流，那些起初思維不夠清晰的學生能夠體會到什么方法對解決這一題是有效的，有序思考、一一列舉的策略有怎樣的價值，從而逐漸掌握應該怎樣，優(yōu)化自己的思維方式。

二、讓思維可見的有效策略

要透過大腦這一“黑匣子”，讓學生的思維可見，我們就需要充分激活學生的多重感官，參與思維的發(fā)生、發(fā)展與表達的過程中來，讓思維物化地留下痕跡。

1.說出來，借助語言讓思維可見

語言是思維的外殼，是思維最本質(zhì)的工具。以問題引領(lǐng)學生獨立思考，當其在對話的過程中引導學生將自己的想法說出來，這樣既給了學生展現(xiàn)思維的機會，也給了教師了解學生思維水平、方向和動態(tài)的機會。

例如教學蘇教版小學數(shù)學五年級上冊“釘子板上的多邊形”，這節(jié)課要引領(lǐng)學生沿著數(shù)學家皮克的探究足跡，感悟“有史以來最重要的100個數(shù)學定理之一”——皮克定理（即釘子板上多邊形的面積和釘子數(shù)之間的關(guān)系）。課前學生結(jié)合學習單已經(jīng)進行了初步的研究，因為學習單上提供的四個多邊形內(nèi)部釘子數(shù)只有1個，所以學生主要關(guān)注的是多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。經(jīng)過小組交流、全班匯報，上課不到十分鐘，學生就概括出了規(guī)律：多邊形的面積是多邊形邊上釘子數(shù)的一半。教師適時拋出了問題：“看來咱們已經(jīng)得出規(guī)律了，皮克定理挺簡單的嘛！你有什么想法？”短暫的靜默后，學生陸續(xù)舉起手來，一位學生說：“僅憑這四個釘子板上的平面圖形就能夠證明所有釘子板上的平面圖形都符合這個規(guī)律嗎？”還有學生提出：如果這么容易得出來的話，那皮克定理怎么能稱得上是“有史以來最重要的100個數(shù)學定理之一”呢？于是，這些精彩的發(fā)言引發(fā)了新一輪的驗證、探究活動，也將大家的思維進一步引向深入。

2.畫出來，借助表象讓思維可見

表象是感知到思維過渡的重要環(huán)節(jié)和橋梁。借助畫圖表征抽象的思維，讓內(nèi)隱的思維活動外顯，不僅是簡單易行的方法，也為教師更好地“觀察”學生的思維提供了有力支撐。

例如教學蘇教版小學數(shù)學三年級下冊“小數(shù)的初步認識”時，由于學生在日常生活中已經(jīng)積累了不少關(guān)于小數(shù)的感性經(jīng)驗，所以教師直接引導學生用直觀圖表示出對一位小數(shù)0.1意義的理解，并提出畫圖要求：“現(xiàn)在規(guī)定一張正方形紙用數(shù)‘1表示，那么0.1有多大呢？請在這張正方形紙上畫出來?！睂W生們呈現(xiàn)出了不同的表征方式：有的學生憑感覺在正方形紙上分出了大概的一小塊;有的學生將正方形平均分成了4份，涂色表示出了其中的1份（顯然，這一塊太大了）;更多的學生將正方形紙平均分成10份（分法略不同），其中1份的大小就是0.1。透過小小的示意圖，教師可以“看到”學生對0.1的初步理解。畫出來，使頭腦中的表象得以視覺化，不僅折射出學生不同的思維水平，而且為教師了解學生的思維現(xiàn)狀，進而做出有針對性的引導提供了有力的支撐。

3.做出來，借助操作讓思維可見

現(xiàn)代教學論主張：要讓學生動手做數(shù)學。動手操作與實踐，可以幫助學生多種感官參與學習，展現(xiàn)其內(nèi)部的思維過程，使教師有機會探尋學生的思維軌跡，優(yōu)化學生的數(shù)學思維發(fā)展路徑。

例如，蘇教版小學數(shù)學四年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”一課重在讓學生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。依托學生的認知起點“三角形的內(nèi)角和”，他們首先體會到探索多邊形內(nèi)角和的規(guī)律應從四邊形入手比較好。那么怎樣求四邊形的內(nèi)角和呢？教師引導學生通過動手操作進行研究。多數(shù)學生能借鑒三角形求內(nèi)角和的經(jīng)驗，用測量法（量出每個角的度數(shù)，再相加）和撕拼法（撕下四個角，拼在一起形成一個周角）求出四邊形的內(nèi)角和是360度。還有的學生能從特殊聯(lián)想到一般，即由長方形和正方形的內(nèi)角和是360度推想到所有四邊形的內(nèi)角和都是360度。更有學生找到四邊形和三角形內(nèi)角和之間的聯(lián)系，把四邊形沿對角線分成兩個三角形，就把四邊形的內(nèi)角和，轉(zhuǎn)化成求兩個三角形內(nèi)角和的問題了。這種方法不僅有所創(chuàng)新，更是抓住了探索多邊形內(nèi)角和規(guī)律的主旨。不同的做法，折射出的恰是學生不同的思維路徑和水平，教師可以組織學生將幾種做法進行對比，在交流、比較中尋求較好的方法，在相互借鑒、分享、學習的過程中，提升自己的認知和思維水平。

三、有效應對學生思維過程中的問題

在思維可見的數(shù)學課堂中，教師發(fā)現(xiàn)學生呈現(xiàn)的思維有時是獨特的、令人印象深刻的、閃閃發(fā)光的;有時卻是不成熟的、充滿困惑的，甚至錯誤的。而且越是在充分尊重學生思維的課堂上，思維過程中的問題越是頻繁出現(xiàn)，常常令教師措手不及、勉強應對。其實這些思維中的偏差往往蘊藏著閃光點，是非常寶貴的課堂生成性資源。我們應當有效利用這些有價值的生成性資源，把學生思維過程中的問題轉(zhuǎn)化成新的教學契機，使之成為促進學生思維發(fā)展的生長點。

1.在思維模糊處，耐心傾聽

思維模糊是指思維主體在思維的過程中，對基本的概念、規(guī)律或知識的本質(zhì)沒有準確掌握，造成思維不清晰，思考不透徹。例如：在計算-3×4=（ ）時，班里幾乎所有學生的答案都是-12，唯獨一個學生的得數(shù)是9，引起全班同學的哄堂大笑。在教師的鼓勵下，這個學生大膽地闡述了自己的想法，他是根據(jù)數(shù)軸思考的（如圖1）：-3×4就是4個-3，-3“翻四個跟頭”不就到9了嗎？

案例中的學生能夠想到用數(shù)軸來理解算理，展現(xiàn)了優(yōu)越的直觀性思維。教師首先應肯定他借助數(shù)軸理解算理的方法是可取的，然后繼續(xù)追問：“現(xiàn)在我們就用數(shù)軸來思考，大家覺得這位同學的想法對嗎？”從而引導學生明晰負數(shù)的本質(zhì)：負數(shù)是比0小的數(shù)，在數(shù)軸上，負數(shù)應該在0的左邊。-3×4就是4個-3，-3的確要“翻四個跟頭”，但不能從-3起往右翻，而應該從0起往左翻，計算的結(jié)果自然是-12了。這樣，學生的思維就能從模糊逐步走向清晰。

當學生出現(xiàn)思維模糊的時候，教師不要著急，更不要武斷地把結(jié)論直接告訴學生，而是應該耐心傾聽學生的思路，讓學生的思維可見，而后循著學生的思路進行分析、討論、交流，讓學生自己找到問題所在。

2.在思維沖突處，巧用爭論

思維沖突是指雙方對同一事物有不同看法、不同理解和不同態(tài)度，在認知上出現(xiàn)了矛盾，甚至出現(xiàn)了對立。這種沖突主要體現(xiàn)在課堂的交流互動中，教師要善于利用學生的思維沖突，把它用作調(diào)動學生積極思維的催化劑。

例如，“認識平行四邊形”一課，怎樣證明平行四邊形的對角相等，引發(fā)了兩個學生的爭議。女孩認為只要把平行四邊形的兩個對角剪下來拼在一起，兩角重合就能說明平行四邊形的對角相等。男孩則認為女孩必須保證剪下來的部分形狀完全相同，如果剪下來的一邊大一邊小，怎么可能相等呢？雙方各執(zhí)己見，爭持不下。此時，教師沒有做任何評判，而是把兩個人爭論的問題拋給更多的學生：“大家覺得比較平行四邊形的兩個對角，我們究竟要比哪里呢？”學生深入地研究和思考，明確了角的大小與兩邊張開的大小有關(guān)，與邊的長短無關(guān)，所以剪下來的部分形狀可以不相同。這樣，借助思維認知的沖突點就可以幫助學生對角的概念有更清晰的認識。

3.在思維定式處，對比辨析

思維定式又稱“習慣性思維”，是指學生按習慣的、比較固定的方式去認知事物或作出行為反應。消極的思維定式把學生的思維禁錮在原有的知識范圍內(nèi)，不能深入認識事物的本質(zhì)，阻礙了思維的發(fā)展。

例如，教學四年級下冊運算律和簡便計算的內(nèi)容，練習中有這樣兩道題：25+75×3和360÷9×4。很多學生不約而同地寫出了如下的計算過程：

25+75×3360÷9×4

=（25+75）×3 =360÷（9×4）

=100×3 =360÷36

=300? =10

可以說，學習這一單元后，學生頭腦中“簡便運算”的意識特別強，不少學生只注重簡便運算的表面形式，或者只關(guān)注到其中兩個數(shù)能湊整，而忽視了題目本身是否具備使用運算律或運算性質(zhì)進行簡便運算的特征。教師可以將學生正確的和錯誤的做法放在一起，并提問：“你贊同哪一種計算方法？請說明理由?！币龑W生在對比、辨析中明確：在進行計算時，首先要觀察這道題的特點和運算的順序，不能盲目簡算，從而突破消極的思維定式，促進思維向更高層次生長。

郅庭瑾在《為思維而教》一書中說道：“思維本身就是一個不斷提問、不斷解答、不斷追問、不斷明朗的過程?！盵9]教師如果能及時捕捉并充分利用學生思維過程中的生成性資源，將問題重新拋給學生，搭建對話的平臺，來引發(fā)學生進一步的思考和辨析，就能促進學生思維的發(fā)展，令思維之渠暢清。

參考文獻：

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[5][6][8]成尚榮.教學律令[M].上海：華東師范大學出版社， 2018：105，11，前言.

責任編輯：李韋

Make Thinking Visible and Promote Thinking Growth

Kang Qian

（Damalu Primary School， Xuzhou 221000， China）

Abstract： Focusing on the occurrence， development and expression process of students' thinking in mathematics learning， combined with specific teaching practice， this paper expounds the focus， teaching paths and methods of making students' thinking visible in mathematics classrooms， and effectively utilizes students' generative resource to explore the development points of students' mathematical thinking and promote the growth of students' thinking to a higher level.

Key words： mathematical thinking; starting point of thinking; thinking process; thinking growth

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2018年度課題“構(gòu)建‘自主開放，思維可見的數(shù)學課堂研究”（D/2018/02/166）階段性成果。

收稿日期：2020-10-15

作者簡介：康倩，徐州市大馬路小學（江蘇徐州，221000），高級教師。