周根旺　王嬌

[摘 要]概率是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要知識(shí).這部分內(nèi)容由于問(wèn)題情境源于實(shí)際，貼近生活，所以學(xué)生樂(lè)學(xué)且易于接受，但學(xué)生往往因無(wú)法深刻理解概念的本質(zhì)，從而陷入學(xué)習(xí)的瓶頸期，導(dǎo)致難以提高.因此，基本概念的教學(xué)對(duì)提高概率教學(xué)效率至關(guān)重要.

[關(guān)鍵詞]概率統(tǒng)計(jì);概念教學(xué);高中數(shù)學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2020）20-0017-02

人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)都要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，即由感覺(jué)到知覺(jué)，逐漸獲得對(duì)事物的感性認(rèn)知，在此基礎(chǔ)上，再通過(guò)對(duì)比、分析、綜合、概括、抽象等一系列的邏輯思考，把感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知，最終形成概念.概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維方式.高中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容貼近生活，學(xué)生很容易形成感性認(rèn)知，但概念本質(zhì)的把握必須由感性認(rèn)知上升到理性認(rèn)知，由于理性認(rèn)知對(duì)學(xué)生抽象思維要求較高，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中無(wú)法深刻理解概念的本質(zhì)，從而進(jìn)入學(xué)習(xí)的瓶頸期，導(dǎo)致成績(jī)難以提升.因此，基本概念的教學(xué)在概率教學(xué)中尤為重要.

本文將結(jié)合教學(xué)案例從生活化情境引入、概念辨析、變式教學(xué)等方面談?wù)劯拍罱虒W(xué)的幾點(diǎn)建議.

一、用生活化的問(wèn)題情境引入概念

概率知識(shí)具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，因此教與學(xué)顯得有些吃力.情境教學(xué)法運(yùn)用在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.對(duì)于情境中設(shè)置的問(wèn)題，一要聯(lián)系學(xué)生實(shí)際，二要注意情境的典型性.教師要多選取能反映概念本質(zhì)的直觀素材，使學(xué)生在具體問(wèn)題的體驗(yàn)中感知概念，形成感性認(rèn)識(shí);要啟發(fā)學(xué)生在體驗(yàn)中自主探究、生成概念，分析問(wèn)題的內(nèi)涵和外延，深化學(xué)生對(duì)概念的理解.

情境1：（時(shí)間模型）兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)離去，則求兩人會(huì)面的概率.

情境2：（長(zhǎng)度模型）一根長(zhǎng)為3米的繩子，從中間剪一刀，求每段繩長(zhǎng)都大于1的概率.

情境3：（面積模型）下雨時(shí)，在地面上放一個(gè)面積為30 [cm2]的臉盆，求雨點(diǎn)落在臉盆的任何一個(gè)位置的概率.

情境4：（轉(zhuǎn)盤(pán)游戲）華聯(lián)超市年終抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，提供如圖1所示的轉(zhuǎn)盤(pán)，每人只能轉(zhuǎn)一次，轉(zhuǎn)盤(pán)指到“獎(jiǎng)”字的區(qū)域時(shí)，顧客獲獎(jiǎng)，可領(lǐng)取精美禮品一份，請(qǐng)問(wèn)：轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)傅拿糠N情況下顧客獲獎(jiǎng)的概率是多少？

情境5：（雙變量的幾何概型）周末在家，爸爸做平菇油菜的時(shí)間是6～8分鐘，媽媽做紅燒茄子的時(shí)間是5～7分鐘，現(xiàn)爸爸和媽媽同時(shí)為芳芳做菜，求芳芳先吃到爸爸的平菇油菜的概率.

情境6：（以其他學(xué)科知識(shí)為背景）英語(yǔ)選詞填空題中，單詞Apple中，字母p在本單詞的三個(gè)字母中出現(xiàn)的概率是多少？

二、注重概念的辨析

辨析概念時(shí)，教師要抓住基本概念的關(guān)鍵詞，進(jìn)一步解釋概念，以加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí).當(dāng)然，在解釋概念的過(guò)程中，要注意學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，對(duì)概念的解釋要循序漸進(jìn).通過(guò)對(duì)概念的深化，不但培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和批判性，而且提高學(xué)生對(duì)概念的把握能力.

1.頻率與概率

區(qū)別：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率m（A）/n總是接近于某個(gè)數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率.因此只要n相當(dāng)大，概率是可以通過(guò)頻率來(lái)測(cè)量的，或者說(shuō)頻率是概率的一個(gè)近似.因此，事件A的概率P（A）是對(duì)事件A發(fā)生可能性大小的一個(gè)度量，它是一個(gè)確定的數(shù)值，其值大于0小于1，與試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)關(guān).

事件A的頻率m（A）/n是一個(gè)與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)的數(shù)，它總是在概率P（A）附近擺動(dòng).當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n相當(dāng)大時(shí)，頻率可以作為概率的一個(gè)近似，或者說(shuō)概率是可以通過(guò)頻率來(lái)測(cè)量的.

聯(lián)系：頻率是概率的估計(jì)值，概率取的是大量試驗(yàn)后頻率的穩(wěn)定值.頻率是有限次數(shù)的試驗(yàn)所得的結(jié)果，概率是頻數(shù)無(wú)限大時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率.概率等于0與不可能事件：若某事件A為不可能事件，則它一定不會(huì)發(fā)生，故它的概率為0，但反之卻不一定成立.

[例1]假設(shè)事件A的概率是0.3，在100次中發(fā)生28次，那么它的頻率是28/100=0.28.

2.互斥事件與對(duì)立事件

區(qū)別：對(duì)立事件的試驗(yàn)結(jié)果是非此即彼，也就是只考慮A和非A. 而互斥是不同時(shí)發(fā)生的事件，但彼此互斥的可以很多.

比如擲骰子，正面朝上的是1和不是1這兩個(gè)事件就是對(duì)立事件.正面朝上是1的和正面朝上是2的就是互斥事件.

聯(lián)系：對(duì)立事件一定是互斥事件（因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)發(fā)生），但互斥事件則不一定是對(duì)立事件.

[例2]用數(shù)做比喻：x > 0和x ≤ 0，就是非此即彼的關(guān)系，是對(duì)立事件 ;x > 0和x < 0就是互斥事件，但不對(duì)立，因?yàn)檫€有[x=0].

三、加強(qiáng)變式教學(xué)鞏固概念

變式教學(xué)，是指在教學(xué)過(guò)程中，教師采用變式教學(xué)方法使學(xué)生辨別概念的不同表達(dá)形式，從多角度理解掌握概念.在概念教學(xué)中，教師應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的變式解答促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解.教師可精心挑選一些有關(guān)基本概念的訓(xùn)練題目，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中加深對(duì)概念的認(rèn)知內(nèi)化，從而鞏固概念.

1.互斥事件和對(duì)立事件

[例3]語(yǔ)文課上，老師抽查課文《雨巷》《再別康橋》《孔雀東南飛》《蘭亭集序》.問(wèn)：若四選一背誦，則抽到《雨巷》和抽到《蘭亭集序》是互斥事件還是對(duì)立事件？

變式：?jiǎn)枴俺榈皆?shī)詞《雨巷》《再別康橋》”和“抽到文言文《孔雀東南飛》《蘭亭集序》”是互斥事件還是對(duì)立事件？

2.二項(xiàng)分布

[例4]一名學(xué)生騎自行車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗?fù)?，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是[13].

變式1：設(shè)[X]為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求[X]的分布列.

變式2：設(shè)[Y]為這名學(xué)生在首次停車(chē)前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求[Y]的分布列.

變式3：求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.

變式4：某一中學(xué)心理咨詢(xún)服務(wù)電話接通率為[34]，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問(wèn)題咨詢(xún)?cè)摲?wù)中心，且每人只撥打一次電話，求他們中成功咨詢(xún)的人數(shù)[X]的分布列.

3.幾何概型

[例5]某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)覺(jué)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)電報(bào)時(shí)，假定電臺(tái)每小時(shí)報(bào)時(shí)一次，則他等待的時(shí)間短于10分鐘的概率為多少？

變式1：在400 mL自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌.今從中隨機(jī)取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率是多少？

變式2：在區(qū)間[（0， L）]內(nèi)任取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)之間的距離小于[L3]的概率.

變式3：在半徑為1的圓周上隨機(jī)取三點(diǎn)A、B、C，求三角形ABC是銳角三角形的概率.

四、通過(guò)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換加強(qiáng)概念的理解

數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言是一種高度抽象的人工符號(hào)系統(tǒng)，有準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)明的特點(diǎn).但它也常成為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).一些學(xué)生之所以害怕數(shù)學(xué)，一方面在于數(shù)學(xué)語(yǔ)言難懂難學(xué)，因此教師要重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，準(zhǔn)確、熟練地駕馭數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用普通語(yǔ)言復(fù)述概念的定義和解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，使之“通俗化”，便于學(xué)生理解和記憶.

[例6]對(duì)立事件和互斥事件的三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)述.

文字語(yǔ)言：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件;兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.

在教學(xué)中，首先要注意培養(yǎng)學(xué)生把握概念和將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為事件的能力;其次是訓(xùn)練學(xué)生把所求的事件用已知事件表示的能力.抓住這兩點(diǎn)，解題過(guò)程的表達(dá)自然就清楚了.

從教學(xué)實(shí)際而言，教師應(yīng)靈活運(yùn)用教材、鉆研不同版本教材對(duì)基本概念的引入、概念的表述、相關(guān)例題及習(xí)題的配置、概念的辨析，根據(jù)自己的教學(xué)需要、因地制宜的選取.真正做到合理運(yùn)用教材，幫助學(xué)生正確理解概念.

（責(zé)任編輯 陳? ?昕）