陳永保

摘 要 要提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是基礎(chǔ)之一。本文首先對(duì)數(shù)學(xué)概念的特征進(jìn)行闡述和分析，通過(guò)實(shí)踐觀察、文獻(xiàn)檢索、網(wǎng)上資料收集等方法，結(jié)合本人在數(shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐，對(duì)初中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)教學(xué)的現(xiàn)狀所存在的問(wèn)題進(jìn)行分析與歸納，并提出一些應(yīng)對(duì)策略。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)概念 概念教學(xué) 概念學(xué)習(xí) 有效學(xué)習(xí)

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.05.065

Abstract To improve the effectiveness of mathematics learning， mathematics concept learning is one of the foundations. First of all， this paper expounds and analyzes the characteristics of mathematical concepts， through practical observation， literature retrieval， online data collection and other methods， combined with my understanding and practice of mathematical concept teaching in the process of mathematics education and teaching， analyzes and summarizes the problems existing in the current situation of mathematics concept learning and teaching in junior high school， and puts forward some countermeasures.

Keywords mathematics concept; concept teaching; concept learning; effective learning

0 前言

初中數(shù)學(xué)要有效學(xué)習(xí)，第一個(gè)重要的條件就是把數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)好。然后，通過(guò)歸納、總結(jié)、擴(kuò)展，逐步形成自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，存在兩種結(jié)構(gòu)：一種是教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系在一起的一個(gè)整體;另一種是學(xué)生眼前新的數(shù)學(xué)知識(shí)與自己頭腦中原有的數(shù)學(xué)知識(shí)相互融合，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。這是一種正常的學(xué)習(xí)過(guò)程。如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常有這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，那么他的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將是有效的。[1]但是，如果沒(méi)有穩(wěn)定的數(shù)學(xué)概念作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，那么有效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是難以實(shí)現(xiàn)的。

1 數(shù)學(xué)概念的概述

1.1 概念和數(shù)學(xué)概念

概念是客觀事物本質(zhì)屬性在人腦中的一種反映，是思維的基本單位。概念有很多屬性，有一些屬性是本質(zhì)的，有一些屬性是非本質(zhì)的。這個(gè)事物成為了這個(gè)特定的事物的原因就是事物的本質(zhì)屬性，而且就是因?yàn)檫@個(gè)“本質(zhì)屬性”，這個(gè)特定事物跟其他事物明顯地區(qū)分開(kāi)來(lái)了。[2]例如，具有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這是角的本質(zhì)屬性。如果有一個(gè)30暗慕牽敲湊飧?。?啊筆恰敖恰鋇姆潛局適糶?。?/p>

數(shù)學(xué)概念在人的思維中反映的是數(shù)學(xué)事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性。[3]數(shù)學(xué)概念用其專(zhuān)屬的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)表達(dá)了它那種特有的本質(zhì)屬性。例如，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，記作“ ”，直角三角形用符號(hào)“”來(lái)表示，等等。

1.2 數(shù)學(xué)概念的特征

（1）普遍性和嚴(yán)謹(jǐn)性?！捌叫兴倪呅巍钡母拍睿⒉皇侵改骋粋€(gè)內(nèi)角大小、四邊長(zhǎng)短、顏色確定的平行四邊形，而是這些具體內(nèi)角大小、四邊長(zhǎng)短、顏色各異的平行四邊形的抽象，也就是排除了這類(lèi)對(duì)象的具體物質(zhì)內(nèi)容（內(nèi)角大小、四邊長(zhǎng)短、顏色）以后抽象出的數(shù)量關(guān)系和空間形式，反映的是該概念“數(shù)與形”方面的內(nèi)在的屬性，在這一范圍內(nèi)具有普遍意義;同時(shí)，每個(gè)概念都有明確的規(guī)定，即體現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性。

（2）抽象性和具體性。數(shù)學(xué)概念都由反映概念本質(zhì)特征的符號(hào)來(lái)表示，如平行四邊形的概念用符號(hào)“”來(lái)表示，平均數(shù)的概念用符號(hào)“”來(lái)表示等等，形式化、符號(hào)化的語(yǔ)言使數(shù)學(xué)概念更加抽象。同時(shí)，每個(gè)數(shù)學(xué)概念都有許多具體的內(nèi)容作為支撐，高層次的概念總是以低層次的概念為其具體抽象模型，例如：數(shù)字是抽象字母的具體模型;大小、形狀各異的三角形是抽象△（三角形的表示符號(hào)）的具體模型等等。因此，數(shù)學(xué)概念又是非常具體的。

（3）生成性與系列性。菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形;整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)……表明了數(shù)學(xué)概念由初始概念慢慢的生成高一級(jí)概念，這就是生成性;同時(shí)，這些數(shù)學(xué)概念都具有從屬關(guān)系，因此他們合在一起又組成一個(gè)概念系列，這就體現(xiàn)了系列性。

（4）相對(duì)性與發(fā)展性?！靶W(xué)里的數(shù)”指正有理數(shù)，“初中里的數(shù)”擴(kuò)展到實(shí)數(shù)，“高中里的數(shù)”擴(kuò)展到復(fù)數(shù);直線(xiàn)的概念，從初中“在同一平面內(nèi)的直線(xiàn)”到高中“異面直線(xiàn)”，其位置關(guān)系也從初中的“平面內(nèi)直線(xiàn)相交、平行”到高中“異面直線(xiàn)相交、平行”等等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的相對(duì)性與發(fā)展性。

2 初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在的問(wèn)題

（1）個(gè)別教師對(duì)課標(biāo)理解不到位。有些教師對(duì)新課標(biāo)的理解不到位，“只要求學(xué)生會(huì)解題就可以了”。因此，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生會(huì)對(duì)一些數(shù)學(xué)概念理解得不夠具體、不夠完整，甚至對(duì)一些數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生誤解。這種問(wèn)題的存在，對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能產(chǎn)生了很直接的消極影響，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效性就要大打折扣。

（2）教師“照本宣科”。北師大版教材八年級(jí)上冊(cè)217頁(yè)“二元一次方程組”的概念：像這樣含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組。教師如果只是對(duì)概念讀一遍，會(huì)使學(xué)生把像 這樣的二元一次方程組當(dāng)做是一元一次方程組。這個(gè)概念中的“兩個(gè)未知數(shù)”不是對(duì)每個(gè)方程而言，是對(duì)整個(gè)方程組而言的。

（3）學(xué)生“文字背誦”。個(gè)別教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的處理只要求“文字背誦”，不注重概念的生成過(guò)程，沒(méi)有揭示相關(guān)概念的本質(zhì)屬性。然而，初中數(shù)學(xué)的每個(gè)概念都不是獨(dú)立存在的，如果學(xué)生對(duì)概念的形成、發(fā)展有較深的理解，那么他們將能有效地靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)概念解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（4）學(xué)生厭學(xué)概念。由于數(shù)學(xué)試卷考題的特點(diǎn)，學(xué)生覺(jué)得考試沒(méi)有“直接考”數(shù)學(xué)概念，導(dǎo)致其對(duì)概念學(xué)習(xí)興趣不高，甚至感到枯燥乏味，從而對(duì)概念的理解不夠深刻，影響了其思維的發(fā)展。

3 初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)對(duì)策略

3.1 結(jié)合學(xué)情，創(chuàng)造情境

我們的學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，要學(xué)生重新構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，必須建立在他們已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上，而數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)就是這個(gè)過(guò)程的第一步。教師要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的情景來(lái)有效引入，對(duì)相應(yīng)概念作出解釋?zhuān)醪叫纬尚赂拍?。如“平行線(xiàn)”概念，生活中學(xué)生接觸平行線(xiàn)的實(shí)例較多，像黑板、書(shū)桌、門(mén)框等的邊緣就可以初步得出平行線(xiàn)的概念：在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線(xiàn);這時(shí)，要強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”。

又如，教學(xué)函數(shù)概念時(shí)，可以用臺(tái)秤稱(chēng)砝碼引入概念：把大小、重量相同的砝碼一個(gè)接一個(gè)放到臺(tái)秤上，讓學(xué)生觀察臺(tái)秤指針指向的數(shù)字。隨著放到秤上的砝碼的數(shù)量在改變（自變量），所有砝碼的總重量也在改變（因變量），但是有一個(gè)量在秤上不改變，學(xué)生易知是砝碼的單重（常量）。從現(xiàn)實(shí)情境中引入函數(shù)，讓學(xué)生回到生活去感知變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系，抽象的函數(shù)概念一下子就變得具體化、生活化，他們便能很好地認(rèn)識(shí)、掌握“函數(shù)”。

3.2 揭示本質(zhì)，精準(zhǔn)理解

數(shù)學(xué)概念的理解是數(shù)學(xué)概念教學(xué)中最重要的一環(huán)。如果能把數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)挖掘出來(lái)，那么學(xué)生就可以很好地認(rèn)識(shí)該概念，并且知道它的來(lái)龍去脈。例如，“一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式?！边@個(gè)概念描述性比較強(qiáng)。式子 是表示這個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，其內(nèi)涵是表示另一個(gè)非負(fù)數(shù)（通過(guò)另一個(gè)非負(fù)數(shù)平方后得到，其中是必不可少的條件。

又如，引入無(wú)理數(shù)概念時(shí)，教師可多列舉幾個(gè)典型的無(wú)理數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些數(shù)進(jìn)行對(duì)比、分析、歸納，找出它們的共同屬性：無(wú)限、不循環(huán)、小數(shù)。無(wú)理數(shù)是初中階段第二次對(duì)“數(shù)”的擴(kuò)展，要向?qū)W生重點(diǎn)講清概念中“無(wú)限、不循環(huán)、小數(shù)”三個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生抓住其本質(zhì)。

3.3 變換比較，鞏固理解

鞏固是所有學(xué)習(xí)中的重要一環(huán)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)也不例外。教師創(chuàng)設(shè)情境，初步引出數(shù)學(xué)概念后，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該概念進(jìn)行復(fù)述，教師對(duì)其復(fù)述進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，提醒學(xué)生需要注意的條件與重點(diǎn);然后對(duì)該概念進(jìn)行變式練習(xí)，學(xué)生的思維才不會(huì)受到束縛，才能靈活轉(zhuǎn)換。例如，在一次函數(shù)的教學(xué)中，可舉“與”為例，讓學(xué)生分別寫(xiě)出兩個(gè)函數(shù)各自的與。進(jìn)行這樣的舉例、對(duì)比訓(xùn)練，能把一些形式上對(duì)學(xué)生認(rèn)知的干擾排除掉，“”與“”就會(huì)深深地烙在學(xué)生的腦海中。

又如，“因式分解”與“整式乘法”是兩個(gè)聯(lián)系密切的概念。在新授“因式分解”過(guò)程中，多寫(xiě)幾組式子，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)式子進(jìn)行比較，就很容易區(qū)分“因式分解”與“整式乘法”了。

3.4 加強(qiáng)應(yīng)用，提升解決問(wèn)題能力

深刻理解數(shù)學(xué)概念是提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的基礎(chǔ);反之，通過(guò)適量解題練習(xí)，學(xué)生才能加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的領(lǐng)悟。例如：已知，求x，y的值。這個(gè)題目可以進(jìn)行如下分析：因?yàn)榕c加起來(lái)要為0，所以與是相反數(shù)的關(guān)系;又因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)的絕對(duì)值或者算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，所以與不可能一正一負(fù)，那么與只能是都為0這種相反數(shù)關(guān)系了。所以，可得且，解得，。這里就是運(yùn)用“相反數(shù)”這個(gè)概念解題。

同時(shí)，概念解題的目的是讓學(xué)生知道這個(gè)數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，而不是簡(jiǎn)單地傳授學(xué)生解題“技巧”，要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念（數(shù)學(xué)符號(hào)）才能更好地促進(jìn)他們數(shù)學(xué)知識(shí)的有效學(xué)習(xí)。

3.5 注重學(xué)生閱讀，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)習(xí)慣

教師要指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，并根據(jù)教材的內(nèi)容和特點(diǎn)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)，如“有且只有”“大于或等于（）”“（小于或等于）”等等，使學(xué)生能在“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”與“數(shù)學(xué)式子”之間進(jìn)行自由變換，如：“大于或等于1”翻譯成數(shù)學(xué)式子是“”;或把數(shù)學(xué)式子“”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“與的和是1”敘述;同時(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)書(shū)籍時(shí)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)的書(shū)寫(xiě)格式，養(yǎng)成盡可能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)表達(dá)的習(xí)慣。

4 結(jié)論

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是重點(diǎn)。在新授數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，教師引入概念，進(jìn)行初步的講解，但是在以后的教學(xué)中要逐漸對(duì)每個(gè)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行強(qiáng)化加深;教育教學(xué)中也要講究教學(xué)方法，多學(xué)習(xí)、多實(shí)踐不同的教學(xué)理念，多注重?cái)?shù)學(xué)概念的形成過(guò)程;要針對(duì)自己所教學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際甚至是生活實(shí)際，在學(xué)生的主動(dòng)性與創(chuàng)造性的培養(yǎng)中多下功夫，幫助學(xué)生自己去領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，理清數(shù)學(xué)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的有效學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)

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