劉憲升

摘 要：加減法是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，對其實(shí)質(zhì)進(jìn)行研究，對其運(yùn)算范圍進(jìn)行拓展，能開啟學(xué)生思維之門，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。文章結(jié)合加減法的起源，揭示了加減法（運(yùn)算能進(jìn)行）的實(shí)質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了從小學(xué)到大學(xué)諸多數(shù)學(xué)知識的融合與統(tǒng)一，使剛學(xué)加減運(yùn)算的學(xué)生就能解決整式、根式、復(fù)數(shù)、向量、矩陣的加減運(yùn)算問題。

關(guān)鍵詞：加法;減法;運(yùn)算;實(shí)質(zhì);思維發(fā)展

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2020）17-0114-02

加減法是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算。一個幼兒園大班和一年級學(xué)生都會的加減運(yùn)算還有什么實(shí)質(zhì)？然而，可能正是人們都覺得它簡單、好學(xué)、會算，往往就熟視無睹，缺乏深入思考，導(dǎo)致了各種加減法不得不反復(fù)學(xué)習(xí)。文章從學(xué)生剛學(xué)加減運(yùn)算談起，通過揭示其實(shí)質(zhì)并進(jìn)行拓展，展現(xiàn)數(shù)學(xué)美麗的景觀。

一、認(rèn)識加減法的實(shí)質(zhì)

眾所周知，原始人類為了維持生活，他們常外出狩獵和采集果實(shí)。數(shù)或數(shù)量及加減運(yùn)算就來源于收獲的物質(zhì)或消費(fèi)分配的計量（即現(xiàn)代的統(tǒng)計）。一開始是以實(shí)物的形式直觀表達(dá)的，后來才抽象出了數(shù)的概念及算式的表達(dá)，標(biāo)志著人類的思維逐步由直觀思維走向形式或抽象思維，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識上的一次飛躍。下面的三個算式就是人們比較初始計量的表現(xiàn)形式（當(dāng)然早期算式中的數(shù)字不是阿拉伯?dāng)?shù)字，也沒有加減號）。

上面的算式為什么能進(jìn)行加減運(yùn)算呢？上面每個算式中，前面的數(shù)表示個數(shù)，數(shù)字后面是相同的東西。那么，下面的1）、2）兩個加減法式子能進(jìn)行運(yùn)算嗎？若能算，得到什么？

若1）式中的金條同質(zhì)，且同樣寬、厚，后面金條的長度是前面金條長度的2倍。它們能相加嗎？若說是6塊金條，是長的還是短的？若說這無所謂，假設(shè)3根短金條是我的，3根長金條是你的，既然長短無所謂，那我拿回3根長金條，短的給你，你愿意嗎？2）式能運(yùn)算嗎？有的人說是7個水果。是的，這是單純抽出數(shù)量進(jìn)行歸類的結(jié)果，但它不能明確表示古人采摘果實(shí)的成果，會影響人們對生活的規(guī)劃。將情況放大一點(diǎn)，比如一天打獵收獲了2只野兔和3只野豬，若單純抽出數(shù)量并歸類說收獲了5只動物是可以的，可表意不明。若理解成5只野豬，可以吃多天，這些天不出去打獵人不會餓死。由此可見，這樣歸類進(jìn)行的運(yùn)算，是人們單純抽出數(shù)量運(yùn)算的結(jié)果，既不能達(dá)成古人要實(shí)現(xiàn)的目的，也偏離了古人進(jìn)行加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)。當(dāng)然，上面的算式是可以算出結(jié)果的，如2）式中可以理解為一個籃子里有3個蘋果和4個桃，但只能到此為止，嚴(yán)格來說是不能再進(jìn)行運(yùn)算的。

因此，從加減法的起源來看，在加減法算式中，要使運(yùn)算能進(jìn)行下去，必須保證加數(shù)和減數(shù)是完全相同事物的數(shù)量，差一點(diǎn)都不行?；蛘哒f，加法是完全相同事物的累計或疊加，減法是從完全相同的一些事物中去掉一部分。這就是加減法的實(shí)質(zhì)，是加減運(yùn)算得以進(jìn)行的保證。當(dāng)然，若能把不完全一樣的東西變成完全一樣的，仍可進(jìn)行運(yùn)算。如，在1）式中，把每塊長金條換成2塊短金條，運(yùn)算后可得9塊短金條?；谏鲜龇治?，筆者給幼兒園大班的孩子和小學(xué)一年級學(xué)生出了類似下面的算式，他們很快就寫出了結(jié)果。

有人說，算式2+3=5中并未表明相同的東西相加減??？如果理解了自然數(shù)的構(gòu)成就清楚了。此式表示2個1和3個1相加等于5個1，只不過把1省略了。

二、放飛思維，展翅沖天

探討加減法實(shí)質(zhì)的目的，一方面是拓展學(xué)生的思維，激發(fā)其養(yǎng)成善動腦、勤思考、會思考的習(xí)慣，進(jìn)而開發(fā)智力，訓(xùn)練思維。另一方面是把這一實(shí)質(zhì)遷移到其他知識的加減運(yùn)算中，使幼兒及一年級的學(xué)生會解決小學(xué)還沒學(xué)習(xí)的問題，及中學(xué)數(shù)學(xué)，甚至高等數(shù)學(xué)中的加減法問題。把高深的數(shù)學(xué)知識簡單化、生活化，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味性，在樹立自信心的同時提高學(xué)習(xí)興趣。讓學(xué)生感悟、領(lǐng)會到認(rèn)識知識的實(shí)質(zhì)比多練題更重要，能促進(jìn)其反思學(xué)習(xí)方法，學(xué)會學(xué)習(xí)，從題海之中爬上岸來。

下面，筆者結(jié)合實(shí)際數(shù)學(xué)內(nèi)容來說明加減法實(shí)質(zhì)的應(yīng)用（考慮到學(xué)生實(shí)際，字母等基本不讀，只讓他們判斷是不是相同的東西即可）。

1.可實(shí)現(xiàn)小學(xué)有關(guān)知識的融合

剛上一年級的學(xué)生，雖然只學(xué)了簡單的加減法，但在認(rèn)識到實(shí)質(zhì)的情況下，很多沒學(xué)的就都會運(yùn)算了。如：

這些算式中，雖然帶單位，并且學(xué)生大都不知道啥意思，但他們照樣可以運(yùn)算。而給出如4米+30分米= ? 、2元+30角=?等問題，學(xué)生都知道不能直接進(jìn)行運(yùn)算，這比一遍遍強(qiáng)調(diào)必須統(tǒng)一單位省了很多功夫。

2.可以實(shí)現(xiàn)中學(xué)及高等數(shù)學(xué)有關(guān)知識的融合

（1）整式的加減運(yùn)算。在上面一些算式中，如果用字母表示單位，那么就是整式加減運(yùn)算。如1）2a+ 3a=___，2）4ab-2ab=___，3）4ab+2a2-2ab+3a2= ? ，結(jié)果就沒必要說了。但需指出的是，初中課本上的同類項(xiàng)其實(shí)質(zhì)就是完全相同的東西;整式的加減運(yùn)算就是人們一開始認(rèn)識的實(shí)質(zhì)上的、有意義的加減運(yùn)算，不相同的東西（不是同類項(xiàng)）就不能再進(jìn)行運(yùn)算（合并）了。

（4）向量坐標(biāo)的加減運(yùn)算?？紤]到學(xué)生的實(shí)際，可以把向量的坐標(biāo)表示形象地解釋成一個長條筐，逗號表示把筐隔開，筐兩頭分別放不同的東西。如筐左邊的表示蘋果的個數(shù)，右邊的表示梨的個數(shù)，并且說明所有的框都是這樣放。給出下面類似的題目，要求學(xué)生把等式左邊兩個筐里的東西放到右邊的筐里：（3，2）+（1，3）=（ ， ） （4，5）-（1，3）=（ ， ）。結(jié)果學(xué)生很快寫出了答案。不僅如此，提出把長條框分成三個格、四個格等的三、四維向量的加減運(yùn)算，學(xué)生也很快就解決了。

（5）矩陣的加減運(yùn)算。在向量坐標(biāo)的加減運(yùn)算基礎(chǔ)上，提出將筐分成如下的四個格，每個角上放不同的東西，且所有筐都這樣放。給出下面問題，結(jié)果學(xué)生也能很快解決。如果把十字線去掉就是矩陣加減運(yùn)算（此處帶著是為了學(xué)生好理解）。而后，又給出3行3列、3行4列等多行多列的矩陣加減法，學(xué)生也很快就能解決。并且，引導(dǎo)學(xué)生回想一下，在超市看到過這種做法嗎？有的孩子說出了賣糖果排著的很多格子，每天往上添加糖果就是這么做的。

由上可見，對加減法實(shí)質(zhì)的揭示，可使數(shù)學(xué)變得簡單易懂，不用學(xué)都會進(jìn)行形式上的運(yùn)算。這既可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的融合與統(tǒng)一，又可啟迪學(xué)生思維，還可縮短學(xué)習(xí)時間。

總之，加減法是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，對其實(shí)質(zhì)進(jìn)行研究，對其運(yùn)算范圍進(jìn)行拓展，能開啟學(xué)生思維之門，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。眾所周知，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，可要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對思維的訓(xùn)練價值，不是死學(xué)苦練就能做到的。因此，廣大數(shù)學(xué)教育工作者要更新教育觀念，不斷創(chuàng)新教學(xué)方式方法，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)。

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