江海波

(安徽省潛山中學(xué) 246300)

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是指運(yùn)用所學(xué)知識將原來難度大，不易解答的問題轉(zhuǎn)化為難度小，方便解答問題的一種思想.高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想分類較多，主要包括等體積轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、方程根與圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化等.為保證解題的正確性，轉(zhuǎn)化后不能改變問題的本質(zhì).

一、等體積轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

等體積轉(zhuǎn)化在高中數(shù)學(xué)立體幾何習(xí)題中較為常用.該類轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用難度并不大，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把握“等體積”這一關(guān)鍵.授課中為提高學(xué)生應(yīng)用該等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解題的意識，應(yīng)為學(xué)生總結(jié)該思想能夠解答的問題，包括幾何體的體積、點(diǎn)到面的距離、幾何體某一面的面積等.另外，在課堂上講解相關(guān)例題，使學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的具體過程，更好地消化、吸收這一重要的轉(zhuǎn)化思想.同時(shí)，思考該思想適用的題型，遇到類似題型，及時(shí)找到解題思路，少走解題彎路.

例1如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1和B1C上分別存在E、F兩點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為( ).

該題難度并不大，關(guān)鍵在于找到正確的解題思路.因E、F兩點(diǎn)在AA1和B1C上的具體位置未知，因此，采用直接法難于求解.此時(shí)可考慮等體積轉(zhuǎn)化法求解，即借助VD1-EDF=VF-EDD1進(jìn)行解答.

應(yīng)用等體積轉(zhuǎn)化思想解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)應(yīng)具備靈活的頭腦，既要能夠從整體上把握題干，又要充分挖掘隱含條件，做好巧妙的轉(zhuǎn)化，降低解題難度.正如上題之所以將三棱錐置于正方體之中，實(shí)則間接地告知學(xué)生點(diǎn)F和底面EDD1的距離為1.

二、正與反轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

正與反的轉(zhuǎn)化屬于等價(jià)轉(zhuǎn)化的一種，在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用范圍較廣，既可用于解答集合習(xí)題，又可用于解答函數(shù)、概率等問題.為使學(xué)生感受到正與反轉(zhuǎn)化在解題中的簡便之處，應(yīng)結(jié)合學(xué)生所學(xué)做好相關(guān)例題的講解，給其以后應(yīng)用于解題中帶來良好啟發(fā).同時(shí)，鼓勵學(xué)生多做訓(xùn)練，能夠根據(jù)問題的正面，準(zhǔn)確地找到其反面，如此才能保證轉(zhuǎn)化后解題結(jié)果的正確性.

命題“P或Q”為真命題存在三種情況，討論起來較為麻煩，容易出錯，因此可將其轉(zhuǎn)化成命題的反面，得出結(jié)果取反，則能在保證結(jié)果正確的基礎(chǔ)上大大提高解題效率.

運(yùn)用正與反轉(zhuǎn)化解答有關(guān)命題的習(xí)題時(shí)應(yīng)具體情況具體分析，思考從正面解答是否進(jìn)行分類討論.如需要考慮的情況較多則應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從反面入手解答即可，應(yīng)用中不可思維定勢，生搬硬套.

三、方程根與圖象交點(diǎn)轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)關(guān)系密切，將兩者進(jìn)行轉(zhuǎn)化在解題中較為常見.為使學(xué)生掌握相關(guān)的轉(zhuǎn)化思路，靈活應(yīng)用于解題中，授課中講解轉(zhuǎn)化的注意事項(xiàng)，對方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊祈?xiàng)，找到兩個函數(shù).同時(shí)，繪制函數(shù)圖象前應(yīng)充分挖掘題設(shè)隱含條件，找到準(zhǔn)確的定義域范圍，保證函數(shù)圖象繪制的正確性.另外，結(jié)合具體的問題情境，為學(xué)生講解方程根與函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化的具體應(yīng)用，使其通過聽講，準(zhǔn)確把握轉(zhuǎn)化的一些細(xì)節(jié).

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)求解方程根的個數(shù)通常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題.題目中f(x)為分段函數(shù)，而g(x)函數(shù)并未直接給出，因此，解題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)g(x)表達(dá)式以及繪制函數(shù)圖象上.

圖2

根據(jù)函數(shù)f(x)的表達(dá)式求出函數(shù)g(x)的表達(dá)式.當(dāng)2-x≤2，即當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=3-(2-|2-x|)=|x-2|+1.當(dāng)2-x>2，即x<0時(shí)，g(x)=3-(2-x-2)2=-x2+3.在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制出兩個函數(shù)的圖象，如圖2所示，兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)為兩個，對應(yīng)f(x)-g(x)=0根的個數(shù)為2個.

運(yùn)用方程根與函數(shù)圖象交點(diǎn)轉(zhuǎn)化思想解題時(shí)，先不要急于動筆，應(yīng)認(rèn)真觀察，將原方程拆分成熟悉的函數(shù)，或確定未知函數(shù)的表達(dá)式，而后根據(jù)所學(xué)繪制函數(shù)圖象，找到函數(shù)交點(diǎn)問題也就迎刃而解.

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想之一.為使學(xué)生牢固掌握該思想，靈活用于解題中，授課中應(yīng)做好常用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的匯總與相關(guān)知識的講解，并結(jié)合例題講解其具體應(yīng)用，給學(xué)生更好的應(yīng)用于解題中帶來良好的示范，使其把握該思想在解題中的應(yīng)用關(guān)鍵.