郭銘紀(jì)

(福建省泉州第一中學(xué) 362000)

一、夯實(shí)基礎(chǔ)，正確求導(dǎo)

解答該類試題的策略一般應(yīng)牢記以下內(nèi)容：其一，保證求導(dǎo)結(jié)果的正確性.同時(shí)，注意函數(shù)的定義域，為后面的解題奠定基礎(chǔ).其二，在涉及參數(shù)的函數(shù)中，進(jìn)行分類討論.

(1)設(shè)a>1，討論f(x)在區(qū)間(0，1)上的單調(diào)性.

(2)設(shè)a>0，求f(x)的極值.

二、靈活應(yīng)變，巧妙轉(zhuǎn)化

解答部分高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題時(shí)，需要在認(rèn)真審題基礎(chǔ)上，融匯貫通所學(xué)，突破慣性思維，才能找到解題思路.一方面，深入分析題干問題，能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，結(jié)合問題形式，大膽設(shè)想，通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析.另一方面，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真推理，確保上下推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，尤其有“=”存在時(shí)，應(yīng)明確“=”成立的條件.

例2(2019年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽)已知f(x)=ex.

(1)略；(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>4lnx+8-8ln2.

解析令g(x)=ex-4x，則g′(x)=ex-4.當(dāng)x∈(-∞，ln4)，g′(x)<0;當(dāng)x∈(ln4，+∞)，g′(x)>0.則g(x)的最小值為g(ln4)，即g(x)≥g(ln4)=4-4ln4，即g(x)=ex-4x≥4-4ln4，則ex≥4x+4-8ln2，當(dāng)且僅當(dāng)x=ln4時(shí)取“=”.

∴f(x)-4lnx-8+8ln2≥(4x+4-8ln2)-4lnx-8+8ln2=4x-4lnx-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=ln4時(shí)取“=”.

綜上f(x)-4lnx-8+8ln2≥4x-4lnx-4≥0，且“=”成立的條件不同，∴當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>4lnx+8-8ln2.

三、注重拓展，提升能力

為使學(xué)生能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)順利解答高中競(jìng)賽中一些難度較大的題目，一方面，深入講解導(dǎo)數(shù)表示的幾何含義，理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，保證在解題中正確運(yùn)用.另一方面，適當(dāng)為學(xué)生講解一些拓展內(nèi)容，如為學(xué)生講解導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合相關(guān)競(jìng)賽試題的講解，使學(xué)生牢固掌握，在競(jìng)賽中能夠迅速找到解題思路.

例3(2018年河北高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知曲線f(x)=ex-1和曲線g(x)=lnx，分析兩個(gè)曲線的公切線的條數(shù).

消元得到ea-1-aea-1+a=0，方程根的個(gè)數(shù)即為兩曲線公切線條數(shù).

令m(x)=ex-1-xex-1+x，則m′(x)=1-xex-1，m″(x)=(-1-x)ex-1.

當(dāng)x<-1時(shí)，m″(x)>0，m′(x)為增函數(shù)，當(dāng)x>-1時(shí)，m″(x)<0，m′(x)為減函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，m′(x)>1，m′(1)=0，即，x=1是m′(1)=0的根.

綜上可知方程ex-1-xex-1+a=0有兩個(gè)不同的根，因此，兩條曲線的公切線共有兩條.