王麗湞

摘 要：數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活更要利用于生活，在生活的生產(chǎn)和科研中，我們難免會(huì)遇到項(xiàng)要求的最大利益的情況，最大限度的節(jié)省成本的情況，最生產(chǎn)效率求得最高的情況，因此數(shù)學(xué)的應(yīng)用就顯得十分重要。數(shù)學(xué)知識(shí)微積分中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)十分重要的應(yīng)用領(lǐng)域，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以便利的解決生活中的很多問(wèn)題，在生活中的許多領(lǐng)域都運(yùn)用的十分廣泛。

關(guān)鍵詞：微積分;導(dǎo)數(shù);應(yīng)用

1.微積分中導(dǎo)數(shù)的概念和分析

數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)在我國(guó)教育的高中和大學(xué)時(shí)期，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也算是相對(duì)比較有難度的知識(shí)，導(dǎo)數(shù)作為微積分理論中具有重要地位的基礎(chǔ)性理念，也是函數(shù)理論的局部?jī)?nèi)容。導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)可以看作為求極限，自變量越接近0，因變量與自變量各自的增量商的極限。數(shù)學(xué)界把這樣的存在導(dǎo)數(shù)的函數(shù)成為函數(shù)可微分或可導(dǎo)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。也指函數(shù)中因變量和自變量之間的關(guān)系，如果自變量的增加變化量無(wú)限接近于零時(shí)，因變量和自變量的增量商就是導(dǎo)數(shù)。微積分中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)屬于高等數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，導(dǎo)數(shù)也充當(dāng)這一個(gè)十分基礎(chǔ)和重要的角色，早在很久之前，微積分導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用就已經(jīng)開(kāi)始展露了頭角。17世紀(jì)，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與大陸擴(kuò)張，人類社會(huì)的生產(chǎn)力不斷提高，數(shù)學(xué)科學(xué)也得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。以牛頓為代表的一批數(shù)學(xué)家開(kāi)始從各種角度進(jìn)行微積分研究。尤其是牛頓所創(chuàng)造的理論被命名為：流數(shù)學(xué)，牛頓把變量成為流量，把變量的變化率成為流數(shù)，也就是我們口中的導(dǎo)數(shù)?！哆\(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》、《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》以及《求曲變形面積》就是牛頓有關(guān)于其學(xué)說(shuō)的主要作品。流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為：他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程，流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為：他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程;在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成;最在于決定這個(gè)比當(dāng)變化趨于零時(shí)的極限。

1629年左右，來(lái)自法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬通過(guò)研究曲線切線作法與函數(shù)極值求法，在差不多八年之后，即1637年前后，他寫出了《求最大值與最小值的方法》。進(jìn)行切線繪制時(shí)，造了差分f（A+E）-f（A），并且他從中發(fā)現(xiàn)了E因子，即導(dǎo)數(shù)f'（A）。在1823年左右，數(shù)學(xué)家柯西在其著作當(dāng)中又將導(dǎo)數(shù)定義為：若函數(shù)y=f（x）在以x為變量的式子中在兩個(gè)既定界限之間保持連接，而且人們?yōu)檫@一變量指定一個(gè)介于這兩個(gè)不同界限區(qū)間的數(shù)值。那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。上個(gè)世紀(jì)六十年代后，數(shù)學(xué)家威爾斯特成為了ε-δ語(yǔ)言的創(chuàng)造者，在這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言當(dāng)中其對(duì)微積分中所出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達(dá)。在微積分的理論體系當(dāng)中，主要可以分為兩個(gè)層面：1實(shí)無(wú)限理論，這種理論將“無(wú)限”這一個(gè)概念看作成一種現(xiàn)實(shí)存在的東西，是寫得出，表達(dá)的清楚的客觀實(shí)際;2潛無(wú)限理論，這是把這一理論看做成思想層面的理論理念。在數(shù)年的發(fā)展歷程中，微積分也得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，其理論應(yīng)用于實(shí)際也愈發(fā)成熟，其應(yīng)用范圍也愈發(fā)廣泛。人們也開(kāi)始越來(lái)越普遍的利用導(dǎo)數(shù)來(lái)達(dá)到自己的目的需求。導(dǎo)數(shù)知識(shí)的完善和應(yīng)用的成熟，已經(jīng)可以運(yùn)用在生活中的各個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中去，其中變化率和極限值的知識(shí)運(yùn)用，受到各個(gè)行業(yè)各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。例如在研究航天科技加速度的領(lǐng)域、高鐵建設(shè)瞬時(shí)速度的研究領(lǐng)域、全國(guó)人口及老齡化的增長(zhǎng)速度領(lǐng)域等等方面都去的了很大的效益。利用導(dǎo)數(shù)的基本概念和公式，可以解決很多需要優(yōu)化的問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)公式是通過(guò)函數(shù)來(lái)表達(dá)的，而函數(shù)本身也就是可導(dǎo)的，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以求得最微分最優(yōu)化的結(jié)果，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)也被許多生產(chǎn)和科技領(lǐng)域所運(yùn)用，許多問(wèn)題也可以用微積分導(dǎo)數(shù)公式來(lái)解決。比如在原料銷售行業(yè)，如何在銷售中取得最大利益，在企業(yè)生產(chǎn)中，如何獲得最大的生產(chǎn)效率，在樓房建造中，如何盡快的加快工程進(jìn)度，在道路修善中如何才能節(jié)省成本等問(wèn)題都可以用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)進(jìn)行計(jì)算解決，這些都屬于利用導(dǎo)數(shù)的優(yōu)勢(shì)解決最優(yōu)化問(wèn)題。在實(shí)際生活情況中，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決最優(yōu)化問(wèn)題必須經(jīng)過(guò)全面的分析和應(yīng)用，首先應(yīng)該正確認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的所在，明確其中的因變量和自變量，并研究清楚其中的關(guān)系，并根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，確定函數(shù)的數(shù)值取值范圍，劃定合適的情況，排除概率較小的意外情況。第二步是列出導(dǎo)數(shù)的函數(shù)公式，將因變量和自變量的數(shù)據(jù)填充其中，并完成公式的計(jì)算過(guò)程，算出具體的變量關(guān)系、極大值、極小值以及數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，明確指出導(dǎo)數(shù)公式反應(yīng)出的變化結(jié)果。最后根據(jù)所得到的結(jié)果，再結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行全面分析，根據(jù)實(shí)際的情況選擇最合適的數(shù)據(jù)獲得最大的效益。

2.導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用案例分析

第一個(gè)案例：在某個(gè)硬件生產(chǎn)工廠的作業(yè)中，市場(chǎng)需求往往是其生產(chǎn)與計(jì)劃的風(fēng)向標(biāo)，滿足市場(chǎng)需求是第一導(dǎo)向因素。在生產(chǎn)過(guò)程中將硬件的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為十層。并且質(zhì)量與生產(chǎn)速度呈現(xiàn)反比，生產(chǎn)速度越快的產(chǎn)品質(zhì)量往往應(yīng)用于要求并不是很高的領(lǐng)域，而且質(zhì)量與其利潤(rùn)將會(huì)成正比，比如最基本的每件商品的利潤(rùn)為三元，那么最高標(biāo)準(zhǔn)的甚至是其數(shù)倍，但生產(chǎn)速率畢竟是十分重要的，生產(chǎn)質(zhì)量不同的產(chǎn)品在產(chǎn)品合格率方面也具有不小的區(qū)別。則結(jié)合實(shí)際情況回答怎樣生產(chǎn)才能夠使工廠利益最大化，怎樣才能夠得出極值點(diǎn)？解答：對(duì)于這些最大化問(wèn)題的求解上，我們可以利用求導(dǎo)發(fā)來(lái)對(duì)函數(shù)的最值進(jìn)行分析，從而解決問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中要關(guān)注對(duì)定義域的嚴(yán)格限制。假設(shè)生產(chǎn)到第 n 種標(biāo)準(zhǔn)硬件時(shí)可以獲得最大的利潤(rùn)為 m。根據(jù)題目給的條件進(jìn)行分析，可以得出函數(shù)m=[10+5 （n-1）][98-5（n-1）]=25（n+1）（21-n）。 對(duì) 于這一函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以得出 m=25（21-n）-25（n+1）=50（8-n），m=50（8-n）=0。 通 過(guò) 求 解， 可 以 得 到n=8，在 1～10 的區(qū)間內(nèi)，極值點(diǎn)只有8一個(gè)點(diǎn)，所以可以將8視為最大極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果來(lái)看，當(dāng)生產(chǎn)8件標(biāo)準(zhǔn)的硬件例達(dá)到最大值，可以獲得3052元的最大利潤(rùn)。求最大利潤(rùn)問(wèn)題就可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決，針對(duì)這種實(shí)際問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可以很大程度的減少不必要的麻煩，可以方便的為工廠求得最大程度的利潤(rùn)收益。第二個(gè)案例：在城市的郊區(qū)有一個(gè)采沙場(chǎng)，在每天的采沙過(guò)程中，按照正常的進(jìn)度，采沙場(chǎng)每個(gè)月的產(chǎn)量可以達(dá)到x噸，如果按照市場(chǎng)價(jià)格每噸沙土的價(jià)格是 n 元，如果利用數(shù)學(xué)公式可以列出產(chǎn)量和價(jià)格之間的關(guān)系式：n=24200-1/5x 2 ，而且已經(jīng)知道開(kāi)采沙土x 噸的成本為m，成本和產(chǎn)量的關(guān)系式是m=50000+200x。以上是我們知道的所有條件，采沙場(chǎng)老板為了更多的得到利潤(rùn)，每個(gè)月的產(chǎn)量應(yīng)該計(jì)劃為多少才能夠得到最大的利潤(rùn)？而且最大利潤(rùn)會(huì)是多少？解答：這個(gè)例子同樣是求最大利潤(rùn)的問(wèn)題，同樣可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，根據(jù)我們所知道的條件可以利用函數(shù)來(lái)設(shè)置關(guān)系式，在利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)的解決方法來(lái)求得計(jì)算結(jié)果。f（x）=（24200-1/5x 2 ）×（50000+200x）=-1/5x 2 +24000x-50000。x 為 產(chǎn) 量， 其應(yīng)該具備 x ≥ 0 的條件。通過(guò)求解可以得出，x=200。在函數(shù) f（x）中，極值 點(diǎn) 有 200 和 -200 兩 個(gè) 點(diǎn)， 由 于x ≥ 0，則去掉 x=200。在 x=200 時(shí)，將f（200）代入計(jì)算可得結(jié)果利潤(rùn)為 315萬(wàn)元。所以根據(jù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果來(lái)看，當(dāng)將采沙場(chǎng)每個(gè)月的采沙產(chǎn)量為200噸的時(shí)候，對(duì)采沙場(chǎng)來(lái)說(shuō)可獲得最大的利，可以獲得最大利潤(rùn) 315 萬(wàn)元。利用微積分導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題屢試不爽，通過(guò)這種數(shù)學(xué)知識(shí)，選擇合適的定義域區(qū)間，可以很方便的獲得所需要的結(jié)果，達(dá)到求得極值的目的。第三個(gè)案例：速度問(wèn)題一直都是需要利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決的，導(dǎo)數(shù)在速度與路程中的應(yīng)用也十分重要。小王準(zhǔn)備駕車去到朋友家做客，最近剛購(gòu)買嶄新轎車一輛，小王駕車勻速行駛在去往朋友家的路上，在駕駛過(guò)程中，如果車輛每小時(shí)的油耗為 n 升，小王勻速駕駛轎車的行駛速度為 m（km/h），而且知道油耗和速度之間的關(guān)系公式n=1/12800m 2 -3/80m+8，道路規(guī)定汽車行駛速度最高不得超過(guò) 120km/h。如果小王到朋友的家需要駕駛100千米，那么小王在路途中應(yīng)該保持多少的速度才能夠有效的控制油耗，而且油耗最低可以達(dá)到多少？解答：速度和油耗的問(wèn)題跟上文解答最大利益問(wèn)題有很多相似之處，有車速和油耗兩個(gè)變量，車速越快油耗越大，因此在一定的路程中來(lái)求得油耗的最小值也可以利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決，根據(jù)已經(jīng)知道的條件，如果假設(shè)油耗量為h （m），要駕駛100千米的路程，所以我們根據(jù)題目可以得出函數(shù)：h（m）=（1/12800m 2 -3/80m+8）100/m。H'（m）=m/640-800/m 2 。令 h'（m）=0， 可 以 得 出 結(jié) 果m=80。通過(guò)分析我們可以推導(dǎo)，在 m小于 80 時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，在 m 大于80 時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)。因此，根據(jù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果我們可以得出，小王保持勻速 80km/h 行駛速度的過(guò)程中，達(dá)到導(dǎo)數(shù)的極小值點(diǎn)，從而可以獲得更低油耗，通過(guò)代入 m=80，h（80）=11.25，所以最低油耗為 11.25L。通過(guò)上面的案例，我們可以清楚的看到，導(dǎo)數(shù)知識(shí)在生活中的應(yīng)用是十分有優(yōu)勢(shì)的，而且這只是冰山一角，導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用不僅僅如此，還有更多領(lǐng)域和問(wèn)題可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到有效的解決。

3.結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)離不開(kāi)生活，同樣生活中也離不開(kāi)數(shù)學(xué)，在生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用讓我們的生活變得更加有條理，讓我們的生活變得更加精致化。人們可以通過(guò)數(shù)學(xué)解決自己的問(wèn)題，達(dá)到自己想要達(dá)到的目的。導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用無(wú)疑是十分受歡迎的，通過(guò)微積分中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，許多問(wèn)題都迎刃而解，但是，我們不能僅滿足于此，還要加大對(duì)導(dǎo)數(shù)的研究和探索，讓數(shù)學(xué)豐富我們的生活、優(yōu)化我們的生產(chǎn)進(jìn)程，將導(dǎo)數(shù)知識(shí)在生活中的應(yīng)用更加有效、更加廣泛、更加便捷。

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄧文麗，朱瑩瑩 .一類保序最優(yōu)化問(wèn)題的迭代算法 [J].統(tǒng)計(jì)與決策，2018，（14）：52.

[2]范梅 .論導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，（02）：120-121.

（作者單位：貴州食品工程職業(yè)學(xué)院，貴州 清鎮(zhèn) 551400）