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        向量參數(shù)方程與杠桿原理的平面幾何應(yīng)用研究

        2020-06-01 10:16:02欒德權(quán)
        關(guān)鍵詞:杠桿原理平面幾何應(yīng)用研究

        摘要:闡述了向量參數(shù)方程的基本內(nèi)涵和杠桿原理的數(shù)學(xué)含義,分析了向量參數(shù)方程和杠桿原理在高中數(shù)學(xué)平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用案例,比較了應(yīng)用向量參數(shù)方程和杠桿原理解決相同平面幾何問(wèn)題的運(yùn)算結(jié)果,提出了杠桿原理在高中平面幾何教學(xué)中的應(yīng)用建議。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);向量參數(shù)方程;杠桿原理;平面幾何;應(yīng)用研究

        中圖分類號(hào):G633.6?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1992-7711(2020)08-081-1

        隨著近代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的快速發(fā)展,數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科的聯(lián)系更加緊密,很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以運(yùn)用物理學(xué)的原理得以解決。筆者通過(guò)采取比較分析的研究方法,對(duì)比了向量參數(shù)方程和杠桿原理解決相同高中數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題,其運(yùn)算結(jié)果高度一致。

        一、向量參數(shù)方程的基本內(nèi)涵

        平面向量是指在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量,物理學(xué)中也稱作矢量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。其基本定理為:如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量,那么該平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)a1,a2,使a=a1e1+a2e2。

        以平面向量基本定理為依據(jù),有如下引理:已知A,B是直線L上任意兩點(diǎn),O是L外一點(diǎn),則對(duì)直線L上任意一點(diǎn)P,存在實(shí)數(shù)t,使關(guān)于基底{OA,OB}的分解式為=(1-t)OA+t OB. ①,其中AP=t AB.并且滿足①式的點(diǎn)P一定在L上。由此,對(duì)直線L上任意一點(diǎn)P,一定存在唯一的實(shí)數(shù)t滿足向量等式①;反之,對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)t,在直線L上都有唯一的一個(gè)點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)。向量等式①叫做直線L的向量參數(shù)方程式,其中實(shí)數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù)。

        二、杠桿原理的數(shù)學(xué)含義

        在“重心”理論的基礎(chǔ)上,阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿原理,即“二重物平衡時(shí),它們離支點(diǎn)的距離與重量成反比,計(jì)算公式為:動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂,即F1×L1=F2×L2。

        杠桿原理用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以這樣描述:一條線段的點(diǎn)(支點(diǎn))到兩端點(diǎn)的距離之比等于這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的受力之反比,即L1L2=F2F1;支點(diǎn)所承受的力等于兩端點(diǎn)受力之和,即Fo=F1+F2。

        三、應(yīng)用分析

        應(yīng)用向量參數(shù)方程和杠桿原理解決高中數(shù)學(xué)相同平面幾何問(wèn)題。

        例1:如圖,AF:FC=1:x,BD:DC=1:y,求AE:AD的值。

        1.應(yīng)用向量參數(shù)方程求解

        設(shè)AB=a,AC=b.

        由引理得AD= (1-t)a+t b①,其中BD=t BC,所以t=11+y,代入①式,有AD=y1+ya+11+yb,那么AE=λ AD=λy1+ya+11+yb,另一方面,同理得AE=(1-s)a+ s AF= (1-s)a+s1+xb,這樣由平面向量基本定理有

        2.應(yīng)用杠桿原理求解

        以D為支點(diǎn),BC為杠桿,設(shè)B處掛有1kg物體,由杠桿原理mBBD=mcDC,得mC=1/y kg,mD=mE+mC=(1+1/y) kg。同理由mAAF=mCFC,得mA=x/y kg,mAAE= mDED,得AE:ED=(1+y)/x,從而AE:AD=(1+y)/(1+y+x)。同樣也可以求出BE:BF的值。

        例2:如上圖,BD:DC=4:1,AF:FC=2:5,求AE:ED的值。

        1.應(yīng)用向量參數(shù)方程求解

        運(yùn)用上述結(jié)論,由已知得BD:DC=1:1/4 ,AF:FC=1:5/2,其中y=1/4,x=5/2,所以有AE:ED= (1+y)/x = (1+1/4)/(5/2) =1/2.

        2.應(yīng)用杠桿原理求解

        設(shè)mE=1kg,由BD:DC=4:1得mC=4kg,進(jìn)而mD=5kg,由AF:FC=2:5得mA=10kg,從而AE:ED =mD/mA=1/2 .

        通過(guò)以上比較分析,得出如下結(jié)論:應(yīng)用向量參數(shù)方程和杠桿原理在解決相同高中數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題時(shí),其運(yùn)算結(jié)果一致,重現(xiàn)性好,可以逐步推廣。

        應(yīng)用杠桿原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法簡(jiǎn)單易行,效果良好。因此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,教師要結(jié)合高中課程改革的新要求,積極探索不同學(xué)科間的聯(lián)系、融合、滲透與應(yīng)用,不斷提升學(xué)生的創(chuàng)新能力,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]丁爾陞等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué)4必修B版[M].北京:人民教育出版社,2007.04:96—98.

        [2]徐耀,虞關(guān)壽.杠桿原理與平面向量問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2017.03:45-48.

        作者簡(jiǎn)介:欒德權(quán)(1988.08-),男,遼寧沈陽(yáng)人,一級(jí)教師,研究方向:高中數(shù)學(xué)教學(xué)與教學(xué)法研究。

        (作者單位:沈陽(yáng)市第二十七中學(xué),遼寧 沈陽(yáng) 110011)

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