陳麗

【摘要】不等現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象，建立不等關(guān)系能夠更好地解決實(shí)際問(wèn)題.不等式在高考中是重要的考查內(nèi)容，常常與幾何、函數(shù)、方程、概率等內(nèi)容相結(jié)合.高考題大多來(lái)源于教材，對(duì)一道不等式題目的一題多解、一題多變、教材中的題源以及推廣，能夠使學(xué)生通過(guò)解答一道題目了解一類(lèi)不等式題型，提高學(xué)生的解題能力.本文選擇2019年高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)卷Ⅰ）中的一道不等式證明題進(jìn)行簡(jiǎn)要分析.

【關(guān)鍵詞】不等式;一題多解;一題多變;推廣

2019年高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)卷Ⅰ）第23題不等式選講：

23.已知a，b，c為正數(shù)，且滿(mǎn)足abc=1，證明：

（1）1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2;

（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24.

一、對(duì)不等式（1）的一題多解、多變、題源及推廣

（一）對(duì)不等式（1）的一題多解

對(duì)不等式（1）變形的方式有兩種：直接將abc=1替換題目中的分子1，或者將不等式左邊直接通分.

將證明1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2轉(zhuǎn)化為證明a2+b2+c2≥bc+ac+ab成立.

證法1 比較法

證明：∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2） 2

=1 2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法2 綜合法

證明：∵abc=1，∴1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab.

又∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca.

根據(jù)不等式性質(zhì)，三式相加得：

2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），

∴ab+bc+ca≤a2+b2+c2，∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法3 分析法

證明：∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab abc≤a2+b2+c2，

∴bc+ac+ab a2+b2+c2≤abc，

bc+ac+ab a2+b2+c2≤b2+c2 2+a2+c2 2+a2+b2 2 a2+b2+c2=1，

∴abc=1，∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法4 反證法

證明：假設(shè)1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2不成立，即

證明a2+b2+c2<1 a+1 b+1 c成立.

由題意得1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab.

∵a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=1 2[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2）]

=1 2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0，與假設(shè)矛盾，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2.

證法5 放縮法

證明：令a≥b≥c，

∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）=a（a-b）+c（b-c）+c（c-a）

≥c（a-b）+c（b-c）+c（c-a）=0，

∴a2+b2+c2-（bc+ac+ab）≥0，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法6 一般形式的柯西不等式

三維柯西不等式為：

證明：1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

根據(jù)柯西不等式得：

（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（bc+ac+ab）2，

右邊展開(kāi)、移項(xiàng)得：a2+b2+c2≥bc+ac+ab，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法7 向量法

證明：設(shè)m =（a，b，c），n =（c，a，b）.

∵|m |·|n |≥|m ·n |，

∴a2+b2+c2·b2+c2+a2≥ac+ba+cb，

∴a2+b2+c2≥ac+ba+cb，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

證法8 構(gòu)造函數(shù)[1]

證明：設(shè)f（a）=a2+b2+c2-（bc+ac+ab），

f（a）=a2-a（b+c）+b2+c2-bc，

Δ=（b+c）2-4（b2+c2-bc）=-3（b-c）2<0，

∴f（a）≥0恒成立，∴a2+b2+c2≥bc+ac+ab，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

同理，也可以以b或c為自變量構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立.

證法9 參數(shù)法

證明：令a≥b≥c，設(shè)a=t+c，b=n+c（t≥0，n≥0），

∵1 a+1 b+1 c=bc+ac+ab，

a2+b2+c2-（bc+ac+ab）

=（t+c）2+（n+c）2+c2-c（n+c）-c（t+c）-（t+c）（n+c）

=（t-n）2+nt≥0，

∴a2+b2+c2-（bc+ac+ab）≥0，

∴bc+ac+ab≤a2+b2+c2，

∴1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

（二）對(duì)不等式（1）的一題多變

一題多變主要是通過(guò)改變同一道題的條件或者結(jié)論，一題多變的類(lèi)型主要包括隱藏定值條件、改變成立的條件，或者改變背景將條件與其他知識(shí)進(jìn)行交匯等.

變式1：（隱藏成立的條件）已知a，b，c為正數(shù)，且滿(mǎn)足lnabc=0，證明：1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2.

變式2：（改變結(jié)論）已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，且abc=1，證明：a2+b2+c2≥1 a+1 b+1 c.

變式3：（改變條件）已知a，b，c為正數(shù)，證明：ab+bc+ac≤a2+b2+c2.

變式4：（交換條件和結(jié)論）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且1 a+1 b+1 c≤a2+b2+c2，證明：abc=1.

變式5：（增加元，交換條件和結(jié)論）a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足abcd=1，證明：1 a+1 b+1 c+1 d≤a3+b3+c3+d3.

變式6：（改變背景）[2]設(shè)a，b，c是△ABC的三邊，證明：a2+b2+c2≤2（ab+bc+ac）.

（三）不等式（1）在教材中的題源

題（1）來(lái)源于高中數(shù)學(xué)4-5不等式選講，第一講的練習(xí)題第10頁(yè)第7題：

求證：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為3項(xiàng)時(shí)，即：當(dāng)abc=1時(shí)a2+b2+c2≥bc+ca+ab=1 a+1 b+1 c.

（四）對(duì)不等式（1）的推廣

可以由此推廣到n項(xiàng)時(shí)：

題（1）已知a1，a2，…，an為正數(shù)，且滿(mǎn)足a1a2…an=1.

當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2時(shí)成立.

二、小 結(jié)

在證明不等式成立中，可以用綜合法、分析法、參數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、柯西不等式證明以及幾何證明等多種證明不等式的方法證明不等式成立.對(duì)不等式的考查中涉及了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、向量的性質(zhì)以及高等數(shù)學(xué)的知識(shí)[3].對(duì)不等式的一題多解多變有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，對(duì)高考題的題源的分析和嘗試推廣，教師一定要對(duì)考題和教材做到精確分析，幫助學(xué)生把握教材，精學(xué)精練.

【參考文獻(xiàn)】

[1]林克富.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視一題多解[J].內(nèi)江科技，2007（5）：156.

[2]侯富金.巧用不等式的性質(zhì)一題多解[J].課程教育研究，2013（9）：178.