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        矩陣的秩的三種常見的應(yīng)用

        2020-06-01 07:49:38謝毅徐聰
        關(guān)鍵詞:空間應(yīng)用

        謝毅 徐聰

        【摘要】分別從向量組的定性、求線性方程組的解的結(jié)構(gòu)以及判定矩陣行(列)空間的基和維數(shù)三方面給出矩陣的秩的三種常見的應(yīng)用.

        【關(guān)鍵詞】矩陣的秩;向量組;線性方程組的解的結(jié)構(gòu);矩陣的行(列)空間;應(yīng)用.

        一、引 言

        矩陣的秩是矩陣的核心內(nèi)容,是動態(tài)研究矩陣的根本所在.矩陣的秩應(yīng)用性十分廣泛,尤其是在判定向量組的線性相關(guān)性,求解方程組的解的結(jié)構(gòu)以及判定矩陣行(列)空間的基和維數(shù)上的應(yīng)用更為常見,本文給出矩陣的秩在這三方面的應(yīng)用.

        定理1 向量組a1,a2,…,am線性相關(guān)的充要條件是它所構(gòu)成的矩陣A =(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m;向量組線性無關(guān)的充要條件是R(A )=m.

        定義1 齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.

        定理2 設(shè)m×n矩陣A 的秩R(A )=r,則n元齊次線性方程組A x=0的解集S的秩RS=n-r.

        性質(zhì)1 設(shè)x= SymbolhA@ 是方程非齊次線性方程組的解,x= SymbolxA@ 是該非齊次線性方程組生成的齊次線性方程組的解,則x=SymbolxA@ + SymbolhA@ 仍是該非齊次線性方程組的解.

        注 非齊次方程組的通解=對應(yīng)的其次方程組的通解+非齊次方程組的一個特解.

        定義2 矩陣A 的列向量組的秩稱為A 的列秩;A 的行向量組的秩稱為A 的行秩.矩陣A 的列秩等于A 的列空間的維數(shù),A 的行秩等于A 的行空間的維數(shù).

        二、在判定向量組的線性相關(guān)性上的應(yīng)用

        例1 討論下列向量組的線性相關(guān)性.

        矩陣B 的第1,2,3列的列向量的秩是3,所以矩陣A 的列空間的基是由矩陣A 的第1,2,3列的列向量構(gòu)成.R(A )=3,所以矩陣A 的行空間的維數(shù)等于列空間的維數(shù)3.

        五、結(jié) 語

        作為矩陣的核心內(nèi)容,矩陣的秩廣泛應(yīng)用于行列式、向量組、線性方程組、特征值等知識點(diǎn)中,以判定、求解和證明為主要形式出現(xiàn)在其中,是線性代數(shù)知識體系的樞紐.把握好矩陣的秩與其他知識點(diǎn)交叉的定理推論是其運(yùn)用的關(guān)鍵.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù):第6版[M].北京:高等教育出版社,2014:97-103,88.

        [2]丘維聲.高等代數(shù)(上冊)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2010:109-114.

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