梁凝湘 曹婉盈 吳淑娜

【摘要】中小學(xué)中部分重要定理的證明過程，對(duì)中小學(xué)生來說，顯得相對(duì)枯燥難以理解.無字證明是幫助學(xué)生更好地理解、消化定理的一個(gè)較優(yōu)方法.本文主要列舉了基本不等式以及由基本不等式的拓展不等式鏈的無字證明.

【關(guān)鍵詞】中小學(xué);無字證明;不等式;不等式鏈

【基金項(xiàng)目】廣東省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201811847121）.

無字證明即無需言語的證明，指只用圖像或再僅加以一兩個(gè)式子幫助解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題.很多情況下，幾何模型可以用來輔助枯燥沉悶的證明，而且簡(jiǎn)單優(yōu)美的無字證明甚至能夠在瞬間就看到定理的真相.但是，無字證明并不是嚴(yán)格的證明，它只代表了個(gè)別特殊的情況，適合用來幫助學(xué)生理解所學(xué)定理，并能很好地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象能力.

本文主要討論了基本不等式以及由此延伸出來的不等式鏈，并將嚴(yán)格證明與無字證明進(jìn)行了簡(jiǎn)單的對(duì)比說明.

一、基本不等式a+b 2≥ab

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·選修4-5》上的證明[1]利用重要不等式a2+b2≥2ab，對(duì)a+b進(jìn)行簡(jiǎn)單變形.因?yàn)?/p>

a+b=（a）2+（b）2≥2a·b=2ab，

所以a+b 2≥ab，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=b時(shí)，等號(hào)成立.

教材所使用證明方法并不復(fù)雜，其證明過程容易理解，但是，在進(jìn)行嚴(yán)格證明之前，a+b 2與ab的大小關(guān)系，卻并不能輕易看出來，而若利用無字證明，則會(huì)顯得更為直觀，能瞬間比較出a+b 2與ab的大小關(guān)系.

作一個(gè)半圓，令該半圓的半徑EO的長(zhǎng)度為a+b 2，并在直徑AC上取一點(diǎn)B，使CB=b，過點(diǎn)B作垂線交半圓于點(diǎn)D.根據(jù)△ABD∽△DBC，有AB DB=DB BC，由此可求出DB的長(zhǎng)度等于ab，又因?yàn)镋O≥DB，所以有a+b 2=ab.當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，有a+b 2=ab.

二、不等式鏈

在基本不等式的應(yīng)用中，往往不止上述所提，時(shí)常會(huì)用到以下這一不等式鏈[2]：

a2+b2 a+b>a2+b2 2>a+b 2>ab>2ab a+b.（1）

若以一般的文字證明，證明過程如下：

當(dāng)a≠b≠0時(shí)，則有（a-b）2>0，即

a2+b2>2ab.（2）

1.ab>2ab a+b：

在（2）式兩邊同時(shí)加上2ab，則（a+b）2>4ab.

不等式兩邊同時(shí)乘ab，且因?yàn)閍≠b≠0，所以（a+b）2≠0，不等式兩邊同時(shí)除以（a+b）2，則有

ab>4a2b2 （a+b）2.

因?yàn)椴坏仁絻蛇吔源笥诹?，兩邊同時(shí)開方，則有

ab>2ab a+b.

2.a+b 2>ab：

此不等式，在上面已經(jīng)證明過，當(dāng)a≠b≠0，等號(hào)不取，即證.

3.a2+b2 2>a+b 2：

在（2）式兩邊同時(shí)除以4，則有

a2+b2 4>ab 2.

再在上式不等號(hào)兩邊同時(shí)加上a2+b2 4，則有

a2+b2 2>（a+b）2 4.

因?yàn)閍≠b≠0，可知與前面的問題類似，則有

a2+b2 2>a+b 2.

4.a2+b2 a+b>a2+b2 2：

在（2）式的不等號(hào)兩邊同時(shí)乘a2+b2，則有

（a2+b2）2>2ab（a2+b2）.

兩邊再同時(shí)加上（a2+b2）2，則有

2（a2+b2）2>（a+b）2（a2+b2）.

對(duì)不等號(hào)兩邊同時(shí)除以2（a+b）2，則有

（a2+b2）2 （a+b）2>a2+b2 2.

最后對(duì)不等號(hào)兩邊同時(shí)開方，得

a2+b2 a+b>a2+b2 2.

由上述證明過程可見，若要將不等式鏈（1）一一證明出來，過程十分煩瑣復(fù)雜，但若通過無字證明，以函數(shù)曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（圖2）將這一組不等式鏈表現(xiàn)出來，則能在同一個(gè)坐標(biāo)系中，快速判斷出這一組不等式的大小關(guān)系.

1.利用給定的a，b，可以作三條曲線：x+y=a+b，xy=ab，x2+y2=a2+b2.這三條線與x=y的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、點(diǎn)G、點(diǎn)R，而這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好就是ama+b 2，gm（ab），rmsa2+b2 2.

2.利用曲線x2+y2=a2+b2與直線x=y的交點(diǎn)R，作曲線xy=a2+b2 2.

3.由圖2，縱坐標(biāo)為a+b 2（即am）的點(diǎn)H、點(diǎn)C等等，但當(dāng)取曲線xy=ab上的點(diǎn)H，其橫坐標(biāo)是hm2ab a+b;取曲線xy=a2+b2 2上的點(diǎn)C，其橫坐標(biāo)是cma2+b2 a+b.

由圖2可知，這些橫坐標(biāo)之間有這樣的關(guān)系：cm>rms>am>gm>hm，即a2+b2 a+b>a2+b2 2>a+b 2>ab>2ab a+b.

無字證明最大的特點(diǎn)便是其簡(jiǎn)潔直觀性，一些看似難以理解的定理，能通過一個(gè)圖或一組圖，再配以少許簡(jiǎn)單式子就可以將定理說明白.將無字證明用于中小學(xué)課堂上，能讓數(shù)學(xué)課堂變得更加生動(dòng)有趣，也讓學(xué)生更容易消化理解相對(duì)枯燥的定理，甚至能開拓學(xué)生創(chuàng)新思維，體會(huì)到數(shù)學(xué)的趣味，能很好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]Roger B.Nelsen.數(shù)學(xué)寫真集（第1季）無需語言的證明[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014：49.

[2]Roger B.Nelsen.數(shù)學(xué)寫真集（第1季）無需語言的證明[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014：56-57.