汪定國 楊新強 蔣鶴立

[摘 要] 該文主要從注重高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合、一題多解、加深教學(xué)內(nèi)容的深度與難度以及改革學(xué)生學(xué)習(xí)評價四個方面，探討了數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)課程教學(xué)的有關(guān)問題。

[關(guān)鍵詞] 高等代數(shù);教學(xué);初等數(shù)學(xué);一題多解;評價

[基金項目] 重慶市高等教育學(xué)會教改課題“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)新模式的探索與實踐”（CQGJ17066B）

[作者簡介] 汪定國（1976—），男，四川廣元人，博士，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事離散數(shù)學(xué)的教學(xué)與理論研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）17-0329-02 ? ?[收稿日期] 2020-03-06

“高等代數(shù)”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)的三大主干基礎(chǔ)課程之一，是該專業(yè)非常重要的一門學(xué)科基礎(chǔ)課程，對該專業(yè)本科階段的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)占有重要地位，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面具有奠基功能。而且在中學(xué)數(shù)學(xué)中平面幾何教學(xué)減弱的情況下，高等代數(shù)課程在培養(yǎng)數(shù)學(xué)的邏輯推理能力方面更是起著不可缺少的作用。但高等代數(shù)課程概念多、抽象推理多，學(xué)習(xí)有一定的難度，尤其是對于剛剛從中學(xué)進(jìn)入到大學(xué)的大一學(xué)生，由于思維模式的局限，更是覺得困難重重。這些都給高等代數(shù)的教學(xué)提出了巨大的挑戰(zhàn)。關(guān)于高等代數(shù)教學(xué)的研究結(jié)果也有很多，下面談?wù)劚救藦亩嗄甑摹案叩却鷶?shù)”課程的教學(xué)過程中所得到的幾點感受。

一、注重高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合

高等代數(shù)理論包含多項式理論與線性代數(shù)理論，對于高等代數(shù)的內(nèi)容安排，多數(shù)教材是將多項式理論放在第一章，并且授課對象一般是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)大一的學(xué)生，他們剛剛從中學(xué)進(jìn)入大學(xué)，其思維方式習(xí)慣于針對具體對象，而對于一般的、抽象的研究對象不容易理解。從而對于多項式理論的教學(xué)，可以首先復(fù)習(xí)初等數(shù)學(xué)中的有關(guān)理論。

另外，在教學(xué)的過程中也要注重中學(xué)數(shù)學(xué)與高等代數(shù)的結(jié)合，要讓學(xué)生知道，中學(xué)更多的是知道“怎樣做”，而很少去深入研究“為什么”。高等代數(shù)解決了初等數(shù)學(xué)中很多遺留問題，回答了初等數(shù)學(xué)中很多的“為什么”。例如多項式的根及因式分解理論、線性方程組的解法等，對中學(xué)數(shù)學(xué)解題有“居高臨下”的作用。比如中學(xué)數(shù)學(xué)中分解因式的“十字相乘法”，為什么不在有理數(shù)范圍內(nèi)考慮，而只需要在整數(shù)范圍內(nèi)考慮呢？多項式理論中的因式分解理論中的定理“一個整系數(shù)多項式f（x）在有理數(shù)域中可約的充要條件是f（x）在整數(shù)環(huán)中可約”對此做了理論支撐;又如中學(xué)解線性方程組時的消元法的理論依據(jù)是什么？即為什么可以保證在消元過程中對方程組的變換不會改變方程組的解呢？在高等代數(shù)的線性方程組的消元法理論中就有定理“方程組的三種初等變換都是同解變換”解釋了消元法過程不改變方程組的解的疑問。

如果在教學(xué)過程中，有意識注重了高等代數(shù)理論與初等數(shù)學(xué)理論的結(jié)合，不僅讓學(xué)生能夠快速地轉(zhuǎn)換自己的思維方式，而且明白了很多中學(xué)時代可能想要去探索的問題，這樣能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)好高等代數(shù)那就順理成章了。

二、注重培養(yǎng)學(xué)生“一題多解”的習(xí)慣與能力

所謂一題多解，主要體現(xiàn)在沒有唯一的、固定的模式，而是以其多樣化的答案為明顯的特征?？梢酝ㄟ^縱橫發(fā)散、知識串聯(lián)、綜合溝通，達(dá)到舉一反三、融會貫通的目的，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的好方法。

牛頓曾經(jīng)說過：“在學(xué)習(xí)科學(xué)時，題目比規(guī)則還有用些?！痹诟叩却鷶?shù)課程的教學(xué)中，對于定理、例題以及課后作業(yè)應(yīng)該注重一題多解，可以從多種解法的比較中得到啟發(fā)，加深對有關(guān)概念、定理的理解，并能開闊思路、活躍思維、舉一反三、觸類旁通，進(jìn)而融會貫通和綜合運用有關(guān)的理論知識，提高分析問題和解決問題的能力。

在該例題中，通過這樣兩種證明方法可以看出，要證明一個矩陣為0，既可以證明這個矩陣的每個元素為0，也可以證明這個矩陣的秩為0。同時將這個問題跟齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系建立了聯(lián)系，達(dá)到了融會貫通的目的。

三、適當(dāng)加深教學(xué)內(nèi)容的深度與難度

高等代數(shù)課程不僅是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課程，而且也是數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的必考科目。雖然很多學(xué)校專門開設(shè)了一學(xué)期的高等代數(shù)選講，但是課時并不多，選講內(nèi)容卻很多，于是對于之前一年的教學(xué)內(nèi)容很難再次進(jìn)行加深與加難。這就有必要在第一年學(xué)習(xí)階段教學(xué)中適當(dāng)?shù)丶由罱虒W(xué)內(nèi)容的深度與難度。

在平常的教學(xué)中，對于每個教學(xué)內(nèi)容，要闡述清楚該內(nèi)容的學(xué)習(xí)目的、應(yīng)用以及與前后知識的聯(lián)系，清晰展示每個教學(xué)內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，要讓學(xué)生知道，為什么要學(xué)習(xí)這個內(nèi)容。同時，對于課程中的所有定理要進(jìn)行詳細(xì)的證明，并且在證明中需要清晰的展現(xiàn)出證明思路以及解釋用這樣的思路的原因，以此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的能力。

四、改革對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價方式

由于高等代數(shù)課程一般都是針對數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的大一學(xué)生開設(shè)，他們剛剛經(jīng)過艱苦的高中學(xué)習(xí)，剛進(jìn)入大學(xué)后，思想上開始放松，加之中學(xué)教育與家庭教育的影響，總認(rèn)為中學(xué)辛苦了，進(jìn)入大學(xué)先要好好放松一下，殊不知對于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)而言，必須要付出比中學(xué)更多的辛苦與努力才能學(xué)好專業(yè)課。這就使得在大學(xué)的專業(yè)課程教學(xué)的同時，還需要轉(zhuǎn)變學(xué)生的思想觀念，讓學(xué)生能夠更加重視專業(yè)課的學(xué)習(xí)，時刻保持學(xué)習(xí)的動力。這些都需要改革對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價方式，不能再用傳統(tǒng)的期末一考定成績的方式，而應(yīng)該加重平時考核的力度。建議可以采用如下評價機制：平時成績與期末考核成績各占50%。平時成績主要包含：平時作業(yè)占總成績的10%、課堂出勤和課堂表現(xiàn)占總成績的10%、平時測驗（一般進(jìn)行三次）占總成績的30%。這樣的模式強調(diào)了平時的考核，也使得學(xué)生在上課、作業(yè)、及時復(fù)習(xí)鞏固等幾個環(huán)節(jié)中都必須認(rèn)真對待且要切實的完成。

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門很重要的基礎(chǔ)課，該課程有一定的抽象性，對于剛剛從中學(xué)進(jìn)入大學(xué)的學(xué)生來說，確實有一定的難度，而且對將來學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展有重要的影響。這也就對高等代數(shù)課程教學(xué)提出了更高的要求。本人提出了幾點淺見，希望與高等代數(shù)課程的教學(xué)人員共勉。

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Abstratc：This paper lays stress on the four aspcts-the combination of higher algebra and elementary algebra，multi-solution to a problem，increasing the depth and difficulty in teaching material，reforming the evaluation of students' learning- to probe into some related problems in higher algebra course，mathematics and applied mathematics major.

Key words：Higher algebra;Teaching;Elementarymathematics;Multiple solutions to one problem;Evaluate