強震球 中學高級教師，江蘇省優(yōu)秀青年教師，江陰市首批名教師，市兼職教研員。先后獲得江陰市、無錫市和江蘇省小學數(shù)學課堂教學優(yōu)質(zhì)課評比一等獎，全國第八屆深化小學數(shù)學教學改革觀摩交流會一等獎第一名。應邀在全國二十多個省（市）、自治區(qū)的教學觀摩活動中執(zhí)教觀摩課或講座，深受一線教師好評。

主持多個課題研究，省級課題“小學三年級學習成績分化的成因及對策研究”獲得江蘇省精品課題，江蘇省教學成果特等獎。

【摘要】“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問題，具體來說就是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力，也是一種思維活動。本文強調(diào)在“數(shù)與代數(shù)”及其他非“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學中，研究如何用幾何直觀的方法培養(yǎng)學生的幾何直觀表征問題的意識和能力，以及表征之后的頓悟與反思能力，找到解決問題的思路，彰顯幾何直觀的價值，促使學生認識幾何直觀在數(shù)學學習過程中的重要作用，初步學會用幾何直觀的方法思考和學習數(shù)學，真正讓“幾何之花”開遍學生數(shù)學學習的全過程。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 模型 數(shù)學素養(yǎng)

一、花開“數(shù)軸模型”，變抽象為形象

數(shù)學上，數(shù)軸是個一維的圖，它是一條規(guī)定了原點、方向和單位長度的直線。所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，也可以用數(shù)軸來比較兩個有理數(shù)的大小。數(shù)軸是運用幾何直觀的最佳模型之一，靈活應用數(shù)軸，能起到化繁為簡、事半功倍的效果。實踐中，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)軸能夠幫助學生更直觀、更深入地認識數(shù)，更準確地理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，為學生數(shù)感的建立起到積極作用。

例如五年級“認識負數(shù)”一課中，借助數(shù)軸，學生就能很好地從本質(zhì)上理解正負數(shù)的意義，以及“0”的作用。在教學中，教師可以由一個不完整的溫度計（沒有0的溫度計），逐漸轉(zhuǎn)變成半直觀半抽象的數(shù)軸，最后形成完整的數(shù)軸模型。利用數(shù)軸可以開闊解題思路，解決諸如表示點的位置、進行數(shù)的大小比較等問題，表示正數(shù)的點在原點的右邊，表示的數(shù)越大，這個點到原點的距離也就越遠;表示負數(shù)的點在原點的左邊，這個點到原點的距離越遠，則這個負數(shù)就越小;0在數(shù)軸上是用原點來表示的。在認識負數(shù)以前，學生常常認為“0”是最小的數(shù)，或者表示“沒有”，現(xiàn)在再通過數(shù)軸來看數(shù)字“0”，學生就能重新認識它的地位和意義了。

再如，在教學“近似數(shù)”的內(nèi)容時，學生利用數(shù)軸就可以直觀、形象地理解一個小數(shù)的近似數(shù)的原理以及精確度的概念。如：“2.24更接近哪一個一位小數(shù)？為什么？”有一定數(shù)感的學生可能會馬上知道結(jié)果是2.2，但是能真正理解“為什么是2.2？”的同學并不是很多。于是，教師在這時就請出數(shù)軸來幫助學生直觀地理解其中的道理。如圖1，

經(jīng)過數(shù)軸的幫助，學生能很直觀地看出2.24更接近2.2，所以它的近似數(shù)是2.2。又如“1.5和1.50都是1.496的近似數(shù)，哪一個更精確？為什么？”這個問題是比較有挑戰(zhàn)性的，借助數(shù)軸來幫助學生理解這個問題就顯而易見了。如圖2，

從數(shù)軸上可以清楚地看到1.5的范圍是1.45～1.54，1.50的范圍是1.495～1.504。近似數(shù)為1.50的范圍比大約1.5的范圍小，由此可見，1.50更精確，精確度也更高。

二、花開“算式模型”，變復雜為簡單

在數(shù)學中，算式是指在進行數(shù)（或代數(shù)式）的計算時所列出的式子，包括數(shù)（或代替數(shù)的字母）和運算符號（四則運算、乘方、開方、階乘、排列組合等）兩部分。按照計算方法的不同，算式一般分為橫式和豎式兩種。每一種算式都有著自己固定的模型，而算式中的每一部分彼此間又有著看似簡單卻密不可分的聯(lián)系。借助算式模型，以及算式中各部分之間的關(guān)系，能有效地幫助學生解決“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中出現(xiàn)的拓展性問題。

例如，學生在四年級學習了“兩位數(shù)乘三位數(shù)的乘法”后，會有這樣的思考：“用1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成一個兩位數(shù)和三位數(shù)，要使積最大，應是哪兩個數(shù)？要使積最小呢？”對于一般的學生來說，這個問題的難度很大，還有一部分學生會用口訣“差大積小，差小積大”來解決，但是這句口訣學生真正理解嗎？教學中筆者努力嘗試用直觀的方式來幫助學生解決這個問題。經(jīng)過嘗試和研究，發(fā)現(xiàn)利用豎式模型（圖3）能便于學生順利地找到結(jié)果。

我們知道，在計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的時候，最高位上相乘就能初步確定積的大小。求積的最大值時，首先考慮①、②號位置上的數(shù)字相乘的結(jié)果要最大，就要選數(shù)字4、5，而數(shù)字5一定要放在①號位置，因為用5乘三位數(shù)的十位和個位，所得的結(jié)果比用4乘三位數(shù)的十位和個位所得的結(jié)果大。接著，考慮④號位置上只能是數(shù)字3，因為3乘兩位數(shù)的結(jié)果大。其次，③、⑤位置上放1、2，而數(shù)字2一定要放在③號位置上，因為2乘三位數(shù)比1乘三位數(shù)的結(jié)果大。由此，我們也不難發(fā)現(xiàn)，將1～5這五個數(shù)，按從大到小的順序，依次填寫在①—⑤號位置上（如圖3箭頭所指），所以結(jié)果是431×52的積最大。而求積最小的情況，則與最大值的情況相反，所以結(jié)果是245×13的積最小。

再如，五年級有這樣一個挑戰(zhàn)題：“小馬虎計算30.6除以一個數(shù)時，由于把除數(shù)的小數(shù)點向左點錯了一位，結(jié)果得到12。原來的除數(shù)是什么？”解題時很欣喜地看到學生能自主運用直觀模型來解決，利用除法算式模型、除法各部分之間的關(guān)系以及對與錯兩次的對比變化，學生呈現(xiàn)了變化的過程，將文字直觀化，進而對照直觀模型利用倒推等策略順利地解決這個問題。

三、花開“線段圖模型”，變混淆為清晰

線段圖是由幾條線段組合在一起，用來表示應用題中的數(shù)量關(guān)系，幫助學生分析題意、解決問題的一種平面圖形。它是從抽象的文字到直觀的再創(chuàng)造、再演示的過程。線段圖，以其形象、直觀的特點，在數(shù)學教學中廣泛應用。在數(shù)學教學中，注重讓學生運用線段圖這個模型來解決實際問題，能有效地提高學生的自主學習能力，使學生學會學習。例如，在教學四年級“一一間隔規(guī)律的實際問題”時，教師出示例題：“一條林蔭道上共栽了7棵樹，相鄰的兩棵樹相隔3米。林蔭道長多少米？”大部分學生看到題目后是茫然的，于是教師著重啟發(fā)學生思考7棵樹是怎么種的。當學生說出某種方法后，引導學生在草稿紙上畫出樹是怎么種的，討論得出：用點代表樹，用線段代表間隔3米。畫出第一個線段圖，如圖4， 教師隨后重點引導學生觀察線段圖，認清“什么和什么一一間隔排列”“頭尾是怎樣的情況”，并進一步引發(fā)思考“7棵樹一定只能這樣種嗎？”。有了第一個線段圖這個初步模型，學生便比較順利地思考出另外兩種情況的線段圖，一種是“頭尾都不種”，一種是“頭種尾不種”或者“頭不種尾種”（如圖5）。

就這樣，三種不同情況的線段圖模型就形成了。學生在畫圖、識圖、比圖的過程中，逐步強化植樹問題中的三種直觀模型，為后面解決求林蔭道長度的問題奠定基礎。之后呈現(xiàn)的兔子排隊問題，筆者就放手讓學生嘗試模仿，直接畫出直觀圖并解答。

四、花開“連線圖模型”，變內(nèi)隱為外顯

在小學第一學段數(shù)學學習中，連線是學習中常用的一種數(shù)學方法，它的價值就在于能有序、不重復、不遺漏地進行數(shù)學分析，將隱藏在頭腦中的思維過程外顯，從而最終找到所求問題的結(jié)果。在第二學段的教學中，教師要好好利用連線圖的數(shù)學價值，將比較復雜的思維過程直觀地呈現(xiàn)在連線圖中，以便學生更有利地繼續(xù)展開數(shù)學思考，找尋數(shù)學規(guī)律，解決數(shù)學問題。

例如，在教學“搭配的規(guī)律”中，為了讓學生找到蘊藏在搭配中的規(guī)律，教師可以引導學生進行連線，將搭配的過程清晰地表示出來。學生呈現(xiàn)的可以是完整的連線圖（如圖6），繼而教師逐步引導學生過渡到半抽象的連線圖（如圖7）。

但是不管是哪一種連線圖，都要讓學生借助連線圖明確：每一頂帽子都可以和4個不同的木偶搭配，那么有4種不同的搭配方法。有3頂不同的帽子，那么就有3個4種，也就是3×4=12種不同的搭配方法，進而得出搭配的規(guī)律——兩種不同類的物體搭配所得的搭配方法數(shù)=兩種物體的數(shù)量相乘。

幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學本質(zhì)的有力工具，有助于學生形成科學正確的世界觀和方法論，而直觀模型在培養(yǎng)幾何直觀的過程中起著重要的橋梁作用。在小學數(shù)學教學中，教師合理地運用直觀模型能更好地發(fā)揮幾何直觀的教學價值，促進學生更有效地理解抽象的、復雜的、混淆的、內(nèi)隱的數(shù)學內(nèi)容，從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。