趙玉才

【摘要】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在求解某些問題方面往往可以起到化繁為簡的作用，不僅有利于提高學(xué)生解題能力，同樣有助于促進(jìn)他們思維能力的發(fā)展，加強(qiáng)分類討論思想在學(xué)科教學(xué)中的滲透顯得尤為關(guān)鍵.以高中數(shù)學(xué)學(xué)科為例，對分類討論思想及其應(yīng)用要點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)探討，希望可以助力新課程下高中數(shù)學(xué)高效課堂構(gòu)建.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);分類討論思想;應(yīng)用策略

在新一輪課程改革背景下，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，促使學(xué)生“智”與“德”同步發(fā)展是各學(xué)科教學(xué)的根本出發(fā)點(diǎn).其中，“智”層面的學(xué)科素養(yǎng)是促進(jìn)學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力發(fā)展，其中涵蓋了數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力等.但是，以往的學(xué)科教學(xué)只注重按照教材開展知識講解，卻忽視了常用數(shù)學(xué)解題思想與方法的專項(xiàng)指導(dǎo)，進(jìn)而限制了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展以及學(xué)科核心素養(yǎng)的形成.為了滿足新課程改革下高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，加強(qiáng)分類討論思想等數(shù)學(xué)思想在課堂教學(xué)中的融入研討顯得尤為重要.

一、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義

在進(jìn)入高中階段之后，數(shù)學(xué)內(nèi)容在“質(zhì)”與“量”層面都有了很大程度的提升，大大增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，同時他們平時遇到的數(shù)學(xué)問題難度也越來越大，如果單純采取“套公式”“套模板”的固定式解題思維，那么顯然已經(jīng)無法有效解決這些復(fù)雜、高難度的綜合性數(shù)學(xué)問題.而分類討論思想不單單是一種數(shù)學(xué)思想，同樣是一個有效的問題求解對策，對鍛煉學(xué)生邏輯思維能力有幫助，可以使他們懂得利用分類處理的方式優(yōu)化問題解題思路，提高他們的歸納總結(jié)能力、問題分析和解決能力等.

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）基于數(shù)學(xué)概念進(jìn)行的分類討論

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)過程中，有絕對值、分段函數(shù)、斜率幾個關(guān)鍵的概念，它們本身的概念界定方面存在一定“分類”性，這使得它們在實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用中需要根據(jù)不同的條件確定不同的內(nèi)容，經(jīng)過分類討論分析方可最終確定定值.因此，涉及這些相關(guān)數(shù)學(xué)概念的問題求解，可以創(chuàng)新應(yīng)用分類討論思想來有效解決這些問題.

1.基于絕對值概念的分類討論

在碰到包含絕對值的數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的解題思路是依據(jù)絕對值的基本定義，采取零點(diǎn)分類法將相應(yīng)的絕對值采取分類的方式去掉.

2.基于分段函數(shù)概念的分類討論

分段函數(shù)，顧名思義，就是根據(jù)定義域的不同，相應(yīng)的函數(shù)表現(xiàn)出差異性.針對分段函數(shù)問題的求解，由于其分段性特征的存在，使得問題求解過程中無法按照連續(xù)性函數(shù)的求解思路與方法進(jìn)行求解，這樣會直接影響解題的準(zhǔn)確性，所以在相應(yīng)問題求解過程中也需要運(yùn)用分類討論思想加以解決，針對不同段的函數(shù)采取差異化的求解方法.

3.基于函數(shù)斜率概念的分類討論

在使用點(diǎn)斜式對直線方程進(jìn)行表述時，由于需要討論直線斜率本身的存在性，這就使得其需要進(jìn)行分類討論才能保證整體函數(shù)分析的全面性與合理性.

例3 在xOy這一平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1和橢圓C2：4x2+y2=1.其中點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為雙曲線與橢圓上面的一個動點(diǎn)，且已知OM⊥ON，試證明點(diǎn)O點(diǎn)到直線MN的距離為定值.

解析 針對這一問題的求解，在求解過程中需要對直線斜率是否存在進(jìn)行分析，針對不同的情況，都要結(jié)合已知條件進(jìn)行論證分析才能得到最終的結(jié)論，否則如果不考慮直線ON的斜率，那么無法論證全面.

（二）基于數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行的分類討論

在開展數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程中，其中不乏一些遇到開平方或者需要分情況討論的運(yùn)算情況，這時候?yàn)榱丝焖俳鉀Q問題，就必須及時進(jìn)行分類討論，保證可以快速、準(zhǔn)確地求解相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

由此可知，在求解數(shù)學(xué)運(yùn)算問題時，需要結(jié)合實(shí)際的運(yùn)算情況，靈活地選擇分類討論思想來簡化問題，保證可以快速找到解題的突破口，增強(qiáng)分析問題的全面性與有效性.

（三）基于公式限制進(jìn)行的分類討論

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科知識學(xué)習(xí)過程中涉及數(shù)列領(lǐng)域的通項(xiàng)公式等眾多數(shù)學(xué)計(jì)算公式，它們本身涉及不確定的參數(shù)，并且參數(shù)的不同會得到不同的計(jì)算公式.針對這些涉及具體數(shù)學(xué)公式的數(shù)學(xué)問題求解，就需要借助分類討論思想，針對不同的公式分類情況來進(jìn)行深入分析活動，保證可以更好地提升數(shù)學(xué)問題的求解準(zhǔn)確度與效率.

（四）基于參數(shù)變化進(jìn)行的分類討論

在數(shù)學(xué)問題求解時常常會涉及許多未知參數(shù)，由于它們本身的未知性使得實(shí)際的問題求解中常常會因?yàn)閰?shù)取值的不同而產(chǎn)生不同的結(jié)果，所以在實(shí)際的相關(guān)問題求解過程中要注意以參數(shù)為基準(zhǔn)來進(jìn)行分類討論，以此確保最終問題分類討論結(jié)果的準(zhǔn)確性.

（五）基于不確定性進(jìn)行的分類討論

在當(dāng)前高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)過程中，由于涉及向量、圖形等一些抽象的知識，并且它們本身涉及的題目中也涉及一些未知性，這種“寬泛”的解題條件使得問題求解中需要考慮更多的因素.針對這種情況，也需要借助分類討論思想來對相應(yīng)的問題進(jìn)行系統(tǒng)化梳理，保證可以借助不同條件下的“定式”問題求解來最終找到解決問題的答案.

例7 已知平面向量a，b，c滿足a⊥b，且a，b，c=1，2，3，試求a+b+c的最大值.

解析 鑒于題目中給出的向量都屬于未知值，條件不足或未知在一定程度上影響了計(jì)算結(jié)果的差異性，所以為了順利解決這道題，需要針對不同的情況來采取切實(shí)可行的處理手段與策略.在本道數(shù)學(xué)題中，在a+b和c保持同向的狀態(tài)下，待求值a+b+c可以取得最大值.但是由于|a|，|b|，|c|三者的不確定性使得問題求解中需要及時開展分類討論.

綜上所述，在三種不同的情況下，|a+b+c|的最大值各不相同.通過對比這三個結(jié)果的大小，最終可以求得|a+b+c|的最大值為5+3.

綜上所述，分類討論思想是一種提高高中生數(shù)學(xué)解題能力的一個有效數(shù)學(xué)思想.在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、公式限制以及參數(shù)變化等為特征的數(shù)學(xué)問題，針對性傳授給學(xué)生分類討論思想的基本應(yīng)用情況，保證不斷提升他們的數(shù)學(xué)問題求解能力.