李清華 王旭

【摘要】引入數(shù)學(xué)建模是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有效方式.本文以返券銷售系統(tǒng)設(shè)計(jì)為案例，通過構(gòu)造消費(fèi)效用函數(shù)和利潤函數(shù)設(shè)計(jì)最優(yōu)策略模型，利用高等數(shù)學(xué)中的積分和偏導(dǎo)運(yùn)算解決實(shí)際問題.教學(xué)設(shè)計(jì)引入數(shù)學(xué)模型對學(xué)生理解和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)具有積極作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;高等數(shù)學(xué);效用函數(shù);利潤函數(shù)

1 引言

高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代各個(gè)學(xué)科知識的理論基礎(chǔ)，其教學(xué)過程中無處不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)建模的思維方法.極限、微積分、連續(xù)和微分方程等數(shù)學(xué)思想，以及待定系數(shù)法、最小二乘法、連續(xù)離散化等數(shù)學(xué)方法都蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu).數(shù)學(xué)建?？梢栽诔橄髥栴}和實(shí)際問題之間建立聯(lián)系.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中可以通過引入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容和思維方法分析實(shí)際問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和學(xué)習(xí)動力.本文以經(jīng)濟(jì)生活中的返券促銷現(xiàn)象實(shí)施數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用教學(xué).

2 返券系統(tǒng)設(shè)計(jì)

某商店采用“返券”優(yōu)惠促銷，當(dāng)消費(fèi)者消費(fèi)金額滿100元時(shí)，該店可贈送50元的“返券”，不足100元的部分不能獲得返券.返券的用法是：每消費(fèi)100元的商品，可以使用該店的50元返券，在付款時(shí)可以抵消50元，不足100元的部分忽略不計(jì).

根據(jù)這個(gè)問題可以進(jìn)行延拓，進(jìn)一步考慮商家如何設(shè)計(jì)返券，從而獲得最大利潤.首先對符號進(jìn)行說明.

2.1 消費(fèi)者的消費(fèi)行為

將消費(fèi)者的消費(fèi)行為分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段是消費(fèi)者第一次消費(fèi)得到返券，第二個(gè)階段是消費(fèi)者使用返券進(jìn)行抵扣消費(fèi).當(dāng)消費(fèi)者自我感覺最為劃算的時(shí)候效用達(dá)到最大.消費(fèi)者對若干消費(fèi)品的選擇，在達(dá)到每一種消費(fèi)品的單位貨幣支付所得的邊際效用相等時(shí)，實(shí)現(xiàn)最大總效用，即稱之為效用最大化原則[1].

假設(shè)商家在沒有使用返券促銷活動的情況下，消費(fèi)者在兩個(gè)階段均按照自己的預(yù)期消費(fèi)金額進(jìn)行消費(fèi)，設(shè)兩次預(yù)期消費(fèi)金額的均值為x.當(dāng)商家使用返券活動時(shí)，在第一個(gè)階段，當(dāng)消費(fèi)者消費(fèi)金額大于等于Y1時(shí)即可以得到價(jià)值Γ的返券，但是該返券并不能用于第一個(gè)階段的消費(fèi)，只能用于第二個(gè)階段消費(fèi)抵扣.在第二個(gè)階段，即返券使用時(shí)期，當(dāng)消費(fèi)金額大于等于Y2時(shí)，消費(fèi)者就可以使用返券來抵扣本次消費(fèi)，如果消費(fèi)小于Y則不能使用該返券.

為更好地刻畫消費(fèi)者的行為，構(gòu)建消費(fèi)者消費(fèi)的效用函數(shù)[2]如下：

其中x為消費(fèi)者最佳的預(yù)期消費(fèi)金額，s為實(shí)際的消費(fèi)金額;ω是消費(fèi)者實(shí)際消費(fèi)金額小于等于預(yù)期消費(fèi)金額時(shí)，每單位一消費(fèi)金額的效用值（ω>1）;α是消費(fèi)者實(shí)際消費(fèi)金額大于預(yù)期消費(fèi)金額時(shí)，提高單位一消費(fèi)金額所得到的邊際效用（0<α<1）.消費(fèi)者的凈效用是效用與成本之差，定義消費(fèi)者消費(fèi)行為中獲得的凈效用函數(shù)[3]為：

當(dāng)返券點(diǎn)等于用券點(diǎn)時(shí)，消費(fèi)者的預(yù)期消費(fèi)一共有兩種情況，一是預(yù)期消費(fèi)金額大于等于返券點(diǎn)和用券點(diǎn)，二是預(yù)期消費(fèi)金額小于返券點(diǎn)和用券點(diǎn).當(dāng)返券點(diǎn)不等于用券點(diǎn)時(shí)，比第一種情況多了一種預(yù)期消費(fèi)金額介于返券點(diǎn)和用券點(diǎn)之間.因此一共有三種情況，在此一一進(jìn)行討論.

1.當(dāng)消費(fèi)者預(yù)期消費(fèi)金額大于等于Y1和Y2時(shí)，消費(fèi)者可直接獲得一張返券，并且在下次消費(fèi)時(shí)也不需要提高預(yù)期消費(fèi)，可以直接使用返券進(jìn)行抵扣消費(fèi).

2.當(dāng)消費(fèi)者預(yù)期消費(fèi)金額同時(shí)小于Y1和Y2時(shí)，且Y1

Ⅱ.當(dāng)用券點(diǎn)小于預(yù)期消費(fèi)金額小于返券點(diǎn)，并且預(yù)期消費(fèi)金額在Y2，Y1-r·Γ1-α?xí)r，消費(fèi)者不會提高預(yù)期消費(fèi)金額來獲得返券.預(yù)期消費(fèi)金額在Y1-r·Γ1-α，Y1時(shí)，消費(fèi)者會提高預(yù)期消費(fèi)金額從而得到返券，并且第二次消費(fèi)仍然按照預(yù)期消費(fèi)即可使用返券進(jìn)行抵扣.

2.2 商家利潤函數(shù)

現(xiàn)在考慮商家的利潤，要想研究商家使用返券后的利潤情況，需要同未使用返券促銷的利潤相比較，因此首先考慮未使用返券時(shí)商家的盈利模型.

返券促銷和其他的促銷方式不盡相同，返券促銷的對象是在商店中消費(fèi)達(dá)到一定數(shù)額的消費(fèi)者.因此需考慮商店中物品的平均預(yù)付資本，即平均進(jìn)價(jià)C以及平均售價(jià)P，則利潤可以表示為π=P-C.利潤率是剩余價(jià)值和全部的預(yù)付資本的比率，利潤率是剩余價(jià)值率的轉(zhuǎn)化形式.利潤率可以考察商家預(yù)期利潤的完成情況，也可以用于比較不同商家和不同時(shí)期的經(jīng)營管理水平，從而提高經(jīng)濟(jì)效益[4].用A（0

當(dāng)商家不使用返券促銷，此時(shí)的利潤模型[4]為：

2.3 商家最優(yōu)策略

現(xiàn)在考慮商家制定返券促銷的最優(yōu)策略模型，在此假設(shè)返券點(diǎn)和用券點(diǎn)相同，記Y1=Y2=Y.通過商家利潤函數(shù)可以得到：

3 總結(jié)

本案例建構(gòu)的返券銷售系統(tǒng)最優(yōu)策略模型、消費(fèi)效用函數(shù)和利潤函數(shù)，有效地幫助學(xué)生理解和掌握了高等數(shù)學(xué)中的知識點(diǎn)，比如積分和求偏導(dǎo).可見，在實(shí)際教學(xué)過程中，從問題中提煉出需要的數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，構(gòu)造模型的案例，不僅能夠讓學(xué)生感受到學(xué)以致用，也能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的實(shí)際意義，對提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想觀察問題、分析問題、解決問題的能力具有積極作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬維娜.教育：“有價(jià)”“無價(jià)”的互構(gòu)究竟是怎樣的？——“澤利澤視角”的觸發(fā)[J].南京師大學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版）， 2019（5）：22-31.

[2]陳奧杰.消費(fèi)者跨境電商信息偏好程度測算及其影響因素——基于跨境物流產(chǎn)品選擇視角[D].杭州：浙江大學(xué)，2018.

[3]王煒.基于零售商返券促銷的供應(yīng)鏈運(yùn)作決策與協(xié)調(diào)策略研究[D].四川：電子科技大學(xué)，2014.

[4]安欣.零售商返券促銷策略與模式設(shè)計(jì)研究[D].四川：電子科技大學(xué)，2012.