徐文軒 李相斌

摘?要：“同心協(xié)力”是一項團隊協(xié)作能力拓展項目。該項目以團隊各人員用繩牽拉同心鼓顛球，通過合格的顛球數(shù)量比拼。本文綜合數(shù)學(xué)與物理學(xué)知識建立了二階微分方程組的數(shù)學(xué)模型，來分析如何更多的顛球和即時調(diào)整，最終對模型的結(jié)果做出了誤差分析

關(guān)鍵詞：牛頓第二定律;二階微分方程組;剛體轉(zhuǎn)動定律;控制變量法

一、緒論

“同心協(xié)力”活動是以團隊協(xié)作能力為核心的拓展活動，該活動是以團隊各人員用繩牽拉同心鼓顛球的過程，同心鼓的轉(zhuǎn)動可以等效為剛體的轉(zhuǎn)動，則可計算鼓的轉(zhuǎn)動慣量，然后給八人均分站位，根據(jù)其給出的數(shù)據(jù)計算出傾角大小。再以球與鼓的接觸點為坐標(biāo)原點，分別以球、鼓為研究對象求出若干分鐘后穩(wěn)定狀態(tài)下球下落（鼓上升）的時間、人拉繩所產(chǎn)生的合外力和最佳顛球高度。因此對鼓上力的大小，發(fā)力時機，顛球高度和所用的時間的細化計算尤為重要。

二、顛球高度、時間和鼓轉(zhuǎn)動傾角的理論分析

（一）模型假設(shè)

①假設(shè)球與鼓接觸時恰巧繩拉直。②忽略自然風(fēng)產(chǎn)生的外力和球與鼓接觸時產(chǎn)生的摩擦力。③球與鼓接觸時發(fā)生彈性形變所產(chǎn)生間隔和時間忽略不計。④不考慮能量損耗。⑤若干分鐘后球（>=40cm）保持平穩(wěn)狀態(tài)。

（二）問題一模型建立

利用牛頓第二定律建立一階非線性微分方程模型，分別以球、鼓為研究對象求出若干分鐘后穩(wěn)定狀態(tài)的球下落（鼓上升）的時間、人拉繩所產(chǎn)生的合外力和最佳顛球高度。

本文以豎直向下為正方向，建直角坐標(biāo)系，已知球下落的時間與鼓上升的時間相同。以“球在空氣中運動”的狀態(tài)將常數(shù)取值，則取空氣密度ρ氣=1.29×10-3kg·m-3（20℃時）。垂直下落的球受到重力G、空氣浮力ρ氣=Vg和空氣黏滯阻力12ρ氣CdSv2三個力的作用，其中m M分別為球和鼓的質(zhì)量，V為球的體積，Cd為空氣阻力系數(shù)，S1S2分別為球和鼓的最大橫截面積，v1v2分別為球和鼓相對于空氣的速度。但是在計算過程中，我們求得空氣浮力約為5.29×10-5N可忽略不計。

（三）問題一模型計算

我們根據(jù)牛頓第二定律分別列出排球和鼓的微分方程：

如圖當(dāng)t≥0.34s時符合“顛球高度0.4m以上”的要求。且“顛球次數(shù)盡可能多”則需要顛球一次所用時間越短，在相同時間內(nèi)累計顛球次數(shù)就越多，所以取0.34s為一次顛球所用時間，則此時高度h=S1+S2=0.4053m。

（四）問題二模型建立

同心鼓為一剛體，不同位置的人向上拉時，鼓做剛體轉(zhuǎn)動，因為鼓為空心可假定其為一圓盤，解得同心鼓的轉(zhuǎn)動慣量J=0.216kg·m2由剛體轉(zhuǎn)動定律列出二階微分方程組：

該方程組用于研究隊員發(fā)力時機、力度和某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系，其中變化很小，近似當(dāng)做恒定值。

根據(jù)上式求得九組鼓面傾角分別為：0.6939、0.484959、108711、0.86352、1.14108、0.937536、0.925118、1.013865、0.461058。

在計算過程中，我們求得空氣浮力對模型影響很小，故該因素忽略不計。

三、模型檢驗

以排球為研究對象，在理想狀態(tài)下忽略空氣阻力，排球做自由落體運動時所用時間為t球=0.223

本文給合外力F合賦值，利用MATLAB畫出F合與t′的變化關(guān)系如下圖2，由圖知F=45N時t=0.3378≈0.343s。因此本文根據(jù)一階非線性方程模型求得的t=0.34s是合理的。

四、總結(jié)

承接以上問題，拋去所需的理想狀態(tài)，在現(xiàn)實情形中計算顛球時間和高度策略不再合適，因此根據(jù)人的發(fā)力時機、發(fā)力大小對模型的影響建立新的策略模型，使之更符合現(xiàn)實情形。而對于這方面的深入研究還需要進一步完善。

參考文獻：

[1]司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用.北京：國防工業(yè)出版社，2018.9.

[2]鞠衍清.垂直下落球體運動的數(shù)值分析.大學(xué)物理，27（11）.