摘?要：三角形內(nèi)角和定理等價(jià)于平行公理，對(duì)三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)歷來(lái)都是初中幾何教學(xué)的重要課程，教學(xué)過(guò)程中教師對(duì)教學(xué)的內(nèi)容、教學(xué)現(xiàn)狀的把握和自我的定位有著重要的指導(dǎo)意義，研究旨在以“核心素養(yǎng)”教育理念為指導(dǎo)，以“三角形內(nèi)角和定理”教學(xué)案例為例，對(duì)初中幾何數(shù)學(xué)教學(xué)提出教學(xué)思考和建議。

關(guān)鍵詞：三內(nèi)角和定理;教學(xué)案例;初中數(shù)學(xué)教學(xué)

由羅增儒教授主講的“第五屆基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展高級(jí)研修班”于2019年8月12至14日在陜西師范大學(xué)雁塔校區(qū)舉辦。筆者作為學(xué)員第一次零距離聆聽(tīng)大師的講解，深感幸運(yùn)。因?yàn)檫@次的學(xué)習(xí)既不是學(xué)校的安排，也不是工作室的學(xué)習(xí)，純粹的是因?yàn)殛P(guān)注的中學(xué)數(shù)學(xué)參考公眾號(hào)，發(fā)現(xiàn)假期有個(gè)講座，抱著看看、豐富自己的態(tài)度來(lái)體驗(yàn)的。經(jīng)歷培訓(xùn)后感受到了一個(gè)中學(xué)教師的魅力應(yīng)該是怎樣的，感覺(jué)到對(duì)于今后自己的模樣看得見(jiàn)摸得著的感覺(jué)，也從心底感受到了數(shù)學(xué)教學(xué)文化的厚重感。借用羅增儒教授的話，我很贊同“數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教師創(chuàng)造數(shù)學(xué)的理解”這種觀點(diǎn)，從小我們有個(gè)數(shù)學(xué)家的夢(mèng)想，現(xiàn)在明白數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家是很有區(qū)別的，這種界定要在心中明確，原來(lái)我是個(gè)搬運(yùn)工。

培訓(xùn)回來(lái)后，意識(shí)到自己處于數(shù)學(xué)教育改革的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也意識(shí)到區(qū)里舉行的核心素養(yǎng)教研并非是口號(hào)、是形式，而是數(shù)學(xué)教學(xué)所應(yīng)追尋的更高階教學(xué)，理解并實(shí)行核心素養(yǎng)教學(xué)是現(xiàn)今教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的品質(zhì)培養(yǎng)進(jìn)階之路。就以羅增儒教授在8月14日上午《案例分析與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展》中提到了三角形內(nèi)角和定理的一個(gè)教學(xué)案例，談?wù)勎业捏w會(huì)。

一、 三內(nèi)角和定理的教學(xué)現(xiàn)狀

在文中，課堂教學(xué)前，教師布置給學(xué)生預(yù)習(xí)思考題：三內(nèi)角和等于180°，你能用幾種方法證明這個(gè)結(jié)論？通過(guò)老師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考不同的證法。

文中采取提問(wèn)：三角形三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系？（當(dāng)然，具體問(wèn)的是數(shù)量關(guān)系），經(jīng)過(guò)學(xué)生的測(cè)量與思考“發(fā)現(xiàn)”三內(nèi)角和等于180°，從而受到啟發(fā)，在教師的幫助下完成證明。文中，通過(guò)老師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考展現(xiàn)了學(xué)生7種不同的證法（詳請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[1]），對(duì)于這7種方法是否都是通過(guò)學(xué)生的自主探索而得到的（學(xué)生會(huì)查資料），不得而知（畢竟課堂只有45分鐘，完全依賴(lài)于學(xué)生的創(chuàng)新難度大），但是這種前置探究的方式確實(shí)是一種新的教學(xué)嘗試。

文中采取“體驗(yàn)”的方式設(shè)置特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如通過(guò)量角器“量一量”三內(nèi)角再求和、利用“折紙”或者“剪拼”再觀察的方式對(duì)情景中的問(wèn)題通過(guò)動(dòng)手操作，主動(dòng)認(rèn)識(shí)和驗(yàn)證研究對(duì)象的特征，從而獲得一些經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟。

通過(guò)老師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考呈現(xiàn)了7種不同的證法（詳請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[1]），在教學(xué)中我們大多會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生用如下幾種方法：

方法1（實(shí)驗(yàn)操作）

1. 借助量角器測(cè)量給定三角形的三個(gè)內(nèi)角再求和，估算和猜測(cè)得到“三角形三內(nèi)角和等于180°”。

2. 通過(guò)手工操作的方式，將三角形沿如圖1的折痕翻折或者如圖2方式裁剪拼湊，操作后得到“三角形三內(nèi)角和是一個(gè)平角”。

方法2（幾何證明）

1. 證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作∠A=∠ACE，延長(zhǎng)BC于點(diǎn)D

∵∠A=∠ACE

∴CE∥BA（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

∴∠B=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴∠A+∠B+∠C

=∠1+∠2+∠C（等量代換）

=180°（平角的定義）

2. 證明：如圖3，延長(zhǎng)BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作∠A=∠ACE（略）

思考：1采取先作∠A=∠ACE再延伸BC于點(diǎn)D，而2先延伸BC于點(diǎn)D再作∠A=∠ACE，自然而然有個(gè)問(wèn)題，就是CE為什么會(huì)在∠ACE的內(nèi)部？二者之間看似只是順序的改變，實(shí)則都是默認(rèn)了外角大于內(nèi)角的定理應(yīng)用，而此時(shí)學(xué)生并未證明過(guò)該定理。所以這樣的描述方式有邏輯循環(huán)的嫌疑，我們應(yīng)該提醒學(xué)生有這方面的思考，既為后面“三角形內(nèi)角和定理的推論”作鋪墊，也培養(yǎng)了學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性。

改進(jìn)：過(guò)點(diǎn)C作CE∥BA（CE的唯一性，避免了討論∠ACE的位置），延伸BC于點(diǎn)D。因此，也可以有圖3、圖4的輔助線添加方式。

3. 證明：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CD∥BA。

∵CD∥BA

∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠B+∠BCD=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）

∴∠A+∠B+∠C

=∠1+∠B+∠C

=∠B+∠BCD

=180°（等量代換）

4. 證明：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作∠1=∠A。（略）

思考：3采取作平行線，注意取的哪個(gè)角（如圖取∠1）要說(shuō)明，4采取在△ABC外部作已知角，二者利用都是利用前面所學(xué)的平行線的判定和性質(zhì)這一知識(shí)解決問(wèn)題，符合學(xué)生的實(shí)際。當(dāng)點(diǎn)C在三角形內(nèi)部或者外部時(shí)，仍成立，讀者可自行證明。

總結(jié)初中幾何證明步驟：（三段論）

第一步：將三個(gè)內(nèi)角的和角轉(zhuǎn)化到一個(gè)新的角上

第二步：新的角是平角

第三步：三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

方法3（代數(shù)方程）

分析：如圖5，過(guò)點(diǎn)A作射線AD交BC于點(diǎn)D

則∠A=∠1+∠2，∠BDC=∠3+∠4=180°

由于我們討論的是三角形的內(nèi)角和度數(shù)問(wèn)題，即隱含三角形內(nèi)角和是一個(gè)確定的值，既然學(xué)生已學(xué)一元一次方程，那么不妨將三角形內(nèi)角和看作未知數(shù)，將證明題轉(zhuǎn)化為求方程的解的問(wèn)題。

解：設(shè)三角形的內(nèi)角和為x。則在△ABC、△ADB、△ADC中有：

∠1+∠B+∠3=x

∠2+∠4+∠C=x

∠BAC+∠B+∠C=x

∴∠1+∠B+∠3+∠2+∠4+∠C=2x

∠3+∠4+∠1+∠2+∠B+∠C=2x

∠3+∠4+∠BAC+∠B+∠C=x

180°+x=2x

解得：x=180°

二、 三內(nèi)角和定理包含的核心素養(yǎng)

通過(guò)上面的案例展示和研究，我認(rèn)為包含著邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。學(xué)生數(shù)形結(jié)合，通過(guò)圖形的測(cè)量、剪拼找到三內(nèi)角和的關(guān)系或轉(zhuǎn)化途徑;角的分割、轉(zhuǎn)移、合并，產(chǎn)生求和式的拆項(xiàng)、交換和結(jié)合轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，在輔助線的添加過(guò)程中，變中含有不變。角的改變，而和不變。既如此，從方程角度思考，其和為不變量，則三內(nèi)角和是一個(gè)定值，將未解決或較難的三角求和問(wèn)題化為已解決或較易解決的加法運(yùn)算或一元一次方程問(wèn)題，這些都需要學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、 總結(jié)與建議

我們習(xí)慣從圖形上將角進(jìn)行拆湊，卻容易忽視背后所對(duì)應(yīng)量的值之間的加減運(yùn)算關(guān)系，因?yàn)橹虚g有了數(shù)形結(jié)合的思想方法，二者的銜接就是教師應(yīng)該做的事情。作為教師，應(yīng)該用我們的“雙眼”發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)原型和數(shù)學(xué)應(yīng)用，然后再“搬”到學(xué)生的面前，褪去“數(shù)學(xué)”的外套，讓學(xué)生零距離的感知“數(shù)學(xué)”，而不應(yīng)該僅僅將數(shù)學(xué)教學(xué)落腳于學(xué)科知識(shí)和思想方法的傳授，現(xiàn)今的挑戰(zhàn)是如何抓住其背后包含的核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生跨過(guò)數(shù)學(xué)思維的難關(guān)，成為用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，成為一個(gè)擅觀察、勤思考，好交流的21世紀(jì)新學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳恩忠.《三角形內(nèi)角和定理》教學(xué)實(shí)錄與反思[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（8）：17-18.

[2]羅增儒.點(diǎn)評(píng)：教師的設(shè)計(jì)要適合學(xué)生的實(shí)際[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1996（6）：20-22.

[3]鄧清，夏小剛.基于“三教”理念的初中幾何教學(xué)的認(rèn)識(shí)與思考-以“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（6）：22-24.

[4]龍顯邦.三角形內(nèi)角和定理證明方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（14）：97-98.

作者簡(jiǎn)介：

沈艷，貴州省貴陽(yáng)市，溪南高中。