王桂芳

【摘要】數(shù)學學科核心素養(yǎng)很好地概括了高中生在數(shù)學方面所應該具備的六大能力.本文就以“橢圓的標準方程”的教學為例，通過一系列教學環(huán)節(jié)的設計，以教師對學生進行引導、啟發(fā)、講授與學生自主探究相結合的方式，嘗試在教學過程中滲透這些核心素養(yǎng).

【關鍵詞】核心素養(yǎng);橢圓;標準方程;推導

數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立又相互交融，是有機統(tǒng)一的整體.[1] 在不同知識的處理上，六大核心素養(yǎng)的側重各有不同，本節(jié)課將從學情分析、教材分析、教學目標、教法與學法、教學過程設計、教學反思等六個方面進行闡述，并主要將數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算三個數(shù)學核心素養(yǎng)滲透其中.

一、學情分析

圓錐曲線在日常生活和科學技術領域都有著廣泛的應用，也是高中數(shù)學的一個重要模型.橢圓是學生接觸到的第一種圓錐曲線，為接下來繼續(xù)研究雙曲線和拋物線提供了指導作用，所以橢圓就成為最重要的一種圓錐曲線.在必修2中學生學習了直線和圓的知識，對解析幾何的基本思想和方法有所了解，在選修2-1第2.1節(jié)又學習了橢圓的定義，這都為本節(jié)課推導橢圓的標準方程奠定了知識基礎.

二、教材分析

“橢圓的標準方程”是蘇教版高中數(shù)學選修2-1第2.2.1節(jié)的內(nèi)容，是繼必修2學習“圓”之后又一次接觸二次曲線.由于是在“圓錐曲線”這一節(jié)之后講解，學生已經(jīng)從整體上了解了三種圓錐曲線的概念，這為本節(jié)研究橢圓的標準方程做好了知識準備.通過本節(jié)課的學習，要讓學生掌握橢圓的標準方程和求曲線方程的一般方法，也為下一步推導雙曲線和拋物線的方程做好了鋪墊.

三、教學目標

基于以上分析，并參考《高中數(shù)學課程標準（修訂）》及《江蘇省普通高中數(shù)學課程標準教學要求》，確定本節(jié)課的教學目標如下.

1.進一步理解橢圓定義，理解橢圓標準方程的推導過程并掌握橢圓的標準方程，會根據(jù)條件求橢圓的標準方程和根據(jù)橢圓的標準方程求焦點坐標，能夠準確區(qū)分橢圓標準方程的兩種形式.

2.讓學生經(jīng)歷推導橢圓標準方程的過程，進一步掌握如何用一般方法求曲線方程，體會數(shù)形結合思想的應用，提高學生運用類比、聯(lián)想等方法進行化簡計算的能力.

3.在具體情境中感受研究橢圓標準方程的必要性及實際意義;體會數(shù)學的對稱美和簡潔美，提高審美情趣，調動學習數(shù)學的積極性.

教學重點：橢圓的標準方程.

教學難點：橢圓標準方程的推導.

四、教法與學法

在本節(jié)課的教學中，首先，充分運用多媒體的演示功能，通過與生活實際問題結合引入課題，引起學生興趣，激發(fā)學生的求知欲.其次，引導學生分析橢圓定義，類比圓的方程的推導過程，通過建立合適的坐標系，把幾何問題代數(shù)化，運用適當?shù)幕喖记?，逐步推導出橢圓的標準方程.在課堂中對學生進行引導、啟發(fā)，講授與學生自主探索相結合，充分發(fā)揮教師的主導作用，突出學生的主體地位.

五、教學過程設計

1.問題情境，引入課題

利用PPT演示播放生活中一些形狀為橢圓的物品，想要精確地制造它們，就需要應用橢圓的性質，由此引導學生結合已學知識，思考從哪些方面入手來研究橢圓.

設計意圖：從生活實際問題中提煉出橢圓問題，讓學生思考研究橢圓的途徑和方法.

2.師生問答，復習回顧

師生共同回顧上節(jié)課學習過的橢圓定義.

師：請大家回憶一下，圓的標準方程建立的過程是怎樣的？

生：①建系，②設點，③列式，④化簡.

師：這對我們建立橢圓的標準方程有何啟發(fā)？請同學們自己嘗試一下.

設計意圖：讓學生從已經(jīng)學習過的橢圓定義出發(fā)，類比圓的方程的推導過程，找到推導橢圓方程的方法.

3.師生活動，建構數(shù)學

設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點P到F1，F(xiàn)2的距離和為2a（2a>2c）.

師：如何建立適當?shù)淖鴺讼?？（原則：盡可能使方程的形式簡單、運算方便，考慮所給幾何圖形的對稱性，一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.）

設計意圖：滲透數(shù)形結合思想，教學生建立坐標系的方法，幫助他們在以后需要進行幾何問題代數(shù)化的情境中，能夠自己建立合適的坐標系.

① 建系：以線段F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.

② 設點：設P（x，y）是橢圓上的任意一點，

因為F1F2=2c，所以焦點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.

③ 列式：根據(jù)條件PF1+PF1=2a，得

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.

④ 化簡，移項，得

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，

兩邊平方，移項，整理，得a2-cx=a（x-c）2+y2，

兩邊平方后整理，得

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

師：為何要先移項再平方，而不是直接平方？

生：化簡就是要去掉根式，那就需要平方，但如果直接平方會出現(xiàn)兩個根式相乘.如果想要進一步去掉根式，則要再次平方，這樣就使該式變成了四次式.而通過先移項再平方，雖然還有根式在里面，但是再次移項平方后，就可以去掉根式，該式變成了二次式，這顯然優(yōu)于直接平方所得結果.

設計意圖：先讓學生嘗試化簡，經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，掌握更具普遍性的化簡技巧.當然，不是所有同學都能自主完成這個化簡過程，這就需要教師提前對學生的課堂表現(xiàn)做好預設，再在實際教學中走到學生中去，根據(jù)他們的實際情況靈活處理.完成整個化簡過程，要經(jīng)過兩次移項平方，可以肯定的是，一定會有同學想到用這種先移項再平方的方法去化簡，那教師就可以設置好問題，通過與該生對話，讓其他同學也能逐步了解這種方法的優(yōu)勢.第二次移項平方其實仍然是遵循化簡原則，目的是去掉根式.

師：為了繼續(xù)簡化上述方程，可以在等式兩邊同除a2（a2-c2），這樣得到的方程只有兩處含參數(shù)，比原來三處含參數(shù)的方程更加簡潔.最后，令a2-c2=b2（b>0），這樣最終得到更加簡潔、對稱的方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），叫作橢圓的標準方程，其焦點在x軸上，焦點坐標是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中a2=b2+c2.

設計意圖：讓學生體會通過同除a2（a2-c2）及令a2-c2=b2（b>0），可以使方程更加簡潔、對稱，領悟數(shù)學之美.

師：比較以下兩個式子，并思考怎樣推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程.

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，

（y+c）2+x2+（y-c）2+x2=2a.

生1：類比焦點在x軸上橢圓標準方程的推導方法，采用同樣的步驟去推導.

生2：交換x，y即可得到焦點為F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），焦距為2c的橢圓的標準方程y2a2+x2b2=1（a>b>0）.

設計意圖：讓學生領悟到不經(jīng)過計算，通過觀察未經(jīng)過化簡的兩類方程的特征，就能直接得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程，滲透類比思想.

教師將兩種橢圓的標準方程放在一起比較分析，并用PPT演示結果，詳細列出兩種方程的不同點：圖形和焦點坐標;相同點：定義和a，b，c三者的關系.

設計意圖：通過比較，對橢圓標準方程有更深刻的認識，對兩種橢圓方程的特征更加清楚，能夠正確區(qū)分兩種方程.

4.嘗試運用，深化理解

例1 將圓x2+y2=1上的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標保持不變，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線.

設計意圖：利用方程的變換證實對曲線類型的猜想，將圓壓縮可以得到橢圓，揭示橢圓與圓的內(nèi)在聯(lián)系.

例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程：

（1）焦距為4，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于5;

（2）兩個焦點的坐標分別是（0，-4），（0，4），并且經(jīng)過點（-3，-5）.

總結求橢圓標準方程的步驟：①定位：確定焦點所在的坐標軸;②定量：求a，b的值.

設計意圖：鞏固對橢圓標準方程的理解，掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程.

思考：已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦點在x軸上的橢圓，求實數(shù)m的取值范圍;若方程表示焦點在y軸上的橢圓呢？

設計意圖：對焦點在不同軸上的橢圓標準方程的形式有更深入的理解，增強學生分類討論的意識.

5.回顧總結，提煉升華

（1）知識上：經(jīng)歷橢圓標準方程的推導過程，體會數(shù)學之美;橢圓標準方程的兩種形式.

（2）思想方法上：數(shù)形結合思想，類比思想，定義法，待定系數(shù)法.

六、教學反思

在利用橢圓定義推導橢圓標準方程的過程中，首先用類比圓的方程的推導過程發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系方面的性質和規(guī)律，然后建立等量關系，理解推理的形式和規(guī)則，并準確使用邏輯用語表述邏輯推理過程.從得到橢圓方程的最初形式，到運用一系列的運算技巧將其化為標準方程的過程，著重培養(yǎng)了學生的數(shù)學運算素養(yǎng).本課教學目的不僅要讓學生掌握橢圓的標準方程，更重要的是要讓學生學會推導橢圓標準方程的方法，并且能夠自己獨立完成后續(xù)雙曲線和拋物線方程的推導過程.上述例1通過方程的變換，讓學生體會到了橢圓與圓之間的內(nèi)在聯(lián)系，而例2的設置是為了讓學生掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，并熟悉在實際操作中，先定位再定量的求解過程.思考題的設置，將本節(jié)課內(nèi)容進行了升華，讓學生進一步熟悉兩種方程的形式，同時也強化了分類討論的思想.

【參考文獻】

[1]洪燕君，周九詩，王尚志，等.《普通高中數(shù)學課程標準（修訂稿）》的意見征詢：訪談張奠宙先生[J].數(shù)學教育學報，2015，24（3）：35-39.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（修訂）[M].北京：人民教育出版社，2017.